2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点16抛物线性质及应用(培优专项训练)(学生版+解析)

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考向01 定义与轨迹1：定义
1．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解.
【详解】将变形可得，
设，则的轨迹方程为，设，
则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和，
过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点，
故， 所以，故选：B.
2．（2026·广东佛山·一模）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由得.设，则，得，
又且点A在第一象限，因此，即.设直线的倾斜角为，,
，得.
3．（25-26高二上·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求解.
【详解】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9，
得，解得，而，则，
所以点的坐标为.故选：D
4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）某卫星接收天线的截面可近似看作抛物线的一部分，信号接收焦点位于抛物线的焦点F处．若抛物线上的信号接收点M到直线的距离为9，则焦点F到点M的距离（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】对于，可得，准线为，而接收点M到直线的距离为9，
则接收点M到直线的距离为7，由抛物线的定义可得.故选：B
考向02 定义与轨迹2：轨迹
5．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（）
A．当时，是两条直线
B．当时，是圆
C．当时，是抛物线
D．当时，不存在
【答案】C
【分析】依次代入参数和并化简方程：A选项中直接得到两条垂直于轴的直线；B选项中平方后得到圆的标准方程；C选项中移项平方并分区间讨论得到两段不连续的抛物线弧，并非完整抛物线；D选项中移项后由非负性推出矛盾，无实数解.
【详解】平面上，点到直线的距离为，
到点的距离为，轨迹方程：.
A.当，方程为，即，解得或，
轨迹是两条直线和，A选项正确；
B.当，方程为，即，
平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确，
C.当，方程为，令，，则，
且，由，得：
展开化简得：分两种情况：当时，，，
即，且由，又由得，即，结合，得定义域：，这是抛物线的一段弧；
当时，，，即，且由，由得，即，结合，得定义域：，
这是抛物线的一段弧；轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误；
D.当方程为，即，
要求，即或，若，则，方程为，
平方得，化简得，当时，，无实数解，
若，则，方程为，平方得，化简得，当时，，无实数解，因此轨迹不存在，D选项正确.
故选：C
6．（2026·湖南永州·一模）已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解.
【详解】因为，
整理可得，则，可知为等边三角形．
设点到直线的距离为，则，可得，
如图，过点作，垂足为，则，
过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上，
可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时，
所以的最小值为．故选：C.
7．（25-26高二上·上海松江·期末）已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案.
【详解】若到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，
平面，平面，故平面平面，故到平面的距离即到的距离，设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线，不妨取正方体边长为中点为，以所在的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交，故共有个点满足条件.故选：B.
8．（25-26全国专题练习）已知点满足，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解．
【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离，
又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，则，
当且仅当时，等号成立．故选：B．
考向03 定义与轨迹3：“焦准”互化应用
9．（2025江西模拟预测）设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】C
【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值.
【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为，
所以，的最小值，即的最小值，如图，
，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立，而的最小值为点到直线：的距离，
所以的最小值为.故选：C.
10．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的性质和定义得出与的表达式，构造函数并求导，利用导数求出极值点，进而求出取得最小值时的参数值，最后利用斜率公式求解即可．
【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线的焦点为，准线方程为，设点，根据抛物线的定义得，由两点间距离公式得，则，令，
而函数平方后单调性不变，设，求导得，
令，则，解得（斜率不存在，舍去）或，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
得到，故当时，最小，即最小，
当时，点，由斜率公式得直线斜率为，故D正确．故选：D．
11．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【分析】作，根据差向量的几何意义确定点的轨迹，然后利用抛物线的定义，结合图形求解可得.
【详解】作，因为，所以，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，，
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，如图：
由抛物线定义可知，
由图可知，当点在线段上，且垂直于准线时取得最小值，
最小值为.故选：A
12．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．14D．
【答案】D
【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案.
【详解】由l：得，
由，得，，所以直线，过定点．所以点的中点坐标为，连接AM，则，由题意知点B在以AM为直径的圆上，
所以点B的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H，
则，当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以的最小值为．故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.
考向04 定义与轨迹4：焦半径转化型
13．（25-26高三 安徽模拟预测）已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（ ）
A．8B．C．D．
【答案】D
【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可.
