2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.5圆锥曲线的轨迹问题(培优热点专练)(学生版+解析)

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题型01 求圆的轨迹方程
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知A，B为椭圆上两点，为坐标原点且，过点作直线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·湖北·模拟预测）如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（ ）
A．C是半径为的圆B．C是半径为1的圆
C．C是长度为2的线段D．C是长度为4的线段
4．（2025·浙江·三模）若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 .
题型02 定义法求轨迹方程
1．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型03 几何法求轨迹方程
1．（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2025·四川攀枝花·三模）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
3．（多选）（2025·辽宁大连·一模）在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q轨迹叙述正确的是（ ）
A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆
B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线
C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆
D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线
4．（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 .
题型04 直接法求轨迹方程
1．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
2．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．

4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ．
5．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 .
题型05 相关点法求轨迹方程
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且PN=13PP'，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江苏·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
题型06 参数法、交轨法求轨迹方程
1．（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为 ；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为 ．
3．（2025·浙江丽水·一模）已知是椭圆上的两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程．
（建议用时：30分钟）
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 .
2．（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北保定·一模）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的轨迹方程为（）
B．的最大值为3
C．的最小值为
D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8
5．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（多选）（2025·辽宁·一模）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ）
A．记的轨迹方程为轨迹：B．的最大值为
C．的最小值是D．（点O为坐标原点）的最小值为7
9．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点与点之间的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点到直线的距离的最大值为
10．（2025·福建三明·三模）平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且.
(1)求动点M的轨迹方程C；
(2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围.
近三年：
1、圆锥曲线的轨迹问题是近3年高考解析几何部分的核心考查内容，考查频率高，题型综合，难度中档及以上，本质是运用代数手段刻画几何图形。
2、从近几年高考命题来看，轨迹问题可分为两类：一是直接求已知圆锥曲线的方程（如通过几何性质求椭圆、双曲线方程）；二是求满足特定条件的动点轨迹方程。
预测2026年：
轨迹问题将继续作为高考解析几何解答题的命题重点。其考查将更加注重数学思想的渗透和问题情境的构建，复习中必须熟练掌握求轨迹方程的基本方法（直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等），并强化运算求解能力的训练，同时提升运用数学思想（方程思想、数形结合思想、分类讨论思想）分析问题的能力。
解｜题｜策｜略
定义法：根据圆的定义（通常有到定点距离等于定长、过定点的两垂直直线的交点等），来判断我们的轨迹是圆，然后根据圆心半径等确定我们的轨迹方程。
直接法：设我们要求的点坐标为(x,y),根据题目条件列出方程，化简整理可得我们的轨迹方程。
解｜题｜策｜略
根据圆锥曲线的三大定义来判断轨迹是椭圆、双曲线还说抛物线。
圆锥曲线定义
椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，记|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)
双曲线定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a（0 < 2a