2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.4圆锥曲线二级结论(培优热点专练)(学生版+解析)

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题型01 焦半径、焦点弦
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．(多选)（2025·山东青岛·三模）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为3
C．的取值范围是
D．当倾斜角为时，的周长为8
5．(多选)（2025·河北·模拟预测）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则直线的倾斜角为
C．为定值D．四边形的周长的最大值为
题型02 焦点三角形面积
1．（多选）（2025·浙江·一模）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（ ）
A．的周长为
B．的面积为
C．若是上的动点，则
D．若是上的动点，则
2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ）
A．的面积最大值为
B．的最小值为
C．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为
D．椭圆上存在点，使得
3．（多选）（2025·广西柳州·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6B．的最小值为1
C．面积的最大值为D．椭圆C的离心率为
4．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
5．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为B．的周长为
C．D．的内切圆半径为
题型03 垂径定理与第三定义
1．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .
5．（多选）（2025·湖北·三模）已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（ ）．
A．B．
C．D．面积的最大值为
题型04 椭圆与双曲线共焦点
1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．当时，的取值范围是
4．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，，点在上，双曲线与椭圆有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．若是等腰三角形，则满足条件的点有4个
D．若是椭圆与双曲线的交点，且在第二象限，交轴于点，平分，则双曲线的离心率为
5．（2025·广西·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左､右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 .
题型05 焦点三角形的内切圆与外接圆
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ）
A．B．2C．D．3
2．（2025·湖北·模拟预测）设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·浙江绍兴·三模）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线B．直线斜率存在时，
C．若，则直线的斜率为D．的取值范围是
5．（多选）（2025·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．的内心与外心可能重合
C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为
D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数
题型06 双曲线的渐近线
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（ ）
A．B．1C．D．2
3．（多选）（2025·河南许昌·模拟预测）已知点P为双曲线右支上一点，，为的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为，且，过点作交于点，过点P作交于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为B．
C．的面积为D．
4．（2025·云南·模拟预测）已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
5．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（ ）
A．2B．C．1D．
题型07 阿基米德三角形
1．（多选）（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（ ）
A．直线经过一定点B．抛物线的焦点为
C．点到坐标原点的距离不小于D．的面积的最小值为
2．（多选）（2025·广东清远·一模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ）
A．
B．抛物线的准线与以为直径的圆相切
C．设，则
D．点位于定直线上
3．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2025·河北保定·三模）已知抛物线C 的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线与C交于两点，分别记C在点A，B处的切线为，，则下列说法正确的是（ ）
A．C准线方程为B．
C．D．若 ，则
5．（多选）（2025·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上不同两点，，以，为切点的切线，相交于点，、、三点共线.下列说法正确的有（ ）
A．最小值为4B．的最小值为
C．使得的直线有两条D．
题型08 蒙日圆
1．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．或B．或C．D．
2．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
3．（多选）（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，点A和点B处的椭圆C的切线相交于点P，延长分别交圆于，．设直线的斜率分别为．到直线的距离分别为，则下列结论正确的有（ ）
A．点P在圆O上B．
C．D．
（建议用时：30分钟）
1．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2025·四川德阳·三模）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．动点的轨迹是一个椭圆
C．直线的斜率之积为常数
D．内切圆的面积无最大值也无最小值
3．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ．
5．（多选）（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（ ）
A．若的中点在轴上，则
B．
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率为
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为
7．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ）

A．存在使得
B．P到两条渐近线的距离之积为定值
C．当直线运动时，始终有
D．△内切圆的圆心的横坐标为
8．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若直线的斜率分别为，则
