圆锥曲线：离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

这是一份圆锥曲线：离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习，共13页。
A．B．16C．7D．8
【答案】A
【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，因为，所以.
双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，如图：
设，则由椭圆和双曲线定义可得——①，——②，
两式分别取平方再相减整理得，
记，则由余弦定理得——③，
③得——④，由面积公式可得，
即，代入④整理得，即，所以，
即，因为，所以，
所以，得，所以，
即，所以，
即，
当且仅当时等号成立，即，再代入
解得，故的最小值为.
故选：A
例2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图所示，作，垂足为.
∵，
∴，∴点为的中点.
∴，.
∵，∴，
∴，则，
∴.
在中，
∴，
化简可得，∴，解得或，
又，所以.
故选：A.
例3．（25-26高三上·山东东营·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【详解】
由题意得直线的方程为，
联立，解得，即.
由可知是线段的中点，所以点坐标为，
因为点在双曲线上，将点坐标代入，得，
又，化简得，所以.
故选：D.
例4．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率 ．
【答案】/
【详解】设双曲线的半焦距为，则，
在中，由，得，
由双曲线定义得，则，
所以的离心率.
故答案为：
例5．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上（第一象限内），且，线段与交于点，且为的中点，则的离心率为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
又是的中点，故，直线，
，故，
，又为的中点，故，
又因为在上，
代入得，化简整理得，
两边同时除以得，又解得.
故答案为：
例6．（25-26高二上·江西宜春·期末）过双曲线：（，）的左焦点作圆的一条切线，切点为，该切线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为 .
【答案】
【详解】由题可得双曲线的左焦点为，其中；
圆的圆心为，半径为.因为是圆的切线，所以，
在中，，由勾股定理得.
因为，则.
设，由，则，
，即，又，
代入得，解得，再代入到圆方程中得，即，
设，由，则，
解得，故.
因为在双曲线上，代入得，
化简得，两边同乘得，
将代入整理得，两边除以，
即，则，因为，所以，
解得，即.
故答案为：
变式1．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可得，从而.
因，则，又由题可得，
则.
故选：A
变式2．（2026·安徽黄山·一模）已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】双曲线的右焦点为，
因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率，
即，所以离心率.
故选：B
变式3．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，
由抛物线焦点与椭圆的右焦点重合可得，即，
因为椭圆与抛物线准线的一个交点为，所以点的横坐标为，
又，则点的横坐标为，所以，
在中，，由可得，，
由椭圆的定义可知，即，所以椭圆的离心率.
故选：C
变式4．（25-26高二上·河南信阳·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【详解】设根据题意知，且，
根据椭圆定义，，可得，
同理，，
由余弦定理可得，
，
又，可得①，
因，，
即，代入①得，
等式同时除以得，解得或（舍），
即椭圆的离心率为.
故答案为：.
变式5．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上的点满足，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【详解】设，因为，所以，
又因为，所以，，
所以，
又因为，
且，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.

变式6．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】点为双曲线的右顶点，
，
若上存在一点（不与点重合），使得，设，，
，，
，
整理得：，
与双曲线方程联立得：，
整理得：，
解得：，
由题意知要使点P存在，须，解得，
又P不与A重合，故，则点P必在双曲线右支上，
则，
整理得：即，结合，
.
故答案为：
考点二 焦点三角形问题
例1．（25-26高二上·贵州毕节·期末·多选）已知分别是椭圆上的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，连接，，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为
B．线段的长为
C．的面积为
D．椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为
【答案】ACD
【详解】椭圆的长半轴长，焦点，直线的方程为，
对于A，的周长为，A正确；
对于B，由消去得，设，
则，，B错误；
对于C，点到直线的距离，，C正确；
对于D，设平行于直线且与椭圆相切的直线方程为，由，
得，由，解得，
直线与直线的距离为，直线与直线的距离为，
因此椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为，D正确.
故选：ACD
例2．（25-26高二上·云南昆明·期末·多选）已知椭圆的左右焦点分别为，是上一点（为坐标原点），则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为
B．存在点使得
C．若是直线被所截得线段的中点，则直线的方程为
D．若，则的内切圆半径为
【答案】AC
【详解】对于A，由椭圆，可得，所以，
所以的周长为，故A正确；
对于B，
，
当且仅当时取等号，
又，所以的最大值为，
故不存在点使得
对于C，显然直线的斜率存在，设，
则，所以，所以，
所以，所以，
所以直线的方程为，即，故C正确；
对于D，因为，由B选项得，
所以，解得，
所以，
设的内切圆半径为，所以，
所以，解得，故D错误.
