2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 005-第四节 函数的对称性（教用）

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第四节 函数的对称性
课标要求
1.结合具体的函数及其图象，了解轴对称与中心对称.
2.能根据两个函数图象间的对称关系解决函数间的对称问题.
3.能够解决函数的对称性与单调性、周期性、奇偶性相结合的综合问题.
回归教材 强基础
1．同一个函数图象的对称性
（1）若函数f(x+a)是偶函数，则y=f(x)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ 对称；若函数f(x+b)是奇函数，则y=f(x)的图象关于点_ _ _ _ _ _ _ _ 中心对称.
（2）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b−x)，则y=f(x)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ _ _ 对称；特别地，当a=b，即f(a+x)=f(a−x)，即f(x)=f(2a−x)时，y=f(x)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ 对称.
（3）若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b−x)=0，则y=f(x)的图象关于点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 中心对称；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b−x)=c,则y=f(x)的图象关于点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 中心对称.
【答案】x=a； (b,0)； x=a+b2； x=a； (a+b2,0)； (a+b2,c2)
2．两个函数图象的对称性
（1）函数y=f(x)与函数y=−f(x)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 对称.
（2）函数y=f(x)与函数y=f(−x)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 对称.
（3）函数y=f(x)与函数y=−f(−x)的图象关于点_ _ _ _ _ _ _ _ 中心对称.
（4）函数y=f(x)与函数y=f​−1(x)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ 对称.
（5）函数y=f(a+x)与函数y=f(b−x)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ _ _ 对称;特别地，当a=b时，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直线x=0（即y轴）对称.
（6）函数y=f(a+mx)与函数y=f(b−mx)(m≠0)的图象关于直线_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 对称.
【答案】y=0（即x轴）； x=0（即y轴）； (0,0)； y=x； x=b−a2； x=b−a2m
常考结论
已知a,b∈R且a≠b.
（1）若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则2|b−a|为f(x)的一个周期;
（2）若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则2|b−a|为f(x)的一个周期;
（3）若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则4|b−a|为f(x)的一个周期.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 若函数f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.（ ）
（2） 若函数y=f(x)的图象关于原点对称，则f(−x+1)=−f(x−1).（ ）
（3） 函数y=f(x+2)与函数y=f(2−x)的图象关于直线x=2对称.（ ）
（4） 若函数f(x)满足f(x−1)+f(x+1)=0，则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.（ ）
【答案】（1） √
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．函数f(x)=x3+x的图象关于_ _ _ _ 对称.（ ）
A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线y=x
【答案】C
【解析】因为f(x)=x3+x为奇函数，所以其图象关于原点对称.故选C.
3．多选 下列函数中，其图象关于y轴对称的是（ ）
A. f(x)=|x|B. f(x)=x+1xC. f(x)=2x2+1D. f(x)=x−1x
【答案】AC
【解析】因为f(x)=|x|的定义域为R，且f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，所以该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以A正确；
因为f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=−x+(−1x)=−(x+1x)=−f(x)，所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以B错误；
因为f(x)=2x2+1的定义域为R，
且f(−x)=2(−x)2+1=2x2+1=f(x)，所以该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以C正确；
因为f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=−x−(−1x)=−(x−1x)=−f(x)，所以该函数为奇函数，图象关于原点对称，所以D错误.故选AC.
4．请写出一个图象关于点(1,0)对称的函数的解析式:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】y=1x−1（答案不唯一）
【解析】y=1x的图象关于原点对称，则y=1x−1的图象关于点(1,0)对称.同样，函数y=(x−1)3也满足题意.
突破核心 提能力
考点一 轴对称与中心对称
例1 下列函数中，其图象既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. y=tanxB. y=x−1C. y=x3D. y=ln|x|
【答案】B
【解析】y=tanx的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合题意；
y=x−1的图象关于原点和直线y=±x对称，符合题意；
y=x3的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合题意；
由ln|−x|=ln|x|，得y=ln|x|的图象关于y轴对称，但没有对称中心，不符合题意.故选B.
例2 （2026·辽宁大连调研）已知奇函数f(x)的定义域为R，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.当x∈[0,2]时，f(x)=12x，则f(13)=（ ）
A. −12B. 12C. 1D. −1
【答案】A
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故f(4+x)=f(−x)，又f(x)为奇函数，故f(−x)=−f(x)，所以f(4+x)=−f(x)，所以f(8+x)=−f(4+x)，故f(8+x)=f(x)，所以8是y=f(x)的一个周期，故f(13)=f(5)=−f(1)，当x∈[0,2]时，f(x)=12x，故f(1)=12，所以f(13)=−f(1)=−12.故选A.
例3 （2026·吉林长春调研）多选 已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(1−x)=3，g(x)+f(x−3)=3，若y=g(x)的图象关于点(1,0)对称，则（ ）
A. f(0)=3B. g(−x)=g(x)
C. f(x+2)是奇函数D. ∑2025i=1g(i)=0
【答案】ABD
【解析】由y=g(x)的定义域为R，且其图象关于点(1,0)对称，得g(2−x)=−g(x)，且g(1)=0，
所以f(0)+g(1−0)=f(0)+g(1)=3，则f(0)=3，A正确；
由f(x)+g(1−x)=3，知f(x−3)+g(4−x)=3，又g(x)+f(x−3)=3，所以g(4−x)=g(x)，又g(4−x)=−g(x−2)，所以g(x)=−g(x−2)，故g(2−x)=g(x−2)，即g(−x)=g(x)，B正确；
由f(x)+g(1−x)=3，得f(x)=3−g(1−x)，故f(x+2)=3−g(−1−x)=3−g(1+x)，
令x=0，则f(2)=3−g(1)=3，显然不满足f(x+2)是奇函数，C错误；
由B知g(4−x)=g(−x)，即g(x)=g(x+4)，故4是g(x)的一个周期，
其中g(1)=0，g(2)=−g(0)，g(3)=3−f(0)=0，g(4)=g(0)，所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，故∑2025i=1g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=0+g(1)=0，D正确.故选ABD.
考点二 两个函数图象间的对称
例4 （2025· 湘豫名校二模）已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(4)=（ ）
A. 1B. 0C. −1D. −2
【答案】B
【解析】由f(x)为R上的奇函数，得f(0)=0，由函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(x)+g(2+2−x)=0，即f(x)+g(4−x)=0，
所以g(4)=−f(0)=0.故选B.
例5 已知函数f(x)的定义域为R，且y=f(x+1)的图象关于点(−1,0)中心对称.当x>0时，f(x)=3x+1，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x=3对称，则g(8)=（ ）
A. 1B. 3C. −1D. −3
【答案】C
【解析】将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=f(x)的图象，因为y=f(x+1)的图象关于点(−1,0)中心对称，所以y=f(x)的图象关于原点中心对称，则y=f(x)是定义在R上的奇函数.因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x=3对称，所以g(x)=f(6−x)，所以g(8)=f(6−8)=f(−2)=−f(2)=−1，故选C.
归纳总结
破解两个函数图象间的对称问题的方法
（1）根据函数y=f(a+x) 与函数y=f(b−x) 的图象关于直线x=b−a2 对称，即可求出对称轴.
（2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”的应用.
考点三 函数对称性的综合应用
例6 （2025·云南昆明质检）定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，且在(−∞,1)上单调递减，若x1f(x2)B. f(x2)>f(2−x1)
C. f(x1)>f(2−x2)D. f(x2)2，得x2>2−x1，因为x1