C．若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则
D．的最小值为
9．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为B．三角形的面积的最大值为
C．三角形的周长为8D．
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．
C．D．点到轴的距离为
近三年：
1、圆锥曲线的二级结论是近3年高考命题中解决小题（选择题、填空题）的利器，以其为核心命制的题目出现频率高，主要用来提升解题速度、降低计算复杂度，难度覆盖中档及以上。 合理应用二级结论，能将复杂的代数运算转化为直接的几何关系或公式代入，实现“秒杀”。
2、从近几年高考命题来看，二级结论很少在解答题中作为直接的得分点，但其思想和方法常渗透其中。 命题常通过以下形式考查焦点弦、焦半径、焦点三角形周长、顶角、面积的最值问题，中点弦与第三定义、焦点三角形的内切圆问题，阿基米德三角形等。
预测2026年：
圆锥曲线二级结论的应用将继续作为高考小题的重要考查方式。命题将更加注重结论的隐蔽性和应用的灵活性。其考查可能更加侧重于：
结论的识别与转化： 题目条件不会直接套用结论的标准形式，而是需要学生通过观察和分析，识别出题目背后的二级结论模型。
多个结论的交汇： 在同一题目中，可能同时涉及多个二级结论，如焦点弦长与中点弦斜率的结合，切线性质与焦半径范围的结合等。
创新情境下的应用： 在相对新颖的背景下，考查学生能否灵活运用二级结论的推导思想（如点差法、设而不求）来解决问题，而非死记硬背结论本身。
与函数方程思想的结合： 利用二级结论建立等量关系后，进一步求范围、最值，渗透函数与方程思想。
复习中必须在理解其推导过程的基础上进行记忆和应用，切忌只记结论而不明其理，方能做到举一反三，稳操胜券。
解｜题｜策｜略
1、椭圆焦半径
设为椭圆上的一点，F为椭圆的一个焦点，∠PFO=θ
焦半径坐标式
①焦点在轴：焦半径(左加右减)；
② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
焦半径角度公式：PF=b2a−ccsθ
2、双曲线焦半径
设为双曲线上的一点，F为双曲线的一个焦点，∠PFO=θ
①焦点在轴：在左支，在右支；
②焦点在轴：在下支，在上支．
焦半径角度公式：PF=b2ccsθ±a（P与F位于同侧取正，位于异侧取负）
3、抛物线焦半径
设为抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，∠PFO=θ
①焦点在轴：焦半径PF = x0 +p2
② 焦点在轴：焦半径PF = y0+p2
焦半径角度公式PF=p1+csθ
解｜题｜策｜略
1、椭圆面积
椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则，PF1 PF2=2b21+csθ
2、双曲线的面积
双曲线的焦点为F1、F2，P为双曲线上的点，∠F1PF2=θ，则
S△F1PF2=b2⋅sinθ1−csθ=b2tanθ2，PF1PF2=2b21−csθ
解｜题｜策｜略
椭圆的垂径定理与第三定义
已知直线l与椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A，B两点，M为AB中点，O为原点，且kAB，kOM存在，则有kAB⋅kOM=−b2a2=e2−1
已知A，B为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0长轴的端点（或短轴端点），P是椭圆异于A，B的点，则kPA⋅kPB=−b2a2=e2−1
双曲线的垂径定理与第三定义
已知直线l与双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0，b>0相交于A，B两点，M为AB中点，O为原点，且kAB，kOM存在，则有kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
如图，已知A，B为双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0，b>0实轴的端点，P是双曲线异于A，B的点，则kPA⋅kPB=−b2a2=e2−1
另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
解｜题｜策｜略
椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2，P是它们的一个公共点，设∠F1PF2=θ，椭圆的a1,b1,c,e1，双曲线的a2,b2c,e2
1、由△F1PF2是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有S△F1PF2=b12tanθ2 =b22tanθ2 ，可以对式子稍作整理有sin2θ2e12+cs2θ2e22=1
2、根据e12=c2a12=c2b12+c2 , e22=c2a22=c2b22+c2，整理有b22e12+b12e22=b12+b22
解｜题｜策｜略
椭圆的焦点三角形内切圆
点P(x0,y0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上异于左右顶点的点，F1,F2为椭圆的左右焦点,设∠F1PF2＝θ, 重心GxG,yG,内心IxI,yI
结论一、 e=IMIP
结论二、 有 xI=ex0 , yI=ey01+e ，则I的轨迹为椭圆E:x2c2+a+c2y2b2c2=1x≠±c,y≠0
双曲线的焦点三角形内切圆
结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为a
解｜题｜策｜略
双曲线渐近线的一些性质：
双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
以两焦点F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线相交，第一象限的交点坐标(a,b).
过双曲线上点P作两渐近线的平行线PA，PB，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为定值ab2
过双曲线上点P作两渐近线的垂线PA，PB，则有PAPB=a2b2a2+b2，PA∙PB=a2b2b2−a2a2+b22
过双曲线上点P作双曲线的切线交两渐近线于A、B两点，则△AOB为双曲线的渐近三角形，则P是AB的中点，OA∙OB=a2−b2且S△AOB=ab
解｜题｜策｜略
阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB；MA⊥MB；
性质2：MN//x轴；
性质3：S△ABM最小值为p²
2、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．
性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点Cx0,y0，则点P的轨迹为直线y0y=px+x0,记A(x1,y1)，B(x2,y2)，Cx0,y0，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点
半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则xp=y1y22p,yp=y1+y22 ，则y0y=p(x+x0)
性质3、若P点轨迹为直线ax+by+c=0，且该直线与抛物线没有公共点，则定点Cca,−bpa.
设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标
性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为a38p.
性质5、∠PFA=∠PFB，PF²=AF×BF
解｜题｜策｜略
蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：‌圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆‌。以下是具体性质和结论：
1、椭圆的蒙日圆：x² + y² = a² + b²
2、双曲线的蒙日圆：x² + y² = a² − b²