2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.2隐圆与阿氏圆(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.2隐圆与阿氏圆(培优热点专练)(学生版+解析)，共8页。

题型01 从圆的定义及性质得隐圆
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】设，
由题意可得：，
设的中点坐标为，则，
所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
圆心到的距离为：，
所以线段的中点到直线距离的最大值为，
故选：D
2．（多选）（2025·广西·三模）在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到点的距离等于1，若直线与曲线交于不同的两点，，则（ ）
A．当时，B．线段中点的轨迹长度为
C．的取值范围为D．
【答案】ABD
【知识点】用定义求向量的数量积、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】求圆心到直线的距离，运算求解即可判断A；分析可知点M的轨迹是以OC为直径的圆圆C内部部分，即可判断B；根据数量积可得，进而可判断C；分析可得，即可判断D．
【详解】由题意，曲线为圆，如图：

对于选项A，圆的圆心坐标为，半径为，
若直线，圆心C到直线的距离为，
则，故A正确；
对于选项B，如图线段中点M满足，

所以M的轨迹是以OC为直径的圆圆C内部部分，
所以线段中点的轨迹长度为，故B正确；
对于选项C，，因为点A，B不重合，所以，故C错误；
对于选项D，，故D正确.
故选：ABD
3．（2025·湖北·二模）在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】空间垂直的转化、定点到圆上点的最值（范围）、立体几何中的轨迹问题
【分析】先确定点所在的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出截面圆半径，再结合点与截面圆的位置关系求出的最大值.
【详解】如图，连接AC，由，得，

由可知点在以AC的中点为球心，为半径的球面上．
而又在平面内，故为平面与球的截面圆上的动点.
取CD的中点E，AB的中点的中点，连接，
则由长方体的性质得平面且三角形为直角三角形，
而平面，所以平面平面EFG，
作于，因平面平面，
平面，故平面，故为截面圆的圆心.
又，
故截面圆的半径为，
即点在以为圆心，为半径的圆上，
而既在球面上，又在平面内，故在截面圆上，
故的最大值即为截面圆的直径，则的最大值为．
故选：D．
4．（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意，求出方程，根据，求出的运动轨迹为为圆心，为半径的圆，进而得到圆外点到圆上点距离的最大值，最小值得到答案.
【详解】

因为直线与x轴交于点A，所以，
因为为上一点，所以，
设，，
则，得直线的方程为，故
同理得的方程为，，
故直线的方程为，
因为为中点，所以，
所以方程为，即，
联立，
消得，
所以为为圆心，为半径的圆，
其中点到圆心的距离为，
所以，，
所以的取值范围是，
故选：A.
5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围.
【详解】设，则，.
因为，所以，
即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.
又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，
即，解得.
故选：B.
题型02 从直线斜率关系得隐圆
1．（2025·河南信阳·模拟预测）若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围.
【详解】直线，过定点,
，过定点,
因为，所以与垂直，
所以与的交点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
因为，
所以，
所以.
故选：C.
2．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）．
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系
【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值.
【详解】对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
因为，所以，已知，，则中点坐标为.
，所以半径.
则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为，
已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为.
的最大值为圆心加上两圆半径，即.
由于轨迹不包含点，故不存在最小值.
故选：A．
3．（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值.
【详解】可变形为由可得，则恒过定点，
同理可得恒过定点，且有，则，
此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点）．
因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.

