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高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第05课时二项式定理(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第05课时二项式定理(原卷版+解析)，共26页。
【回归教材】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
3.【常用结论】
(1)是第k＋1项，而不是第k项．
(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒．
(3)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
【典例讲练】
题型一 求展开式中的特定项
【例1-1】用二项式定理展开______．
【例1-2】已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)实数的值；
(2)展开式中第7项的二项式系数和的系数；
(3)展开式中的所有有理项．
【例1-3】的展开式中的常数项为___________.
【例1-4】的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习1-1】求的展开式．
【练习1-2】若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.
【练习1-3】在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．30D．50
题型二 二项式系数的性质
【例2-1】已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
归纳总结：
【练习2-1】在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则_________ .
【练习2-2】在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．
【练习2-3】已知的展开式中，第二项的系数为，常数项的值为，
(1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项.
题型三 二项式系数的和
【例3-1】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5).
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】若，则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【练习3-2】【已知的展开式的各二项式系数之和为128，则______；若，则______．
题型四 二项式定理的应用
【例4-1】【多选题】设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
【例4-2】请利用二项式定理证明：.
【例4-3】的近似值（精确到）为________．
归纳总结：
【练习4-1】的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【练习4-2】设，且，若能被整除，则（ ）
A．B．C．D．
题型五 杨辉三角
【例5-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165B．180C．220D．236
【练习5-1】【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A．第9行中从左到右第6个数是126 B．
C． D．
【完成课时作业（六十七）】
【课时作业（六十七）】
A组 础题巩固
1．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（ ）
A．10B．8C．6D．4
2．的展开式中的系数为（ ）
A．15B．60C．120D．240
3．若的展开式中的系数为0，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．40B．41C．D．
5．已知，则（ ）
A．224B．C．D．448
6．设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．B．C．D．
7．【多选题】已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则（ ）．
A．
B．展开式中各项的系数和为1
C．展开式中第3项或第4项的二项式系数最大
D．展开式中有理项只有4项
8．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
9．的近似值为 ．(精确到两位小数)
10．已知能被13整除，则实数____________．
11．在的展开式中的系数为________．
12．已知多项式，则__________，___________．
13．计算：________．
14．已知展开式的第项和第项的二项式系数相等．
(1)问展开式中是否存在常数项，若存在，请写出常数项，若不存在，请说明理由．
(2)求展开式中系数最大的项．
B组 挑战自我
1．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．设，则________．
4．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．
二项式定理
二项展开式
公式右边的多项式
二项式系数
二项展开式中各项的系数
二项展开式的通项
它表示第k＋1项
性质
对称性
与首末等距的两个二项式系数 ，即
增减性与最大值
当时，二项式系数是
当时，二项式系数是
当n为偶数时，中间 的二项式系数最大
当n为奇数时，中间 的二项式系数相等且最大
二项式系数的和
第 5 课时 二项式定理
编写：廖云波
【回归教材】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
3.【常用结论】
(1)是第k＋1项，而不是第k项．
(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒．
(3)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
【典例讲练】
题型一 求展开式中的特定项
【例1-1】用二项式定理展开______．
【答案】
【分析】利用二项式定理展开即可.
【详解】．
故答案为：
【例1-2】已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)实数的值；
(2)展开式中第7项的二项式系数和的系数；
(3)展开式中的所有有理项．
【答案】(1)
(2)二项式系数是，系数为
(3)第1项，第3项，第5项，第7项，第9项，第11项
【分析】（1）写出二项展开式的通项，，根据题意求出的值；
（2）二项式系数即，令，求出，带回通项，得到的系数；
（3）有理项必须满足为整数，其中.
（1）
的展开式的通项为
．
因为第9项为常数项，所以当时，，解得．
（2）
由（1）可得第7项的二项式系数是．
令，得，
所以展开式中的系数为．
（3）
由题意，为整数，故只需为偶数．
因为，所以符合要求的有6项，分别为展开式的第1项，第3项，第5项，第7项，第9项，第11项．
【例1-3】的展开式中的常数项为___________.
