2022高考数学一轮复习第二章不等式第3讲基本不等式学案

第3讲　基本不等式

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数．

2．利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)

常用结论

几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

常见误区

1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；

2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)

(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(易错题)若x<0，则x＋(　　)

A．有最小值，且最小值为2

B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为－2

D．有最大值，且最大值为－2

解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.

3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　)

A．1＋ B．1＋

C．3 D．4

解析：选C.当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.

4．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________．

解析：y＝2x(1－x)≤2＝.

当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．

答案：

5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0<x<10，

则面积S＝x(10－x)≤＝25，

当且仅当x＝10－x，

即x＝5时等号成立．

故当矩形的长与宽相等，

且都为5 m时面积取到最大值25 m2.

答案：25

　　　　　　利用基本不等式求最值

技法一　配凑法求最值

(1)(2021·宿州模拟)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝(　　)

A．9　　 B．7

C．5 D．3

(2)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．　

【解析】　(1)因为x>－1，所以x＋1>0，

所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥

2－5＝1，

当且仅当x＋1＝，

即x＝2时取等号，

所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，

所以2a＋3b＝7.

(2)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，

当且仅当3x＝4－3x，

即x＝时，取等号．

【答案】　(1)B　(2)

通过配凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　

技法二　常数代换法求最值

已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．

【解析】　＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．

【答案】　9

【引申探究】

1．(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________．　

解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．

答案：4

2．(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________．

解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，

＝

＝

＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．

答案：＋

常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．　

技法三　消元法求最值

(2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________．

【解析】　方法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.

方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2 ＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是，

【答案】　

消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　

1．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为(　　)

A．－9 B．9

C．10 D．0

解析：选B.＝5＋＋x2y2≥5＋2＝9，　

当且仅当xy＝±时，上式取得等号，可得最小值为9.

2．(2021·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为(　　)

A．12 B．16

C．20 D．24

解析：选B.由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当，即时取等号，故选B.

3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)

A．0 B．

C．2 D．

解析：选C.z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.

　　　　　　利用基本不等式解决实际问题

经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝

当该型号汽车的速度为________km/h时，每小时耗油量最少，最少为每小时________L.

【解析】　当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，

所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.

当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，

故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.

因为9<10，所以当x＝65，

即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少，最少为每小时9 L.

【答案】　65　9

应用基本不等式解决实际问题的基本步骤

(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；

(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；

(3)还原为实际问题，写出答案．　

某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．

解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，

则y＝a＋b＋3＝3a＋3，

所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a

＝(3x－8)＝1 808－3x－y

＝1 808－3x－×

＝1 808－≤1 808－2

＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.

答案：1 568

思想方法系列2　应用基本不等式的常见技巧

基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：

技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值

函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　)

A．－4 B．1

C．5 D．－1

[思路点拨]　由于已知条件x＜3，x－3＜0，先将f(x)转化为f(x)＝－＋3，再用基本不等式求最值．

【解析】　因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.

【答案】　D

技巧二　平方后再使用基本不等式

一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．

若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．

[思路点拨]　由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．

【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.

技巧三　展开后求最值

对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．

已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．

[思路点拨]　由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．

【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，

因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.

技巧四　形如型函数变形后使用基本不等式

若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．

求函数y＝(x≠－1)的值域．

[思路点拨]　将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用基本不等式求解．

【解】　因为y＝＝

＝＝x＋1＋＋5，

当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；

当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．

所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．

技巧五　用“1”的代换法求最值

若a，b为常数，且0<x<1，求f(x)＝＋的最小值．

[思路点拨]　根据待求式的特征及0<x<1知x>0，1－x>0.又1＝x＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．

【解】　因为0<x<1，

所以1－x>0.

所以＋＝(x＋1－x)＝·[x＋(1－x)]＋·[x＋(1－x)]

＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.

当且仅当＝时，等号成立．

所以＋≥(a＋b)2.

故函数f(x)的最小值为(a＋b)2.

技巧六　代换减元求最值

(2021·天津模拟)已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b) 在直线x＋y＋c＝2上，则＋的最小值为________．

[思路点拨]　本题由已知条件求出a，b，c的关系，再利用均值不等式求最值．

【解析】　因为P(a，b)在x＋y＋c＝2上，

所以a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0，

＋＝＋＝＋－1，

设则m＋n＝2，

＋＝＋＝×

＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，

当且仅当m2＝2n2，即c＝2－2时，等号成立，

所以＋－1≥3＋2－1＝2＋2，

即＋的最小值为2＋2.

【答案】　2＋2