【详解】设，因为的重心恰为F，则，解得，
由可知关于x轴对称，即，代入，可得，又因为，解得，所以，又因为，所以，，设，所以，则.
故选：D.
14．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用导数几何意义得切线斜率，进而得两切线方程，联立求出点，再利用题意和焦半径公式求出，再代入求出即可由焦半径公式求解.
【详解】由题，抛物线即，
所以点A处的切线方程为，同理点B处的切线方程为，联立，即，
因为，则即，则，
所以
，所以，所以.
故选：A
15．（23-24高三下·贵州贵阳·月考）过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【分析】由点斜式得直线方程：，联立直线与抛物线方程得到，，再利用焦半径公式即可求解.
【详解】直线的倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程：，
联立方程，得到，解得，
因为点在点的上方，所以，，抛物线的焦点为 ，
由焦半径公式为，
则 ，；所以.故选：C.
16．（2026·重庆·模拟预测）若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（ ）
A．12B．15C．18D．24
【答案】B
【分析】先求中点横坐标，再利用重心性质求A，B，C横坐标之和，结合抛物线定义即可求解.
【详解】抛物线，准线，焦点.
联立，得，中点横坐标.
设，由重心性质可知：，得.
所以.故选：B.
考向05 焦点弦1： eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)。
1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（ ）
A．12B．10C．9D．6
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解.
【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线.
由得.
设，,则由抛物线的几何性质，得.
方法二：由于，因为，所以.故选：A.
2．（2025河北承德模拟预测）已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为抛物线的通径长为8，所以，解得，所以抛物线，焦点.设，直线的方程为,
联立方程组，可得，,
则,，所以
，当且仅当时等号成立,
所以的最小值为.故选:D.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可.
【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置，
该抛物线的焦点，因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零，
设AB的斜率为，则CD的斜率为，线AB的方程为，与抛物线联立得：，则，
同理可得，因此，故选：D.
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先判断直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程化简，根据根与系数的关系及基本不等式即可求得结果.
【详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，，
设，则，且，当直线的斜率不存在时，则直线为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
所以，得，所以抛物线E的准线方程为，
故选：D
考向06 焦点弦2：梯形转化
5．（25-26北京海淀练习）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．12B．10.5C．9D．7.5
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合，利用梯形中位线建立方程求解.
【详解】抛物线的焦点为，准线为.如图，
取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为.
由抛物线的定义可知，则.
设，则，，又，，
所以，又，即，解得.
所以.故选：C
6．（25-26重庆模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，结合基本不等式可求的最小值.
【详解】如图：分别过点作直线的垂线，垂足分别为，连接.
设，，则，.因为为梯形的中位线，所以.
又，所以.所以.又.所以，当且仅当时取等号.
故选：B
7．（25-26高二上·重庆·期末）如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与圆交于两点，则的最小值为（ ）

A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】设，根据抛物线定义结合题设条件，可得.当直线轴时，，当直线的斜率存在时，设直线方程为，与抛物线方程联立写出韦达定理，借助基本不等式即可求出最值.
【详解】由可得焦点，而圆的圆心即点，半径为，则，
设点，则，于是，同理.
当轴时，，则；
当直线的斜率存在时，设其方程为，代入，整理得，
显然，且，，
则，当且仅当时，等号成立.
综上可得，的最小值为.故选：C.
8．（24-25高三全国专题练习）已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，由抛物线焦半径公式可得：，
再由，结合基本不等式即可求解；
【详解】根据题意，圆，可得，所以该圆的圆心为，所以，，所以，
设点，，易知斜率不为0，设方程为：，
联立抛物线方程消去可得：，所以，又，
两式相乘可得：，所以，
因，当且仅当时等号成立．即时，取得最小值.
故选：B
考向07 焦点弦3：焦点弦定比值
9．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（ ）
A．B．C．12D．
【答案】B
【分析】结合图形特征得到直线AB的倾斜角，求出斜率，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合焦点弦公式求解.
【详解】因为抛物线，所以，焦点，准线，
过分别作，垂足分别为，
由抛物线定义可知，过点作，垂足为，
设，因为，所以，
所以，
在中，，所以，
所以直线的倾斜角为，斜率，所以直线方程为，
由，得，设，则，
由焦点弦公式，故选：B.