【答案】
【分析】现将原式分为两个多项式，分别用二项式定理计算即可.
【详解】 ，
对于 ，通项公式为 ，
令 ，得r=3， ；
对于 ，通项公式为 ，不存在常数项；
∴常数项为-10；
故答案为：-10.
【例1-4】的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解.
【详解】，展开式通项为
，
令，当时，
为常数项即.
故选:A.
归纳总结：
【练习1-1】求的展开式．
【答案】
【分析】直接利用二项式定理展开即可.
【详解】
【练习1-2】若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.
【答案】 6 60
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.
【详解】因的展开式共有项，则，解得，
的展开式通项为：，
由得：，所以的展开式是.
故答案为：6；60
【练习1-3】在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．30D．50
【答案】B
【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.
【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为，
故选B．
题型二 二项式系数的性质
【例2-1】已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出.当是偶数时，中间项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大．
（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．
（1）的展开式的通项．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以，即，整理得，解得或．又因为，所以，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为．
（2）由（1）得展开式中系数为由得整理得，解得所以当或时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为和．
归纳总结：
【练习2-1】在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则_________ .
【答案】
【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】解：若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即，则．
故答案为：
【练习2-2】在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．
【答案】64
【分析】根据二项式系数和求得n的值，再用赋值法求得各项系数和即可.
【详解】由题意可得，解得,
故令，则所有项的系数和为，
故答案为：64
【练习2-3】已知的展开式中，第二项的系数为，常数项的值为，
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解第二项的系数和常数项；
（2）二项式展开式中二项式的系数为，当时，二项式系数最大，即所求项为第四项.
(1)
解：二项式展开式的通项公式为：，
则，故，
当时，，则常数项为，故，
所以.
(2)
解：二项式展开式中共有7项，二项式系数为，
当时，二项式系数最大，
则展开式中二项式系数最大的项为第四项，即.
题型三 二项式系数的和
【例3-1】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5).
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)，
(5)4044
【分析】（1）令，即可求解；
（2）令，结合（1）即可求解；
（3）相当于求展开式的系数和，令即可求解；
（4）由二项式系数和性质求解即可；
（5）两边分别求导得
，
令，即可求解
（1）令，得①.
（2）令，得②.由①-②得，.
（3）相当于求展开式的系数和，令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.展开式中偶数项的二项系数和是.
（5）两边分别求导得：，令，得
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】若，则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.
【详解】令可得，①，故A正确；
令可得：，②
①②可得：，故，故B正确；
令可得：，③
令可得：，④
把③代入④即可得出：，故C错误；
两边对求导得．
令可得，故D正确.
故选：ABD
【练习3-2】【已知的展开式的各二项式系数之和为128，则______；若，则______．
【答案】 7 129
【分析】根据二项式系数之和为可求得，分别令，即可得出答案.
【详解】解：因为的展开式的各二项式系数之和为128，
所以，可得，
令，得，
令，得，
所以．
故答案为：7；129.
题型四 二项式定理的应用
【例4-1】【多选题】设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
【答案】CD
【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.
【详解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故选：CD．
【例4-2】请利用二项式定理证明：.
【答案】证明见解析.
【分析】由于，利用二项式定理将展开，然后利用放缩法可证得结果.
【详解】证
当，时，
,
所以结论成立.
【例4-3】的近似值（精确到）为________．
【答案】．
【分析】，按二项式定理展开，按照近似要求求解.
【详解】由二项式定理，
.
故答案为：1.13.
归纳总结：
【练习4-1】的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
【练习4-2】设，且，若能被整除，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为，利用二项式定理展开式可得能被整除，由此求出的值.
【详解】因为，所以展开式为
，
其中每一项都能被整除，
，
其中每一项都能被整除，
所以能被整除的余数为，
因为，且，若能被整除，
所以能被整除，所以.
故选：D.
