2026年湖南省中考数学 复习提升-专题二 代数、几何综合性问题 习题课件(含答案）

这是一份2026年湖南省中考数学 复习提升-专题二 代数、几何综合性问题 习题课件(含答案），共43页。PPT课件主要包含了代数综合问题，答图①，答图②，答图③，几何综合问题，代数与几何综合问题等内容，欢迎下载使用。
代数综合问题主要是方程与不等式，函数等知识的综合.主要考查方程的解与系数的关系，方程、函数问题中隐含的不等关系，函数的图象与性质等.解决此类问题的关键是透过现象抓住问题的本质，这类看似是代数问题，往往需要借助函数的图象，运用数形结合及函数思想进行解决.
【例1】 (2024•吉林)小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入x的值为－2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.(1)直接写出k，a，b的值.
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图②.①当y随x的增大而增大时，求x的取值范围.
解：∵k＝1，a＝1，b＝－2，∴一次函数的表达式为y＝x＋3，二次函数的表达式为y＝x2－2x＋3.当x＞0时，y＝x2－2x＋3的对称轴为直线x＝1，图象开口向上，∴x≥1时，y随着x的增大而增大；当x≤0时，y＝x＋3，k＝1＞0，∴x≤0时，y随着x的增大而增大.综上所述，x的取值范围为x≤0或x≥1.
②若关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在0＜x＜4时无解，求t的取值范围.
解：∵ax2＋bx＋3－t＝0，∴ax2＋bx＋3＝t在0＜x＜4时无解，∴问题转化为抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点.
∵对于y＝x2－2x＋3，当x＝1时，y＝2，∴顶点坐标为(1，2)，如答图①.当t＝2时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x＜4时正好有一个交点.当t＜2时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点.当x＝4，y＝42－2×4＋3＝11.
当t＝11时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x≤4时正好有一个交点，当t≥11时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点.综上所述，当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，即当t＜2或t≥11时，关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在0＜x＜4时无解.
③若在函数图象上有点P，Q(P与Q不重合).P的横坐标为m，Q的横坐标为－m＋1.小明对P，Q之间(含P，Q两点)的函数图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围.
1.(2025•北京)工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0，1，2，3)的模拟练习，然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数.当T＝0和T＝3时，部分数据如下：
T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变.
(1)观察曲线C1，当整数x的值为　　　时，y的值首次超过35.
(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3.
根据题意可得m的值约为46，画出T＝3时的曲线C3如图所示.
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制.①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　　日可获得“优秀学员”证书.②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　　　日的模拟练习.
第四章 专题训练专题二 代数、几何综合性问题
几何综合问题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系，以及图形的运动、变换等规律.　　求解几何综合题时，关键是要抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想，将分散的条件相对集中产生基本图形，运用基本图形的性质，合理运用代数、几何等知识与方法进行推理与计算.
【例2】 (2025•长沙)如图①，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD＋BC.(1)求证：CD与该半圆相切.
如答图①，连接CO并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E.∵AD与BC均为该半圆的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴∠M＝∠1.∵O为AB的中点，∴OA＝OB.
2.(2024•山东)一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图①.(1)求证：BM＝EN.
(2)在同一平面内，将图①中的两个三角形按如图②所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图②中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.
①当α＝30°时，如图③，求证：四边形CNPM为正方形；
证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°.∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°.∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，∴四边形CNPM为矩形.∵BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN，∴四边形CNPM是正方形.
②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系.
　　代数与几何综合问题是初中数学中覆盖面广且综合性强的题，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现.其解题关键点是借助几何图形的直观性，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解决问题.
【例3】  (2025•广东改编)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.(1)如图①，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长.
(2)如图②，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示，点C为所求.
3.(2024•天津)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a＞0)的顶点为P，且2a＋b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M(m，1)在抛物线上，m＞1，O为坐标原点.(1)当a＝1，c＝－1时，求该抛物线顶点P的坐标.