2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 05-第二节 二项式定理（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 05-第二节 二项式定理（教用），共15页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
第二节 二项式定理
课标要求
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
回归教材 强基础
1．二项式定理
（1） 二项式定理:(a+b)n=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (n∈N∗).
（2） 二项式系数：二项展开式中各项的系数_ _ _ _ _ _ _ _ (k=0,1,⋯,n).
（3） 二项展开式的通项:Tk+1=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,它表示第_ _ _ _ _ _ 项.
【答案】（1） Cn0an+Cn1an−1b1+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn
（2） Cnk
（3） Cnkan−kbk；k+1
点拨 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指Cn0,Cn1,⋯ ,Cnn,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,还与a,b的值有关.
2．二项式系数的性质
（1） 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数_ _ _ _ .
（2） 增减性与最大值：当kn+12时，Cnk随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项_ _ _ _ _ _ _ _ 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 与_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 相等，且同时取得最大值.
（3） (a+b)n的展开式的各二项式系数之和：Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=_ _ _ _ _ _ .
（4） 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,即Cn0+Cn2+Cn4+⋯=Cn1+Cn3+Cn5+⋯=_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 相等
（2） Cnn2；Cnn−12；Cnn+12
（3） 2n
（4） 2n−1
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） Cnkan−kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.（ ）
（2） 在(a+b)n中，交换a,b的顺序对各项没有影响.（ ）
（3） 二项展开式中，二项式系数与项的系数相等.（ ）
（4） 二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项. （ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．在(5−2x)5的展开式中，各项的系数之和为（ ）
A. 128B. 243C. 729D. 2 187
【答案】B
【解析】令x=1，得各项的系数之和为35=243.故选B.
3．（人教A版选择性必修第三册P31练习T4改编）(x−1)n的展开式中，第m项的系数是（ ）
A. CnmB. Cnm+1C. Cnm−1D. (−1)m−1Cnm−1
【答案】D
【解析】(x−1)n的展开式中的第m项Tm=Cnm−1(−1)m−1xn−m+1，所以第m项的系数为(−1)m−1Cnm−1.
4．若(x+3x2)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n=_ _ _ _ .
【答案】12
【解析】由(x+3x2)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项，所以n=12.
突破核心 提能力
考点一 二项展开式中的特定项问题
例1 (3x+1x)8的展开式的常数项是（ ）
A. 28B. 56C. 36D. 40
【答案】A
【解析】(3x+1x)8的展开式的通项为Tr+1=C8r⋅(3x)8−r⋅(1x)r=C8r⋅x8−r3−r，
令8−r3−r=0,得r=2，所以常数项为C82=28，故选A.
例2 （2024·北京卷·4,4分）在(x−x)4的展开式中，x3的系数为（ ）
A. 6B. −6C. 12D. −12
【答案】A
【解析】(x−x)4的展开式的通项为Tr+1=C4rx4−r⋅(−x)r=(−1)r⋅C4r⋅x4−r2，令4−r2=3,解得r=2，所以x3的系数为(−1)2⋅C42=6，故选A.
例3 多选 对于(x−12x)6的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 共有7项B. 第4项的系数为−52
C. 常数项为152D. 有理项有4项
【答案】ABD
【解析】(x−12x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(x)6−r(−12x)r=C6rx3−12r⋅(−12)rx−r=C6r(−12)rx3−32r(r=0,1,⋯,6),所以(x−12x)6的展开式共有7项，故A正确；
T4=T3+1=C63×(−12)3x3−32×3=−52x−32，故B正确；
令3−32r=0，得r=2，所以展开式中的常数项为C62×(−12)2=154，故C不正确；
令3−32r∈Z，得r=0，2，4，6，所以有理项有4项，故D正确.故选ABD.
归纳总结
求(a+b)n(n∈N∗)的展开式中的特定项的步骤
（1）利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk+1=Cnkan−kbk,把字母和系数分开；
（2）根据题目中的相关条件（如求常数项时，字母的指数为零；求有理项时，字母的指数为整数等）列出方程（组）或不等式（组），解出k；
（3）把k 代回通项中，即可求出Tk+1.
