2026年高考数学百分练（十三）考前冲刺（7+2+2+3）全国通用

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一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，所以.
2．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
3．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．13B．15C．17D．19
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，
故.
4．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以.设，，则.代入，得.
又，所以，解得.因此.
5.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，，则（ ）
A.B.C.4D.
【答案】B
【解析】法—：易知，抛物线C的准线为直线.设，由抛物线的定义可知，所以，又为C上的点，所以，因此
.
法二：易知，设，则，得，所以.
6.在正四棱台中，，，则该正四棱台的体积为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】作出正四棱台的轴截面，如图，过点作，垂足为E.在正四棱台中，，，则，，，即梯形为等腰梯形，所以，所以该正四棱台的体积.
7.定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，设，，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数是以8为周期的周期函数.，.又在上单调递增，且，所以，即.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8.已知，，，…，的平均数和方差分别是8和1.5，设一组数据0，，，，…，，20的平均数和方差分别是和，另一组数据，，…，的平均数和方差分别是和，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.若，则D.若且，则
【答案】AC
【解析】A正确，由题意得，，
所以，，从而.
B错误 ，将0和20作为一组，其平均数和方差分别为，，故，.
C正确，若，则，得.
D错误，当时，由，得，解得.
9. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 平面ABCB.
C. 平面D. PQ与MN相交
【答案】ACD
【解析】对于A，取的中点D，连接，.在中，P，D分别为，中点，
，且.在直三棱柱中，，.
Q为棱的中点，，且.，.
四边形为平行四边形，从而.
又平面，平面，平面，A正确，
对于B，因为为的中点，若，则，
连接，为的中点，则，又平面，
所以平面，平面，
所以，设，，则，，
所以，，与矛盾，所以不成立，B错误，
对于C，在直三棱柱中，平面.
又平面，.，D为中点，.
由选项A的推理知，，.
又，平面，平面，所以平面，C正确；
对于D，因为为的中点，四边形为矩形，所以点为的中点，又为的中点，
所以，且，
又分别为的中点，所以，，所以，，
所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．已知正数x，y满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为正数x，y满足，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
11.已知，为锐角，，，则__________.
【答案】
【解析】法一：由题可得，，因为，所以，故，，
又，所以，，故.
所以.
法二：由题可得，，所以，所以.
因为，所以，故.
因为，所以，
所以
，所以，
故，所以.
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，，
（1）求；
（2）求.
【解析】（1）由，得，为直角三角形且，
由勾股定理，故.
因为，所以，即，解得.
在中，由余弦定理：
代入，，，得
即，.
解得.
（2）由，得，.
在中，，，.
由余弦定理：.
代入得，即.
在中，，，.
由余弦定理：.
代入得.
由同角三角函数关系，.
故.
13.已知等差数列的公差，是，的等比中项，且.
（1）求的通项公式；
（2）给定正整数m，设函数，求.
【解析】（1）因为是，的等比中项，所以，
即，整理得，
又，所以.①
因为，所以，即，即.②
由①②得，，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
所以.
14.已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）求面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线PQ的方程.
（3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）将代入椭圆方程，得，则，
所以椭圆方程为.
（2）当直线PQ的斜率为0时，此时O，P，Q三点共线，不合要求，舍去；
当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，，，
由，消去x得关于y的一元二次方程，，，则，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
故面积的最大值为，此时直线PQ的方程为或.
（3）在x轴上存在点，使得恒成立，理由如下.
因为，所以，
即，整理得，
即，所以，
则，又，解得.
故在x轴上存在点，使得恒成立.