题型五 杨辉三角
【例5-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165B．180C．220D．236
【答案】A
【分析】根据杨辉三角及二项式系数的性质确定，…，，再应用组合数的运算性质求结果.
【详解】由题意得，，
则.
故选：
【练习5-1】【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A．第9行中从左到右第6个数是126
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.
【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
【完成课时作业（六十七）】
【课时作业（六十七）】
A组 础题巩固
1．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】设，令解方程得解.
【详解】解：设，
令得，
解得．
故选：D
2．的展开式中的系数为（ ）
A．15B．60C．120D．240
【答案】B
【分析】根据二项展开式通项公式计算．
【详解】，
所以的系数是．
故选：B．
3．若的展开式中的系数为0，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得的展开式中和的系数，得到的展开式中的系数，进而可以解得.
【详解】因为的展开式中的系数为，的系数为，
所以的展开式中的系数为，
由，得.
故选：C.
4．若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
5．已知，则（ ）
A．224B．C．D．448
【答案】D
【分析】根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数.
【详解】令，得，
则
可化为：，
二项展开式通项为：
所以
故选：D.
6．设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求得，继而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.
【详解】因为，所以当时，可得；
当时，可得．
又，所以，得，
所以的展开式中系数最大的项为第4项，即,
故选：B
7．【多选题】已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则（ ）．
A．
B．展开式中各项的系数和为1
C．展开式中第3项或第4项的二项式系数最大
D．展开式中有理项只有4项
【答案】ABD
【分析】根据二项式系数之和为求出，即可判断A，再利用赋值法求出所有项系数和，即可判断B，再根据二项式系数的特征判断C，最后利用展开式的通项判断D；
【详解】解：因为展开式中各项的二项式系数之和为，所以，，故A正确；
令，得所有项的系数和为1，故B正确；
因为，所以展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故C错误；
因为通项是，
当，2，4，6时为有理项，所以只有4项为有理项，故D正确．
故选：ABD
8．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
9．的近似值为 ．(精确到两位小数)
【答案】
【解析】由，利用二项式定理可求得近似值.
【详解】.
10．已知能被13整除，则实数____________．
【答案】10
【分析】首先根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案.
【详解】因为，
所以，即．
故答案为：10
11．在的展开式中的系数为________．
【答案】28
【分析】将化为，写出其通项公式，再利用的通项公式，即可求得答案.
【详解】的展开式的通项为，
的展开式的通项为，,
令，可得，,
故展开式中的系数为,
故答案为:28
12．已知多项式，则__________，___________．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
13．计算：________．
【答案】1
【分析】将整理变形为二项式形式，即可求得答案.
【详解】
,
故答案为：1
14．已知展开式的第项和第项的二项式系数相等．
(1)问展开式中是否存在常数项，若存在，请写出常数项，若不存在，请说明理由．
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)存在，常数项为
(2)
【分析】（1）根据可求得，从而确定展开式通项；令可得，代入通项即可得到常数项；
（2）设第项的系数最大，利用不等式法可解得，代入通项即可得到系数最大项.
(1)
展开式的第项和第项的二项式系数相等，
，解得：；
展开式通项为：；
令，解得：，
展开式存在常数项，常数项为.
(2)
由（1）知：；
假设展开式第项的系数最大，
则，解得：，；
则展开式中系数最大的项为第四项.
B组 挑战自我
1．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果.
【详解】设，
两边求导数，，
令，得，
取，得.
故选：D.
3．设，则________．
【答案】##16807
【分析】运用赋值法，令，再相加即可.
【详解】令，得①，
令，得②，
由，得．
故答案为：
4．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．
【答案】
【分析】根据二项式系数的最大值满足的条件求出，，代入，根据组合数的公式求解即可．
【详解】由题意知，故
，
，，
解得．
故答案为：．
二项式定理
二项展开式
公式右边的多项式
二项式系数
二项展开式中各项的系数
二项展开式的通项
它表示第k＋1项
性质
对称性
与首末等距的两个二项式系数相等，即
增减性与最大值
当时，二项式系数是递增的
当时，二项式系数是递减的
当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大
二项式系数的和
【回归教材】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
3.【常用结论】
(1)是第k＋1项，而不是第k项．
(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒．
(3)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
【典例讲练】
题型一 求展开式中的特定项
【例1-1】用二项式定理展开______．
【例1-2】已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)实数的值；
(2)展开式中第7项的二项式系数和的系数；
(3)展开式中的所有有理项．
【例1-3】的展开式中的常数项为___________.