10．（25-26高三湖南练习末）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（其中在第一象限），且满足，下列说法错误的是（ ）
A．直线的倾斜角为B．
C．D．
【答案】C
【分析】法一：设直线的方程为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理和，可求出两点的坐标和的值，验证各选项即可；
法二：过两点向准线作垂线，垂足记为，准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点，设长为，则，结合抛物线定义利用比例线段求出的值，验证各选项即可.
【详解】法一：由题意知，当直线斜率为0时不符合题意，故不妨设，直线的方程为.
联立，消去，得，则，
由可知，解得，
故直线的方程为，从而倾斜角为，A选项正确；
计算得到，故，，B选项正确，C选项错误；
，D选项正确.故选：C.
法二：由题意知，如图过两点向准线作垂线，垂足记为，
准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点.
由可知，不妨设长为，则.
结合抛物线定义，有，则，计算得，
所以，得，由平行知直线的倾斜角也为，A选项正确；
因为，且，即故，
所以，而，B选项正确，C选项错误；
，D选项正确.
故选：C.
11．（25-26高三上·四川眉山·月考）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】A
【分析】设出直线方程后，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得.
【详解】由可知，设，、，
联立，则有，故，即，
又，，由，则，即有，
则，即，则或，又，故，则，则.
故选：A.
12．（24-25高二上·湖北·月考）直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设方程为：，与抛物线方程联立计算与，设，由得，利用的值得，计算点的坐标，利用计算的值，即可得到直线的斜率以及的值，利用过焦点的弦长公式可得结果.
【详解】不妨设点在点上方，设.
由题意得直线斜率存在，且，设方程为：，由得，，∴.设，由得，，∴，解得，由得，∴，即，由得，，解得，则，，∴，∴，
∴.故选：A.
考向08 焦点弦4：面积型
13．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】有的面积是的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出、，即可得解.
【详解】令为点到直线的距离，则，,由，故， 由抛物线定义可知，，，则有，即，
设直线方程为，联立抛物线方程，有，，
故，，则，则有，故，
有，故或（负值舍去），则，
故.故选：C.
14．（23-24高三广东模拟预测）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过分别作的准线的垂线交轴于点，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数，进而可得抛物线方程.
【详解】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点，则，故，
因为的准线为，所以，，
所以，解得，
故抛物线C的方程为.故选：B.
15．（2021·山西太原·一模）已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过焦点坐标，可确定抛物线方程，设出直线方程，分别表示出的面积与的面积，借助韦达定理和抛物线焦点弦长公式即可．
【详解】由焦点的坐标可得，所以，所以抛物线的方程为：，
设直线方程为：，设，设在轴上方，设，
联立，整理可得：，①，②，
由题意，可得，代入①②可得：，解得：，
将的值代入①可得，，
由抛物线的性质可得，故选：A.
【点睛】本题关键点在于如何通过联立得到的韦达定理正确转化面积，通过面积之比为2，可得，进而可以确定．
16．（2025·全国 模拟预测）过抛物线的焦点任作一直线交抛物线于两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为
A．2B．
C．4D．8
【答案】A
【详解】试题分析：抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入抛物线，整理得，设，则，所以，所以面积，即的面积最小值为，故选A．
考点：抛物线的简单的几何性质．
考向09 综合1：切线
1．（25-26高三上·河北衡水·月考）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，若，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】根据题意，反射光线轴，和，得到，即，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点为，
如图所示，由光学性质，入射光线，则反射光线轴，所以，
又因为，所以，
因为轴，，则，所以，
即，所以，解得.故选：A
2．（2024·河北邢台·二模）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件得到，从而有为的角平分线，再利用，得到，进而求出，即可求出结果.
【详解】如图，过作，设，则，
所以，设抛物线在点处的切线的方程为，
由，消得到，由，
得到，所以由题有，即，
所以，又，所以，
得到为的角平分线，又，所以，
又均为直角三角形，所以，得到，
所以，故答案：B.
3．（2023·浙江温州·模拟预测）已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】设，然后表示出两条切线方程，从而可表示出直线的方程，再利用点到直线的距离公式表示出原点到直线距离，从而可求出其最大值.