故选：A．
4．（2025·贵州黔东南·一模）设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、定点到圆上点的最值（范围）、求点到直线的距离
【分析】先化简直线和的方程，表示出点到直线的距离以及点到直线的距离，结合点为定点，且，即可得到定圆Q的圆心为，半径为1，进而求解即可.
【详解】由：，
得，
由：，
得，
设，则点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
要使点为定点，且，则，
即，此时定圆Q的圆心为，半径为1，
所以圆Q上一点到点的距离的最大值为.
故选：B.
题型03 从向量关系得隐圆
1．（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】A
【知识点】向量与几何最值、定点到圆上点的最值（范围）、数量积的坐标表示
【分析】以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为以为圆心，半径为圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可.
【详解】
以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
所以，设，
所以，
因为，
所以，即，即，
所以为以为圆心，半径为圆上一点，
对于A，，所以，几何意义为到原点的距离，
所以的最大值为到原点的距离的最大值，
最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确；
对于B，，，几何意义为到的距离，
所以的最大值为到的距离的最大值，
最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误；
对于C，，令，即，
即，当与圆相切时有最值，即，
解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误；
对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点，
所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误，
故选：A.
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，进而求出最大值.
【详解】，且，的夹角为，
在平面直角坐标系中，令，设，
则，由，得，
因此点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以的最大值为.
故选：D
3．（2025·海南·模拟预测）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由题意可知，圆心，半径，则，，其中为坐标原点，可得，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，求实数的最大值．
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
则，，其中为坐标原点，
可得，
则，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，
设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，
则，即，
解得，
所以实数的最大值为．
故选：A．
4．（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个
【答案】BD
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、圆内接三角形的面积
【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解判断A；利用圆的性质求出面积最大值判断B；求出直线方程判断C；利用直线与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，依题意，，
则，而，解得，A错误；
对于B，，圆心到直线距离，
因此点到直线距离的最大值为，面积的最大值为，B正确；
对于C，由，得，直线的斜率，
设直线的方程为，则，解得，由，
得，即，因此，直线的方程为，C错误；
对于D，由圆半径为，圆心到直线距离为，
得圆上到直线距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点有且仅有3个，D正确.
故选：BD
5．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量 满足 且 ，则 的最大值为 .
【答案】
【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——圆、数量积的坐标表示、求点到直线的距离
【分析】先根据已知条件求出向量与的夹角，再通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，然后根据得到点的轨迹方程，最后根据向量数量积的坐标运算求出的最大值.涉及的知识点有向量的数量积公式、向量夹角公式、向量数量积的坐标运算以及圆的方程.
【详解】设向量与的夹角为，.根据向量数量积公式，
已知，，，可得：
解得，所以.
不妨设，，.
，.
因为，所以.
展开可得，配方得.
这表明点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
.设，即.
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
因为点在圆上，所以圆心到直线的距离（为圆的半径），即.
则，即.
解不等式可得.
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
题型04 从复数得隐圆
1．（2025·广东广州·模拟预测）复数满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的模的几何意义可得复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆即可求解.
【详解】设复数，则对应点的坐标为，
所以
所以复数对应的点到的距离为，
故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，
故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为
故选：C
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果.
【详解】设，若满足，即，
所以，即，
则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外，
又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为，
故选： C．
3．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则的最大值为6
B．若，则点的轨迹为椭圆
C．若，则点的轨迹为椭圆
D．若，则点轨迹的长度为
【答案】ACD
【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】利用复数的几何意义，结合各选项中的条件逐项分析判断.
【详解】在复平面内，设点，复数所对应点，