故选：AC.
例3．（25-26高二上·安徽六安·期末·多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为，最小值为，则下列结论正确的是（）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为
C．椭圆上不存在点，使得
D．若，则的面积为
【答案】ABC
【详解】由题可知的最大值为，最小值为，
则：，解得：，
故椭圆的方程为：
离心率，A选项正确；
由椭圆定义可得的周长，B选项正确；
设，若，
则，
化简得：，与椭圆方程联立，
代入得：，
化简得：，方程无解，
故不存在满足条件的点，C正确；
焦点三角形面积公式：，
当时，，D错误.
故选：ABC
例4．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末·多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（ ）
A．的最大值为4
B．不存在点，使得
C．若，则的面积为
D．使得为等腰三角形的点共有四个
【答案】AB
【详解】已知椭圆 ，其中 ，，，
离心率 ，，点 在椭圆上，
设，，则 ，
焦距 ，
对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号，
所以的最大值 4，故 A正确；
对于B： 在 中，由余弦定理得：
代入得 ，即 ，
当 时，，则 ，
由选项A知：，故不可能等于 8，
因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确；
对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ，
三角形面积 ，故 C 错误；
对于D： 等腰三角形有三种情况：
（1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求；
（2）当时，
设 ，由距离公式：
平方得：
由点 在椭圆上，得，
代入 (4)：
化简得：，
解得：
因为 ，所以 ，
代入椭圆中得，
所以 ，共有两个点符合要求；
（3）当时，
，
平方得：，
代入椭圆并化简：
解得：
因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ，
所以 ，共有两个点符合要求，
综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误.
故选：AB
变式1．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末·多选）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，过点的直线与的左支交于两点，的内切圆与直线分别相切于点，若点，则（ ）
A．的方程为
B．的周长为
C．的内切圆面积小于
D．
【答案】ACD
【详解】如图，
对于A，联立，解得
的方程为，故A正确；
对于，
，
在中，联立解得
的周长为，故B错误；
对于C，设内切圆半径为，由选项B可知，，
∵直角的面积为，
又，则，
∴直角的内切圆半径
，
的内切圆面积小于，故C正确；
对于D，由切线长定理得，
，
即，所以，
与重合，则，故D正确.
故选：ACD.
变式2．（25-26高二上·江西萍乡·期末·多选）已知，是双曲线：与椭圆：的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点，则（ ）
A．
B．若，则的方程为
C．若，则的渐近线方程为
D．若的内切圆面积为π，则的离心率为
【答案】BCD
【详解】根据题意可得，椭圆：的长半轴为5，短半轴为3，焦距，所以公共焦点，，
在A选项中，双曲线：，有，所以A选项错误，
在B选项中，若，，由椭圆的定义得，
由双曲线的定义得，若，则，
所以由可得，，即，
所以，
所以，，
所以双曲线的方程为：，所以B选项正确，
在C选项中，设，若，则，
由得：，所以，
即，，即，
所以渐近线方程为，所以C选项正确，
在D选项中，若的内切圆面积为，则内切圆的半径，
因为的周长为：，
面积，且，
所以，解得：，
将代入椭圆方程：，则，
又因为在第一象限，所以，
所以，，
所以，，
即离心率为：，所以D选项正确.
故选：BCD.
变式3．（2026·江苏南通·一模·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ）
A．的渐近线方程为B．的实轴长是2
C．的面积是12D．的外接圆半径是
【答案】BCD
【详解】设，直线，由，得，
则，由直线的斜率是，得，
由双曲线定义得，由的周长是16，
得，即，则，而，
因此，解得，双曲线，
对于A，双曲线的渐近线方程为，A错误；
对于B，双曲线的实轴长是2，B正确；
对于C，，的面积是，C正确；
对于D，，，因此的外接圆半径，D正确.
故选：BCD
变式4．（25-26高三上·河北邢台·月考·多选）双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，则下列不正确的是（ ）
A．若，则或
B．过的直线与交于两点，则的最小值为
C．能使为直角三角形的点有个
D．若为钝角三角形，点到坐标原点的距离的取值范围为
【答案】ABD
【详解】由题意知双曲线的两个焦点分别为，，
对于A，由双曲线定义知，所以或，
但双曲线右支上的点到右焦点最短距离为，
所以不合题意，故A错误.