【例1-4】的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习1-1】求的展开式．
【练习1-2】若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.
【练习1-3】在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．30D．50
题型二 二项式系数的性质
【例2-1】已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
归纳总结：
【练习2-1】在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则_________ .
【练习2-2】在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．
【练习2-3】已知的展开式中，第二项的系数为，常数项的值为，
(1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项.
题型三 二项式系数的和
【例3-1】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5).
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】若，则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【练习3-2】【已知的展开式的各二项式系数之和为128，则______；若，则______．
题型四 二项式定理的应用
【例4-1】【多选题】设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
【例4-2】请利用二项式定理证明：.
【例4-3】的近似值（精确到）为________．
归纳总结：
【练习4-1】的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【练习4-2】设，且，若能被整除，则（ ）
A．B．C．D．
题型五 杨辉三角
【例5-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165B．180C．220D．236
【练习5-1】【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A．第9行中从左到右第6个数是126 B．
C． D．
【完成课时作业（六十七）】
【课时作业（六十七）】
A组 础题巩固
1．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（ ）
A．10B．8C．6D．4
2．的展开式中的系数为（ ）
A．15B．60C．120D．240
3．若的展开式中的系数为0，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．40B．41C．D．
5．已知，则（ ）
A．224B．C．D．448
6．设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．B．C．D．
7．【多选题】已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则（ ）．
A．
B．展开式中各项的系数和为1
C．展开式中第3项或第4项的二项式系数最大
D．展开式中有理项只有4项
8．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
9．的近似值为 ．(精确到两位小数)
10．已知能被13整除，则实数____________．
11．在的展开式中的系数为________．
12．已知多项式，则__________，___________．
13．计算：________．
14．已知展开式的第项和第项的二项式系数相等．
(1)问展开式中是否存在常数项，若存在，请写出常数项，若不存在，请说明理由．
(2)求展开式中系数最大的项．
B组 挑战自我
1．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．设，则________．
4．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．
二项式定理
二项展开式
公式右边的多项式
二项式系数
二项展开式中各项的系数
二项展开式的通项
它表示第k＋1项
性质
对称性
与首末等距的两个二项式系数 ，即
增减性与最大值
当时，二项式系数是
当时，二项式系数是
当n为偶数时，中间 的二项式系数最大
当n为奇数时，中间 的二项式系数相等且最大
二项式系数的和
第 5 课时 二项式定理
编写：廖云波
【回归教材】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
3.【常用结论】
(1)是第k＋1项，而不是第k项．
(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒．
(3)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
【典例讲练】
题型一 求展开式中的特定项
【例1-1】用二项式定理展开______．
【答案】
【分析】利用二项式定理展开即可.
【详解】．
故答案为：
【例1-2】已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)实数的值；
(2)展开式中第7项的二项式系数和的系数；
(3)展开式中的所有有理项．
【答案】(1)
(2)二项式系数是，系数为
(3)第1项，第3项，第5项，第7项，第9项，第11项
【分析】（1）写出二项展开式的通项，，根据题意求出的值；
（2）二项式系数即，令，求出，带回通项，得到的系数；
（3）有理项必须满足为整数，其中.
（1）
的展开式的通项为
．
因为第9项为常数项，所以当时，，解得．
（2）
由（1）可得第7项的二项式系数是．
令，得，
所以展开式中的系数为．
（3）
由题意，为整数，故只需为偶数．
因为，所以符合要求的有6项，分别为展开式的第1项，第3项，第5项，第7项，第9项，第11项．
【例1-3】的展开式中的常数项为___________.