对于A，两点的距离表示两点的距离，又，
则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，表示两点的距离，
则的最大值为，A正确；
对于B，表示两点的距离，表示两点的距离，
由，则点的轨迹为线段，B错误；
对于C，，则点的轨迹是以为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确；
对于D，，即或，由表示以为圆心，1为半径的圆，
同理表示以为圆心，2为半径的圆，点轨迹的长度为，D正确.
故选：ACD
4．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线
【答案】AD
【知识点】轨迹问题——圆、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义逐个选项判断即可.
【详解】根据复数的几何表示知：
对A，方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确；
对B，方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹，而与的距离也为2，所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，B错误；
对C，方程表示到定点与的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的一支，C错误；
对D，方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D正确．
故选：AD
题型05 阿氏圆
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】抛物线定义的理解、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据题意，求得点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，再由抛物线得到，转化为，结合图象，得到当且仅当四点共线时，取得最小值，求得，即可求解.
【详解】因为，，且动点满足，
设，可得，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
由抛物线，可得且准线方程为，
又因为点在抛物线的准线方程为的投影为，
因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离相等，所以，
所以，
当且仅当四点共线时，
取得最小值，且，
所以.
即的最小值为.
故选：B.
2．（2025·陕西渭南·一模）若动点到的距离之比为．则点到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】设动点的坐标为，由题意求出动点的轨迹方程，结合圆的几何性质即可求得答案.
【详解】设动点的坐标为，
由题意：，即，
代入点的坐标，可得，
两边取平方并整理得：，
即动点C的轨迹为圆心为，半径为的圆，
因到直线的距离为，
故点到直线的最小距离为，
故选：D.
3．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解.
【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，．
设，则，整理得，
所以点的轨迹方程为．
则
可看作圆上的点到原点的距离的平方，
所以，所以，
即的最大值为，
故选：A.
4．（多选）（2025·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．的最大值为6
C．点到直线的距离的最大值为2
D．设直线与曲线的另一个交点为，则
【答案】ABD
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、过圆外一点的圆的切线方程
【分析】设动点，根据题设列方程化简即可判断A；结合圆的几何性质判断BC；分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论求解，进而判断即可.
【详解】对于A，设动点，则由，
得，
化简得：，即，故A正确；
对于B，点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
则，所以的最大值为，故B正确；
对于C，要使点到直线的距离最大，则直线与圆相切，
设此时直线的方程为，即，
则，解得，
则直线与圆相切时，
直线的方程为，即，
此时点到直线的距离为，
则点到直线的距离的最大值为，故C错误；
对于D，当直线的斜率不存在时，满足；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，
联立，得，
则，
则
，
所以直线与直线的倾斜角互补，则，故D正确.
故选：ABD.
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
【答案】/
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，
由，得，又，则，，
设，由角平分线定理得，
当时，，得，此时；
当时，直线的斜率分别为，
则，又，
由到角公式得，即，
得，
整理得，即，点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
因此当在点处时，的面积最大，此时，
在中，由余弦定理得.
故答案为：
（建议用时：30分钟）
1．（2025·江西新余·模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【知识点】相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据几何性质知M，A，B，C四点在以MC为直径的圆上，与圆相减得直线AB的方程，又是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，所求距离转化为原点到直线AB的距离加半径，即，结合二次函数性质求得最值即可.
【详解】设，则，
由几何性质知M，A，B，C四点在以MC为直径的圆上，
即该圆方程为，即，
与圆相减得直线AB的方程为.
又，
故是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，
故点到直线AB的距离的最大值为原点到直线AB的距离加半径1，
即，
当且仅当时等号成立，
所以点到直线AB的距离的最大值为.
故选：C.
2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】由题意可知，从而得到点的轨迹为是以为直径的圆（去掉A，C两点），再根据圆外一点到圆上距离最大值即为圆外一点与圆心距离加上半径即可求解.
【详解】如图，圆的圆心为，半径为，则圆与y轴相切，切点为原点O，即为A，
又M为的中点，则，所以点M的轨迹是以为直径的圆（去掉A，C两点），
其中圆心为，半径为1，
又，所以.
故选：C.
3．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
因为点为线段的中点，，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
点在直线上，
可得圆心到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：A