考点二 二项式系数与项的系数问题
角度1 二项式系数之和与项的系数之和
例4 在(x2−2x)n的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）
A. −32B. −1C. 1D. 32
【答案】B
【解析】∵ 二项式系数的和是32，∴2n=32，∴n=5，令x=1，得展开式中各项系数的和为(1−2)5=(−1)5=−1，故选B.
例5 （2025·河南开封质检）若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=（ ）
A. −40B. 40C. 41D. 82
【答案】C
【解析】令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1①,
令x=−1,得a4−a3+a2−a1+a0=(−3)4=81②,
①+②得2(a4+a2+a0)=1+81=82,所以a4+a2+a0=41.故选C.
例6 已知(1+x)4+(1+x)5+⋯+(1+x)11=a0+a1(2+x)+a2(2+x)2+⋯+a11(2+x)11，则a0+a2+a4+⋯+a10=（ ）
A. 680B. −680C. 1 360D. −1360
【答案】B
【解析】令x=−1，则0=a0+a1+a2+⋯+a11，即a0+a1+a2+⋯+a11=0①,
令x=−3，则(−2)4+(−2)5+⋯+(−2)11=a0−a1+a2−a3+⋯−a11，
即a0−a1+a2−a3+⋯−a11=(−2)4×[1−(−2)8]1−(−2)=−1360②，
①+②2可得a0+a2+a4+⋯+a10=−13602=−680，故选B.
归纳总结
在使用赋值法求展开式中各项系数的和时,令a,b等于多少,应视具体情况而定,一般取1,−1，0.如：
（1）一般地,对于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n 的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)+g(−1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)−g(−1)].
（2）形如(ax+by)n(a,b∈R) 的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x=y=1 即可.
角度2 项的系数与二项式系数的最值问题
例7 ［2024·全国甲卷（理）·13,5分］(13+x)10的展开式中，各项系数中的最大值为_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】(13+x)10的展开式的通项为Tr+1=C10r(13)10−r⋅xr,
设第r+1项系数最大，
则C10r1310−r≥C10r−11310−(r−1),C10r1310−r≥C10r+11310−(r+1),
即C10r≥13C10r−1,13C10r≥C10r+1,
即33≥4r,4r≥29,解得294≤r≤334,
又r∈N,∴r=8，
∴ 各项系数中的最大值为C108(13)10−8=45×19=5.
变式．已知(x−2x)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式的各项系数中的最小值为（ ）
A. −448B. −1024C. −1792D. −5376
【答案】C
【解析】∵ 展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴n=8，∴ 展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8−r(−2x)r=(−2)rC8rx8−3r2,r=0,1,⋯ ,8，则该展开式中的第r+1项的系数ar=(−2)rC8r,r=0,1,⋯ ,8.
若求各项系数中的最小值，则r为奇数且ar−ar+2≤0,ar−ar−2≤0,
即(−2)rC8r−(−2)r+2C8r+2≤0,(−2)rC8r−(−2)r−2C8r−2≤0,所以r=5，
∴ 最小的系数为a5=(−2)5C85=−1792.故选C.
例8 若(ax+1)9，a∈N∗的展开式中系数最大的项是第3项，则a=_ _ _ _ ,展开式中二项式系数最大的项是第_ _ _ _ 项.
【答案】3或4； 5和6
【解析】(ax+1)9的展开式的通项为Tr+1=C9r(ax)9−r⋅1r=C9ra9−rx9−r.
由第3项的系数最大，
得C92⋅a9−2≥C93⋅a9−3,C92⋅a9−2≥C91⋅a9−1,
解得73≤a≤4,
又a∈N∗,所以a=3或a=4.
展开式中最大的二项式系数是C94和C95，即第5项和第6项的二项式系数最大.
归纳总结
1.二项式系数最大项的确定方法
在(a+b)n 中，当n 为偶数时,展开式中的第n2+1 项的二项式系数(Cnn2) 最大;当n 为奇数时,展开式中的第n+12 项和第n+32 项的二项式系数(Cnn−12 和Cnn+12) 最大.
2.系数最大项的求法
（1）设展开式的各项系数分别为A1，A2，⋯ ，An+1，且第k 项系数最大，应用Ak≥Ak−1,Ak≥Ak+1, 从而解得k.
（2）采用“增减性”分析法，当f(r)>0 恒成立时,可用f(r+1)f(r)>1（或