【答案】
【分析】现将原式分为两个多项式，分别用二项式定理计算即可.
【详解】 ，
对于 ，通项公式为 ，
令 ，得r=3， ；
对于 ，通项公式为 ，不存在常数项；
∴常数项为-10；
故答案为：-10.
【例1-4】的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解.
【详解】，展开式通项为
，
令，当时，
为常数项即.
故选:A.
归纳总结：
【练习1-1】求的展开式．
【答案】
【分析】直接利用二项式定理展开即可.
【详解】
【练习1-2】若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.
【答案】 6 60
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.
【详解】因的展开式共有项，则，解得，
的展开式通项为：，
由得：，所以的展开式是.
故答案为：6；60
【练习1-3】在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．30D．50
【答案】B
【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.
【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为，
故选B．
题型二 二项式系数的性质
【例2-1】已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出.当是偶数时，中间项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大．
（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．
（1）的展开式的通项．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以，即，整理得，解得或．又因为，所以，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为．
（2）由（1）得展开式中系数为由得整理得，解得所以当或时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为和．
归纳总结：
【练习2-1】在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则_________ .
【答案】
【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】解：若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即，则．
故答案为：
【练习2-2】在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．
【答案】64
【分析】根据二项式系数和求得n的值，再用赋值法求得各项系数和即可.
【详解】由题意可得，解得,
故令，则所有项的系数和为，
故答案为：64
【练习2-3】已知的展开式中，第二项的系数为，常数项的值为，
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解第二项的系数和常数项；
（2）二项式展开式中二项式的系数为，当时，二项式系数最大，即所求项为第四项.
(1)
解：二项式展开式的通项公式为：，
则，故，
当时，，则常数项为，故，
所以.
(2)
解：二项式展开式中共有7项，二项式系数为，
当时，二项式系数最大，
则展开式中二项式系数最大的项为第四项，即.
题型三 二项式系数的和
【例3-1】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5).
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)，
(5)4044
【分析】（1）令，即可求解；
（2）令，结合（1）即可求解；
（3）相当于求展开式的系数和，令即可求解；
（4）由二项式系数和性质求解即可；
（5）两边分别求导得
，
令，即可求解
（1）令，得①.
（2）令，得②.由①-②得，.
（3）相当于求展开式的系数和，令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.展开式中偶数项的二项系数和是.
（5）两边分别求导得：，令，得
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】若，则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.
【详解】令可得，①，故A正确；
令可得：，②
①②可得：，故，故B正确；
令可得：，③
令可得：，④
把③代入④即可得出：，故C错误；
两边对求导得．
令可得，故D正确.
故选：ABD
【练习3-2】【已知的展开式的各二项式系数之和为128，则______；若，则______．
【答案】 7 129
【分析】根据二项式系数之和为可求得，分别令，即可得出答案.
【详解】解：因为的展开式的各二项式系数之和为128，
所以，可得，
令，得，
令，得，
所以．
故答案为：7；129.
题型四 二项式定理的应用
【例4-1】【多选题】设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
【答案】CD
【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.
【详解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故选：CD．
【例4-2】请利用二项式定理证明：.
【答案】证明见解析.
【分析】由于，利用二项式定理将展开，然后利用放缩法可证得结果.
【详解】证
当，时，
,
所以结论成立.
【例4-3】的近似值（精确到）为________．
【答案】．
【分析】，按二项式定理展开，按照近似要求求解.
【详解】由二项式定理，
.
故答案为：1.13.
归纳总结：
【练习4-1】的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
【练习4-2】设，且，若能被整除，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为，利用二项式定理展开式可得能被整除，由此求出的值.
【详解】因为，所以展开式为
，
其中每一项都能被整除，
，
其中每一项都能被整除，
所以能被整除的余数为，
因为，且，若能被整除，
所以能被整除，所以.
故选：D.
题型五 杨辉三角
【例5-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165B．180C．220D．236
【答案】A
【分析】根据杨辉三角及二项式系数的性质确定，…，，再应用组合数的运算性质求结果.