【详解】设，切点为，由，得，则，
所以在点处的切线方程为，即，因为，所以
在点处的切线方程为，即，因为，所以
因为两切线都过点，所以，，所以直线的方程为，即，所以原点到直线距离为
，当且仅当时取等号，所以原点到直线距离的最大值为，
故选：B
4．（22-23全国专题练习）已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，利用导数写出切线的方程，联立求出交点坐标 ， 又由，知为三角形的重心，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出的坐标为再代入抛物线方程, 求出，进而求C的准线方程.
【详解】设，由，得，则，
则 即 同理直线的方程为 ，
联立的方程可得，则，
又由，得为三角形的重心,
则， ，得，
则，又抛物线上，得，即，准线方程为.故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
考向10 综合2：抛物线与圆
5．（25-26高三浙江模拟预测）设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为_______________.
【答案】
【分析】根据给定条件，可得圆与抛物线及直线都相切，设出圆的方程并与抛物线方程联立，利用判别式求解.
【详解】依题意，当圆的半径取最大值时，圆与抛物线、直线都相切，
由对称性设，则半径，圆的方程为，
由，得，，因此，，
所以圆的半径能取到的最大值为.故答案为：
6．（24-25高三山西模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________．
【答案】或
【分析】先计算抛物线方程，再设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得，根据题意即可求得直线的斜率.
【详解】因为抛物线经过点，所以，所以，圆的圆心为，半径为， 设直线的斜率为，则直线的方程为，代入可得，设、，则，
所以，所以，所以，
所以，所以，即得解得.故答案为：或.
7．（·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的值是__________．
【答案】1
【详解】设 ,则 ,
由与联立方程消得 ,因此
8．（23-24高三上·浙江·月考）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线相切于点，与轴相切于点，则______．
【答案】2
【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，不妨令在第一象限，设，则圆的半径，即可得到圆的方程，设，利用导数求出抛物线在点处的切线的斜率，依题意可得与抛物线在点处的切线垂直，即可得到、的方程组，解得，即可求出，最后根据焦半径公式计算可得.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
依题意不妨令在第一象限，设，则圆的半径，设（），
则圆的方程为，由，可得，则，所以抛物线在点处的切线的斜率，依题意可得与抛物线在点处的切线垂直，所以，则①，又点在圆上，所以，则②，
所以，整理可得，解得或（舍去），
所以，即，所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是抛物线在点的切线同时也是圆在点的切线，结合导数的几何意义及圆的切线的性质得到方程组.
考向11 综合3：将军饮马型
9．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】A
【分析】设过点的直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可.
【详解】由抛物线的方程为，焦点坐标为，
设直线的方程为：， 联立方程，整理得，则，故，又，，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：A.
10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】设直线方程为，联立方程组得出两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于两点坐标的式子，使用基本不等式求出最小值.
【详解】抛物线的焦点，过的斜率为0的直线为，直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，故直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，联立方程组，得，方程的判别式，设，则，，所以，由抛物线的性质得，
.
当且仅当时，等号成立，故选：C.
11．（24-25高二上·浙江金华·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．5
【答案】B
【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到．
【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上，
将圆变形为：
即，，当且仅当三点共线时取等号；
设，则，当且仅当时取等号；
所以，故所以的最小值为，故选：B．
【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值．
12．（24-25高二上·河北保定·月考）已知点､分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则当取得最小值时点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设定点，确定定点满足恒成立，从而得到，再由在一条直线上时，取得最小即可求解；
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，又由圆，
可化为，可得圆心坐标为，半径．设定点，满足成立，且，即恒成立，其中，
代入两边平方可得：，解得，
所以定点满足恒成立，可得，如图所示，
当且仅当在一条直线上时，此时取得最小值，即．设，满足，所以，
当且仅当时，等号成立，此时．故选：A
考向12 综合4：阿基米德三角形
13．（多选）（2025·河南信阳·一模）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若为正三角形，则其面积为
C．若，则的面积的最小值为
D．一般情况下，的面积
【答案】ABC
【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.
