2026年高考数学百分练（十四）考前冲刺（7+2+2+3）全国通用

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一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线，则其焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将抛物线化为标准式得，所以，所以其焦点坐标为，B正确.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，即，即得，
则.
3. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】B
【解析】由得，
所以.
4.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ）
A.12B.24C.36D.48
【答案】C
【解析】礼仪、司机两项只能从其余三人中选派，.翻译、导游两项从剩余三人中选派，.
5.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】因为关于x的不等式的解集是，所以的两个根是，2，由根与系数的关系可得，，所以可转化为，解得或，所以原不等式的解集为.故选B.
6.已知，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】，所以，所以，故，故选B.
7．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设球的半径为，圆台上底面半径，下底面半径.因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高；球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，
根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长；
由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：，
代入已知量得，解得；代入球的表面积公式，得.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ）
A. 众数是4B. 平均数是4C. 极差是3D. 中位数是4.5
【答案】BC
【解析】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次，
所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误；
平均数为，故B正确；
极差为，故C正确；
中位数为，故D错误.
9. 已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（ ）
A. 点M在双曲线C上
B. 当P在圆T上时，的面积为8
C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3
D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值
【答案】ABD
【解析】由题知双曲线的焦点在轴，
故，焦点坐标为，
因为圆过焦点，代入得，即，解得，
因此双曲线的方程为：.
对于A：点代入双曲线方程得左边右边，
因此在双曲线上，故A正确；
对于B：联立，消去得，故横坐标可以为 ，
中，，高为，
面积 ，故B正确.
对于C：双曲线渐近线为，
设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为，
因为在双曲线上，故满足，即，
点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下，
为，故C错误；
对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点，
则，
又①，②，由①②得到，
得到，所以，
综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称，
且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值，
故当点坐标为时，
直线和的斜率之积为定值，故D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10.已知平面向量，，若，则_________.
【答案】
【解析】，，故，所以.
11.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.
【答案】
【解析】因为函数，所以，又因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得.
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 在数列中，，，，且是等差数列.
（1）求；
（2）证明：.
【解析】设，则，
因为是等差数列，即是等差数列，
则有，即，解得.
（2）由（1）知，，则的公差为2，首项为6，则，即，
当时，
将各式相加，得，
即，即，而满足上式，
因此，，
则，
因为，则，则，得证.
13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）
如图所示，作线段的中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，
因平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为平面，所以，
因为底面为矩形，所以，
因为，面，面，所以面，
因为平面，所以平面面.
（2）如图所示，作中点，连接，则
由（1）可得，面，面，所以面，
则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；
则，
可得，
设面的法向量为，则，得，
令，解得，所以面的一个法向量为，
易知面得一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角余弦值为.
14.为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试，每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：
（1）估计B软件能正确解答数学问题的概率.
（2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数试题2道，几何试题1道；使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示这3道试题被正确解答的个数，求X的分布列与数学期望.
（3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从之前的情况来看，该题是函数试题的概率为，是几何试题的概率为.假设用频率估计概率，试说明小明应该用哪款软件来解答这道试题.
【解析】（1）记B软件能正确解答数学问题为事件B，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得.
（2）法一：使用A软件解答函数试题正确的概率为，
使用B软件解答几何试题正确的概率为.
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
.
则X的分布列为
其期望为.………………………………………10分
法二：函数试题用A软件解答，几何试题用B软件解答.
用，分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，
因为，，所以有如下分布列：
则的所有可能取值为0，1，2，3，
且，，
，，
则其分布列为
由二项分布的期望公式可得，，
因为，相互独立，
所以.
（3）小明应该使用B软件来解答这道试题.
记“A软件能正确解答这道试题”为事件E，“B软件能正确解答这道试题”为事件F，“该试题为几何试题”为事件G，
则，，，，，，
由全概率公式可得，
.
因为，所以B软件能够正确解答这道试题的概率更大，
故小明应该使用B软件来解答这道试题.
试题类别
A软件
B软件
测试试题数量
正确解答的数量
测试试题数量
正确解答的数量
函数试题
30
24
20
18
几何试题
20
16
30
20
X
0
1
2
3
P
0
1
2
P
0
1
P
X
0
1
2
3
P