4.（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）
【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得.
【详解】因为所以点在以为直径的圆上，
圆的方程为，
所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即.
故选：B.
5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆过点，点在圆上，过点的直线与过点的直线互相垂直，且垂足为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、求过已知三点的圆的标准方程、判断圆与圆的位置关系
【分析】根据圆的性质求出圆的方程，再确定点的轨迹方程，最后根据圆的性质求出的最大值.
【详解】设圆的方程为.
因为圆过点，，，将这三个点代入圆的方程可得：
由可得：
，即，解得.
将代入可得：
解得.把，代入可得：.
所以圆的方程为，圆心，半径.
因为直线过点，直线过点，且，所以点的轨迹是以为直径的圆.
的中点坐标为，，则半径为.
所以点的轨迹方程为，圆心，半径.
根据圆的性质，的最大值为圆心与圆心的距离加上两个圆的半径.
圆心与圆心的距离为.
所以的最大值为.
则的最大值为.
故选：C.
6．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】AD
【知识点】向量与几何最值、轨迹问题——圆、数量积的坐标表示
【分析】不妨设，，根据图形关系求出点的轨迹方程，利用坐标法计算的取值范围.
【详解】如图，圆的方程为，由于圆的对称性，不妨设，
因，则，则，
因，则点的轨迹为以为直径的圆，且位于圆内部，
中点为，，则以为直径的圆方程为，
设，则，则，
又与的交点坐标为，
则，则，
故AD正确，BC错误.
故选：AD
7．（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解.
【详解】动直线 过定点 ，
动直线 即 过定点 .
因为，所以直线与直线垂直，
又直线的斜率一定存在，
注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在，
故点在以为直径的圆上（去除点），
圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离为
所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0；
圆的直径，且点到直线 的距离为，所以，
即的取值范围为 .
故答案为：
8．（2025·四川资阳·一模）已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 .
【答案】1
【知识点】向量与几何最值、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】先求出夹角为，设起点为，终点为，画出示意图，由向量与的夹角为可得，则点C在所对圆周角为的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值即可求解.
【详解】由题意，
代入，得，则夹角为，
如图所示在直角三角形中，，
，
令，则，
即为向量与的夹角为，
则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为，
如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上，
由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求，
所以点即为圆心，半径，
则，此时共线且点C在之间，
故的最小值是1.
故答案为：1.
9．（2025·吉林·三模）已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】设，，根据条件可得复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，在复平面内对应的点的轨迹是圆，利用圆上的点到直线距离最小值的求法可得结果.
【详解】设，由得，
∴，整理得，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线.
设，则，
由得，，即，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为，
∴的最小值为.
故答案为：.
10．（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】利用直接法求出点的轨迹方程，根据结论圆外一点与圆上的动点的最小距离为圆外的点到圆心的距离与该圆的半径的差，求的最小值即可.
【详解】设，则，，
因为，
所以，
所以，即，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
圆的圆心为，半径为，
又点为上一动点，
所以，
当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
近三年：
1、隐圆问题是解析几何与平面向量中的重要考查形式，在选择题，填空题和解答题中亦常出现，考查内容、频率、题型灵活，难度中等及以上，核心是挖掘题目中的隐藏条件，构建出圆的方程。
2、从近几年高考命题来看，隐圆问题常作为综合题的突破口，其本身很少直接以“求圆的方程”为题目设问，而是作为已知条件或解题的关键步骤，融入到动点轨迹、最值问题、范围问题中。 隐圆内容常通过向量、斜率、几何性质、复数等多种形式进行考查，解题的关键在于识别出题目中满足圆定义的几何条件，并转化为代数方程。
预测2026年：
隐圆问题将继续作为高考数学中的一项重要能力和热点，命题形式将更加灵活与隐蔽。它可能继续与向量（如数量积定值）、斜率（如夹角定值）、距离（如到定点距离为定值或到两定点距离平方和为定值）、平面几何性质（如直径所对圆周角为直角）及最值问题深度结合。考生需熟练掌握常见的隐圆模型，提升从复杂条件中抽象出圆模型的能力。
解｜题｜策｜略
到定点距离为定值：圆的定义。
直径所对圆周角为直角：若动点P满足PA⊥PB（A, B为定点），则P点的轨迹是以AB为直径的圆（剔除A, B两点）。
到两定点距离平方和为定值：若动点P满足PA² + PB² = k（定值），则P点轨迹是以AB中点为中心的一个圆。
解｜题｜策｜略
斜率乘积为-1：与两定点连线斜率之积为-1的点的轨迹为是圆（注意斜率不存在的情况）
解｜题｜策｜略
向量的数量积为定值：若A,B为定点，且PA⋅PB=λ,则P的轨迹为圆
向量平方和为定值：若为定点，满足PA2+PB2=λ,则的轨迹为圆
向量模长为定值：利用向量的几何性质，向量模长或者加减运算后模长为定值，可以构造圆，建系解决问题。
解｜题｜策｜略
利用复数的几何意义，以及复数模、辐角的几何含义，将代数条件转化为几何轨迹。
1.利用模的几何意义 |z − z₀| = r，可以表示以点 z0​为圆心，r 为半径的圆
2. 若方程为 ∣z−z1∣=λ∣z−z2∣ (λ>0,λ≠1)，则点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）
解｜题｜策｜略
定义： 在平面上，到两定点距离之比为定值（常数 λ，且 λ>0,λ≠1）的点的轨迹是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。
1、 当题目中出现 “PA = λ · PB” 或 “PA / PB = λ” （λ≠1）这类条件时，应立即联想到动点P的轨迹是阿氏圆。
2、题目若给出∠P的角分线分得AB的比例为定值λ，这里根据角分线原理，也可以得出PA = λ · PB的结论，从而得到阿氏圆。