【详解】由题意可知：直线一定存在斜率，所以设直线的方程为：，
由题意可知：点，不妨设，由，所以直线切线的方程分别为：，两方程联立得：，
解得：，所以点坐标为：，直线的方程与抛物线方程联立得：
.对于A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ，因为过抛物线的焦点，所以，而，显然点一定在抛物线的准线上，故A正确；
对于B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，则，因为 ，所以化简得：，
此时， 点坐标为：，因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
所以，因此正三角形的边长为，所以正三角形的面积为，故B正确；
对于C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，所以，即，化简得，直线的方程为：，所以点坐标为，点 到直线的距离为：
，又
，因为，所以 ，
因此直角的面积为：，当且仅当时，取等号，所以其面积有最小值，故C正确；
对于D：因为，所以点到直线的距离为：
，
所以阿基米德三角形的面积为，故D不正确.
故选：ABC.
14．（多选）（2025四川模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．点在抛物线（）的准线上
B．存在点，使得
C．
D．面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D.
【详解】设，设直线：，联立得，
则，设过点的切线为，
联立得，由，可得，
同理可得过点的切线斜率为，所以处切线方程分别为，
联立可得，故A正确；
又即，，所以，，所以，，
即，C正确；
又，所以，，
所以，B错；
由上述知，，又因为直线斜率为，所以，设准线与轴的交点为，
则面积，当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），
此时面积取最小值，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想.
15．（多选）（2025广西模拟预测）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3.
B．点与点的纵坐标相等.
C．若点在直线上，则直线过点.
D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为.
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角函数等知识逐项计算求解即可.
【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线定义可知，则
当且仅当､､三点共线时取等号，故A错误；
对于B，设，过点的切线方程为
（切线斜率不为0），联立抛物线方程，化简并整理得，，又，
所以方程可变形为，
而，所以，所以过点的切线方程为，结合，可得过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，
联立，结合，解得，而线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确；
对于C，可设直线，联立，化简并整理得，显然，
直线方程为过点，故C正确；
对于D，依题意直线的倾斜角为锐角，设，设直线方程为，联立，易得由题意知，
，，，，
则
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
16．（多选）（25-26全国专题练习）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（ ）
A．有可能是等边三角形
B．顶点在抛物线的准线上
C．若边的中点为，则轴
D．面积的最小值为64
【答案】BCD
【分析】关于阿基米德三角形的结论，需要逐个选项去判断，由，即可证明A；求出处的切线方程，可以得出的坐标进而可以验证B；通过两点的横坐标相同可以判断C；利用三角形面积公式结合韦达定理可以判断D.
【详解】设，，，，由可得：，，
由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为，
设直线，联立，化为，得到，．
对于A，，，故 ，所以是直角三角形，故A错误；
对于B：由导数的几何意义可得处的切线方程为：，则，化简可得：，所以直线的方程为：，同理可得：直线的方程为：，
所以，则，因为，解得：，
所以，所以，因为抛物线：的准线为，
所以顶点的轨迹是抛物线的准线，故B正确；
对于C： 的中点，与横坐标相同，故轴，故C正确；
对于D：因为平行轴，所以
因为，．
所以，，
代入可得：，
当时，，故D正确；故选：BCD.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的弦，其中点在第一象限，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由焦点坐标求出抛物线方程，再联立直线与抛物线方程得到交点坐标，最后利用向量点积、抛物线定义和弦长公式逐一验证选项，得出正确结论.
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得，抛物线方程为，
又直线，由可得，
解得或，由得；由得，所以，
对于A：因为，所以，A错误；
对于B：，因为,
所以，B错误；
对于C：，
或由抛物线焦点弦公式，C错误；
对于D：由抛物线定义可得，所以，D正确.
【点睛】本题的核心是抛物线定义与焦点弦性质.
2．（24-25高三上·陕西·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】D
【分析】设过点的直线方程为，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理得出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可.
【详解】由题意可知，，设过点的直线方程为.
，将直线方程代入抛物线方程可得.化简得.根据韦达定理得.又，所以.由于抛物线的准线方程为，所以.所以.
因为，所以.当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为.
3．（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义进行求解即可.
【详解】记的焦点为，由抛物线定义可知，于是，当且仅当依次共线且在之间时等号成立．
此时取最大值为3.
