2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 006-能力提升10 平面向量中的最值（范围）问题（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 006-能力提升10 平面向量中的最值（范围）问题（教用），共15页。试卷主要包含了与数量积有关的最值问题，与模、夹角有关的最值问题等内容，欢迎下载使用。
能力提升10 平面向量中的最值（范围）问题
平面向量中的最值（范围）问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇.基本题型是根据已知条件求某个变量的最值（范围），比如求向量的模、数量积、向量夹角、系数等的最值（范围），解题时可将题目转化为求函数的最值或利用数形结合的思想求解.
题型一 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题
例1 （2025·河南许昌模拟）在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|=14|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则1x+2y的最小值为（ ）
A. 22B. 43C. 4+23D. 9+42
【答案】D
【解析】BE=xBA+yBC=xBA+4yBD，由A,E,D三点共线可得x+4y=1，且x>0,y>0，所以1x+2y=(1x+2y)(x+4y)=9+4yx+2xy≥9+24yx×2xy=9+42，当且仅当4yx=2xy，即x=22−17,y=4−214时等号成立.故选D.
针对训练1．（2025·安徽淮北模拟）在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x,y使得AC=(1x−4)AB+(1−1y)AD成立，则2x+y的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】如图，连接BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，
∵△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，∴2DF=BE，根据相似三角形的性质可知，2DO=OB，
∴2(DA+AO)=OA+AB,∴AO=13AB+23AD，设AC=λAO=13λAB+23λAD，
∵AC=(1x−4)AB+(1−1y)AD,∴1x−4=13λ ,1−1y=23λ ，即1−1y=2x−8,∴2x+1y=9，即19(2x+1y)=1，∴2x+y=(2x+y)×19(2x+1y)=19(4+1+2xy+2yx)≥19(5+22xy×2yx)=1，
当且仅当2xy=2yx，即x=y=13时取等号.故选A.
题型二 与数量积有关的最值（范围）问题
例2 （2025·四川达州模拟）若a,b均为单位向量，且|a−4b|≤13,m=a−2b,n=2a+b，则m⋅n的最大值是（ ）
A. 12B. −12C. −32D. 32
【答案】C
【解析】由|a−4b|≤13,得|a−4b|2≤13，即a2−8a⋅b+16b2≤13，则a⋅b≥12，所以m⋅n=(a−2b)⋅(2a+b)=2a2−3a⋅b−2b2=−3a⋅b≤−32.故选C.
针对训练2．如图，圆O外接于边长为1的正方形ABCD,点P是弧BC（包括端点）上的一点，则AP⋅AB的取值范围是（ ）
A. [1,4+24]B. [1,2+22]C. [1,1+22]D. [24,1]
【答案】C
【解析】解法一：如图1，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(1,0)，AB=(1,0)，
设P(x,y)，则AP=(x,y).
所以AP⋅AB=x.
由题意知，圆O的半径为22.
因为点P在弧BC（包括端点）上，所以1≤x≤12+22，所以AP⋅AB的取值范围是[1,1+22].故选C.
解法二：如图2，连接AC,CP.易知∠BAC=π4，
设∠PAB=θ ,0≤θ≤π4，则∠PAC=π4−θ .
由已知可得|AB|=1,|AC|=2,∠APC=π2，所以|AP|=|AC|cs∠PAC=2cs(π4−θ)，
所以AP⋅AB=|AP||AB|csθ=2cs(π4−θ)csθ=2(22csθ+22sinθ)csθ=(csθ+sinθ)csθ=cs2θ+sinθcsθ=1+cs2θ2+sin2θ2=12+22sin(2θ+π4).
因为0≤θ≤π4，所以π4≤2θ+π4≤3π4，所以22≤sin(2θ+π4)≤1，所以1≤12+22sin(2θ+π4)≤1+22，即AP⋅AB的取值范围是[1,1+22].
故选C.
题型三 与模、夹角有关的最值（范围）问题
例3 （2025·陕西安康模拟）已知向量a，b满足b=(2,2)，|a−b|=2，则|a|的最大值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】32
【解析】因为|b|=22+22=22，所以|a|=|a−b+b|≤|a−b|+|b|=32.
针对训练3．（2025·江苏苏州三模）已知向量a在向量b上的投影向量为2b，若|b|=1，则向量2a+b与a+2b的夹角的余弦值的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】41013
【解析】设向量b=(1,0)，因为向量a在向量b上的投影向量为2b，所以a⋅b|b|=2，即a⋅b=2，故可设a=(2,m)，所以2a+b=(5,2m),a+2b=(4,m)，
所以cs⟨2a+b,a+2b⟩=
(2a+b)⋅(a+2b)|2a+b||a+2b|=
20+2m24m2+25⋅m2+16=
2m2+104(m2+10)2+9(m2+10)−90=
214+9m2+10−90(m2+10)2=
21−90(1m2+10−120)2+16940，
由二次函数的性质知，当1m2+10=120时，cs⟨2a+b,a+2b⟩取得最小值，为240169=41013.