【详解】由题意得，，
则.
故选：
【练习5-1】【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A．第9行中从左到右第6个数是126
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.
【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
【完成课时作业（六十七）】
【课时作业（六十七）】
A组 础题巩固
1．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】设，令解方程得解.
【详解】解：设，
令得，
解得．
故选：D
2．的展开式中的系数为（ ）
A．15B．60C．120D．240
【答案】B
【分析】根据二项展开式通项公式计算．
【详解】，
所以的系数是．
故选：B．
3．若的展开式中的系数为0，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得的展开式中和的系数，得到的展开式中的系数，进而可以解得.
【详解】因为的展开式中的系数为，的系数为，
所以的展开式中的系数为，
由，得.
故选：C.
4．若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
5．已知，则（ ）
A．224B．C．D．448
【答案】D
【分析】根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数.
【详解】令，得，
则
可化为：，
二项展开式通项为：
所以
故选：D.
6．设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求得，继而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.
【详解】因为，所以当时，可得；
当时，可得．
又，所以，得，
所以的展开式中系数最大的项为第4项，即,
故选：B
7．【多选题】已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则（ ）．
A．
B．展开式中各项的系数和为1
C．展开式中第3项或第4项的二项式系数最大
D．展开式中有理项只有4项
【答案】ABD
【分析】根据二项式系数之和为求出，即可判断A，再利用赋值法求出所有项系数和，即可判断B，再根据二项式系数的特征判断C，最后利用展开式的通项判断D；
【详解】解：因为展开式中各项的二项式系数之和为，所以，，故A正确；
令，得所有项的系数和为1，故B正确；
因为，所以展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故C错误；
因为通项是，
当，2，4，6时为有理项，所以只有4项为有理项，故D正确．
故选：ABD
8．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
9．的近似值为 ．(精确到两位小数)
【答案】
【解析】由，利用二项式定理可求得近似值.
【详解】.
10．已知能被13整除，则实数____________．
【答案】10
【分析】首先根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案.
【详解】因为，
所以，即．
故答案为：10
11．在的展开式中的系数为________．
【答案】28
【分析】将化为，写出其通项公式，再利用的通项公式，即可求得答案.
【详解】的展开式的通项为，
的展开式的通项为，,
令，可得，,
故展开式中的系数为,
故答案为:28
12．已知多项式，则__________，___________．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
13．计算：________．
【答案】1
【分析】将整理变形为二项式形式，即可求得答案.
【详解】
,
故答案为：1
14．已知展开式的第项和第项的二项式系数相等．
(1)问展开式中是否存在常数项，若存在，请写出常数项，若不存在，请说明理由．
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)存在，常数项为
(2)
【分析】（1）根据可求得，从而确定展开式通项；令可得，代入通项即可得到常数项；
（2）设第项的系数最大，利用不等式法可解得，代入通项即可得到系数最大项.
(1)
展开式的第项和第项的二项式系数相等，
，解得：；
展开式通项为：；
令，解得：，
展开式存在常数项，常数项为.
(2)
由（1）知：；
假设展开式第项的系数最大，
则，解得：，；
则展开式中系数最大的项为第四项.
B组 挑战自我
1．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果.
【详解】设，
两边求导数，，
令，得，
取，得.
故选：D.
3．设，则________．
【答案】##16807
【分析】运用赋值法，令，再相加即可.
【详解】令，得①，
令，得②，
由，得．
故答案为：
4．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．
【答案】
【分析】根据二项式系数的最大值满足的条件求出，，代入，根据组合数的公式求解即可．
【详解】由题意知，故
，
，，
解得．
故答案为：．
二项式定理
二项展开式
公式右边的多项式
二项式系数
二项展开式中各项的系数
二项展开式的通项
它表示第k＋1项
性质
对称性
与首末等距的两个二项式系数相等，即
增减性与最大值
当时，二项式系数是递增的
当时，二项式系数是递减的
当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大
二项式系数的和
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