4．（2026·甘肃·一模）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】B
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】由抛物线，焦点坐标为，由题意知，两条弦所在直线的斜率必存在且均不为0，
不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
因为弦过抛物线焦点，所以设直线的方程为，联立方程：，消去得：，则，且，故，将中的换为，得，
所以可得，当且仅当时，“”成立，
则的最小值为16.
5．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线焦点坐标求得判断A；根据焦点弦长公式求解判断B；设直线的方程为，与抛物线联立，韦达定理判断D；利用求得判断C.
【详解】因为抛物线的焦点，所以，所以，故A错误；
抛物线为，焦点为， 因为抛物线的准线为，则，，
所以，故B正确；
设直线的方程为，与抛物线联立，消去可得，可得，，故D错误；
因为，所以，所以，所以，故C错误.故选：B
6．（2026·陕西铜川·一模）已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用，结合圆与抛物线的交点得出M点的横坐标，再由抛物线的定义得，又因为，求得即得.
【详解】因为C的准线和轴交于点，且．根据题意可得图形，
由已知，可知满足，
又因为M在抛物线C上，所以，
所以，所以，因此，M点的横坐标是，
由抛物线的定义知， 且，
所以，所以．
故选：B.
7．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值，
【详解】设直线的方程为，与联立可得，
设，则，因为，则，则，
因为，所以直线的直线方程为，故可得，
因为，所以，即，解得，故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为，
设P到准线的垂线段为，为垂足，则，故，表示点到准线的距离与到点的距离之和，故当三点共线时，距离和最小，此时点坐标为，故，即，的最小值为4.
8．（25-26高三全国专题练习）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值.
【详解】抛物线的焦点，设直线l的方程为，,，
由消去得，则，，
由，得，解得，
抛物线的准线方程为，，，，
于是，，
，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，对应点的横坐标为，由得，
则，该情况符合题意，可以取到最小值，所以取得最小值．故选：A.
二、多选题
9．（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（ ）
A．圆与直线相切B．圆的面积的最小值是
C．的最大值是D．存在点，使得
【答案】ACD
【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得.
【详解】如图：过点作于点，设，则，.
对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径，所以圆与直线相切，A正确；
对于B，因为圆经过点，所以圆的半径，所以圆的面积的最小值是，B错误；
对于C，因为，所以，
所以，令，则，
当且仅当，即时等号成立，所以C正确；
对于D，，，
化简得，得，即，再代入
得，所以存在或使得成立，D正确.
10．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（ ）
A．
B．当时，的横坐标为
C．当时，
D．
【答案】AC
【分析】写出圆的方程，利用给定点求出，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可逐个选项判断．
【详解】抛物线的焦点为，圆方程为，
对于A，由点在圆上，得，而，则，A正确；
抛物线的焦点为，设直线方程为，
由对称性不妨令点在第一象限，由，得，则，
对于B，由，得，解得，B错误；
对于C，由选项B得点，直线斜率，即，
则，而，因此，C正确；
对于D，，又
，且圆的弦，
因此不一定小于，D错误．
11．（25-26高三全国专题练习）已知抛物线，过焦点的直线交于点，则（ ）
A．的坐标为B．
C．的最小值为2D．
【答案】ABD
【分析】对于A，根据抛物线的性质求焦点坐标即可判断，对于B，设直线，联立方程组结合根与系数的关系求即可判断，对于C，结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值即可判断，对于D，根据抛物线定义利用表示，进一步计算即可判断.
【详解】对于A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，
则，故的坐标为，故A正确；
对于B，设直线，联立，得，
方程的判别式，，，
，，
故，故B正确；
对于C，因为，所以当时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误；
对于D，由，得，故D正确.
三、填空题
12．（25-26高三河北模拟预测）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________．
【答案】
【详解】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得，
则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号，
直线，由且，得，即点，
所以的最大值为，此时点P的坐标为.
13．（25-26高三下·北京·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线的方程为___________．
【答案】
【分析】根据垂直平分线性质和抛物线定义得到，设，则，结合，求出的值，从而得到抛物线方程.
【详解】抛物线的焦点为，准线，则，
因为是的垂直平分线，所以，设，
则，代入抛物线方程可得：，即，又因为，
所以，解得，因此抛物线方程为.
故答案为：.
14．（20-21高三上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则___________.
