2026年高考数学百分练（十七）考前冲刺（7+2+2+3）全国通用

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一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
2.已知，则向量的夹角为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,，.
3.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【解析】由题意知，样本数据所对应的点均在直线上，而直线的斜率，
说明解释变量和响应变量之间正相关，即，且线性相关程度达到最强，所以.
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【解析】（方法一）由，可得，因为，，所以，，
则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为13．
（方法二）由，可得，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为13．
5．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格：
由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个，
且，所以这个零件的直径的第百分位数为．
6．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设球的半径为，圆台上底面半径，下底面半径.因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高；球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，
根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长；
由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：，代入已知量得，解得；
代入球的表面积公式，得.
7．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义知，，设，，则.
双曲线离心率，故.
在中，，由余弦定理得：，
又，代入得.将、代入上式：.化简得.
即，整理为.
因式分解得，因，故.
则，因此.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．已知复数，，且，下列说法正确的是（ ）
A．是纯虚数B．是实数
C．是虚数D．若，则是实数
【答案】AD
【解析】A. 为纯虚数，故A正确；
B.，只有时，才是实数，故B错误；
C.，只有时为虚数，为实数，故C错误；
D. 为实数，故D正确.
9．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（ ）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D．函数的单调递减区间为
【答案】AC
【解析】设函数的最小正周期为，由函数的第一个最低点为，可知；因为函数图象经过点，则，即，
且，则；又因为函数在y轴右侧的第一个零点为，
则，即，
且，则，解得，所以，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为，不为最值，
所以不为函数图象的一条对称轴，故B错误；
对于选项C：将的图象向右平移个单位长度，
得，为偶函数，故C正确；
对于选项D：令，解得，
所以函数的单调递减区间为，故D错误.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10. 设抛物线的焦点为，点在C上，且，则__________．
【答案】
【解析】由题可知抛物线的准线为，
由抛物线定义可得：，解得.
11．等比数列的前n项和为 ， 已知成等差数列，则 的公比为 .
【答案】
【解析】因为已知成等差数列，所以；即，化简得到；所以或（舍去）.
故答案为：.
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若是的中点，且，，求的长．
【解析】（1）因为，所以，
而，又故．
两边平方得，所以，
因为，，所以，解得．
（2）由余弦定理，得，
因为，，，
即，所以，代入得．
在和中，
分别应用余弦定理得：
，．
因为，，
将两式相加得，故，所以．
13. 如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：如图，连接，设，
因为，且，故，
而，故，故，
而平面，平面，故平面.
（2）解：因为，故，故，
而平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，，故，又.
设平面的法向量为，则即，取，
设平面的法向量为，则即，取，
设二面角的平面角为，由题设可得为锐角，
故.
14. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，右焦点为.
（1）求的方程；
（2）经过的直线与交于两点，且以为直径的圆与直线相切，求的方程.
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，则①，
又，则②，由①②解得，则，
所以的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，，由，得到，
所以，此时以为直径的圆的圆心为，半径为，
又到直线的距离为，不合题意，
若直线的斜率存在，设，，
由，消得到，
则，
，，
所以的中点为，则到直线的距离为，
又，由题有，
整理得到，解得，所以的方程为或,
即或
直径/mm
46
47
48
49
50
51
52
53
54
频数
5
8
12
15
20
18
12
6
4