对于B，过的直线为轴时，与交于两点分别为，，
此时，故B错误.
对于C，若为直角三角形，
则，，均可以为直角，
根据对称性可得这样的直角三角形有个，故C正确.
对于D，设，
则点到坐标原点的距离，
又，整理得，
很明显，时，，
根据图形，明显为钝角三角形，
所以点到坐标原点的距离的取值范围不限为，故D错误.
故选：ABD
考点三 面积问题
例1．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为，记的轨迹为，过作不平行于坐标轴的直线交于两点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)求证：为定值；
(3)若轴于垂足轴于垂足，直线与交于点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由为的重心，且边上的两条中线长度之和为，
得，
则的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆（除长轴端点外），
由半焦距，，则短半轴长，
所以的轨迹的方程为.
（2）依题意，设直线DE方程为，
由消去得，
因，设，
则，，故，
，
同理，因此
，
所以为定值.
（3）由轴，轴及（1），得，
直线DN：，直线EM：，
联立解得，
因此，
，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
例2．（25-26高二上·河南信阳·月考）动点满足到定点和定直线的距离之比为，动点G的轨迹为曲线C，，过点的直线l与C交于M，N两点，直线AM，AN与直线分别交于点
(1)求C的方程；
(2)记直线的斜率分别为，，证明：为定值；
(3)记，的面积分别为，问是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
(3)存在，
【详解】（1）由题意可得，
即，化简可得；
所以曲线的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设直线，，如下图：
联立得，消去并整理得，
所以，得，
则，
因为，且时，，所以直线与相切，
由椭圆的对称性可知，
所以
即可得为定值.
（3）设存在实数，使得恒成立，
由，得，
由，得，
由可知，所以；
所以点到直线的距离为，点到直线的距离为，
因此点到直线的距离相等，所以，
即.
例3．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆过点.

(1)求的方程；
(2)若的左顶点为，下顶点为B，P为在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点.
（ⅰ）是否存在点，使得的面积为？若存在求出点坐标，不存在请说明理由；
（ⅱ）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）存在，点的坐标为，理由见解析（ⅱ）
【详解】（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆过点，
所以，
所以椭圆的标准方程为；、
（2）（ⅰ），，
直线的方程为，
，
假设存在点，使得的面积为，
所以，
因为，
所以，
代入中，得，
所以，因此存在点，使得的面积为，坐标为；
（ⅱ）设的面积为，所以，
所以有，
，
因为，，
所以设，
因此，
令，
，
所以，
所以
因为，所以
所以，
因此的最大值为.
变式1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，点，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线的倾斜角为，且与椭圆相交于两点.求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，即，所以 ，
则离心率 ，代入得，
所以，
所以椭圆的方程为：.
（2）因为直线过点，倾斜角为，
所以斜率，直线方程为：
则联立直线与椭圆方程：
所以，整理：，
设，，由韦达定理：
所以弦长 ，
原点到直线 的距离：
所以.
变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，若点为椭圆的右顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上两点，（异于点）关于坐标原点对称，直线，分别交椭圆于另一点和点.
（ⅰ）求直线与直线的斜率之积；
（ⅱ）求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）3.
【详解】（1）设半焦距为c，则右焦点，又椭圆右顶点， 所以，
由，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设，则，由（1）得，
则直线AF的方程为，
联立，得 ，
设，由韦达定理得，解得，
代入直线方程，可得，即，
因为，则可得，
因为，所以，
，
所以
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，，
则，且直线AB的方程为，即，
则点D到直线AB的距离，
所以面积
则，
令，由，得，则，
代入可得
，
令，则，当且仅当，即时取等号，
则，
代入可得，
为开口向下，对称轴为的抛物线，
因为，所以当时，有最大值，且为9，
所以面积S的最大值为3.
变式3．（25-26高三上·安徽·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，过点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆：的离心率为，得，则，
由椭圆过点，则，联立解得，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）显然直线斜率不为0，设其方程为：，，
由，消去得，，
则，
，
当且仅当，即时取等号，而，
因此，
所以面积的最大值为.
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焦点三角形问题
面积问题