【答案】
【分析】先将点M代入抛物线方程得到一个关系式，而后利用抛物线的定义将A到焦点的距离转化为到准线的距离，然后根据圆的弦长公式用勾股定理得到第二个关系式，进一步解出即可.
【详解】如图所示，在抛物线上，则……①
易知，，由，
因为被直线截得的弦长为，则，
由， 于是在中，……②
由①②解得：，所以.故答案为：.
【点睛】本题应当结合抛物线的简单几何性质和定义以及勾股定理在抛物线中的应用，一定要结合图形找到各个量之间的联系，抛物线题目切记抛物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离.
结束
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近三年：近三年高考中抛物线考察以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中作为第二问或与椭圆、 双曲线结合出现在解析几何大题中，是解析几何的必考点，抛物线作为圆锥曲线的核心考点之一，考察呈现题型稳定、难度中等偏上、侧重性质综合应用的特点，且常与其他知识结合考查综合能力。。
近三年高考摒弃复杂计算，更注重抛物线定义的转化思想，所有难题均可通过定义将 “焦点距离” 转化为 “准线距离” 简化求解，避免硬算。
预测2026年：抛物线作为圆锥曲线的核心必考点，考察将延续基础题型稳定、综合题型创新的特点，同时强化跨模块融合与数学思想的考查。
抛物线定义
(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
(2)抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
抛物线型的轨迹，从以下几方面入手：
1.到定点距离 = 到定直线距离（这是抛物线定义，高考最常考）
2.求轨迹的方程化简后是：
y2=2px，x2=2py，或它们的平移形式：(y−y0)2=2p(x−x0), (x−x0)2=2p(y−y0)
3.动点满足焦半径、焦点弦、切线、切点弦的某种性质，最后化简出来是抛物线。
抛物线“焦准”互化：
思维：遇到抛物线，涉及到“焦点（或者到点距离） + 距离”，则思考“焦准”互化。
2.抛物线上任意一点 P到焦点 F 的距离 = 到准线 l 的距离：∣PF∣=d(P,l)这就是焦准互化。
3.看到焦点就想准线，看到距离就想转化，涉及到焦半径就变坐标，焦点弦用坐标公式或者极坐标角度公式。
抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，结合极坐标知识中的圆锥曲线同一方程，可得焦半径如下简洁公式：
焦半径公式：，，
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
焦半径：eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)。
焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (其中，α为直线AB的倾斜角)
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq \f(p,2) (随焦点位置变动而改变)；
②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (其中，α为直线AB的倾斜角)；
过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为
|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)
已知AB为抛物线的焦点弦，。
抛物线切线有如下结论与性质：
1.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．
3.点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：
抛物线与圆的综合题型，多从以下几方面入手：
1.圆外一点与圆上一点距离，多转化为与圆心的距离
2.抛物线上点与焦点（或者准线）距离，多转化为与准线（或焦点）的距离。
3.利用圆的方程与抛物线的方程，可以设点坐标计算。
抛物线型将军饮马型，大多数需要借助联立方程韦达定理+基本不等式来转化求解。
设抛物线的一条焦点弦为 AB，过 A、B 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 P，由点 P 和焦点弦 AB 围成的△PAB，称为抛物线的阿基米德三角形。
要注意，AB 必须是抛物线的焦点弦，若 AB 为普通弦，围成的三角形并非阿基米德三角形。以标准抛物线y2=2px(p>0)为例）
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p/2​,0)，焦点弦AB，切线PA、PB交于P(x0​,y​)，以下为必记性质：
性质 1：切线交点 P 的位置特征
点 P必在抛物线的准线x=−P/2上.结论延伸：若点 P 在准线上，则以 P 为切线交点的切点弦 AB 必为抛物线的焦点弦。
性质 2：阿基米德三角形的垂直关系
PA⊥PB，且PF⊥AB（PF 是阿基米德三角形的高，也是 AB 的中垂线）。
性质 3：阿基米德三角形的面积公式
S△PAB​= .。
推论：当AB 为通径时，阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2。
性质 4：焦点 F 的位置特征
焦点 F 是阿基米德三角形△PAB 的垂心（三条高线的交点），且∣PF∣=∣AB∣/2（由直角三角形斜边中线性质推导）。