2025高考数学一轮复习-11.2-二项式定理-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-11.2-二项式定理-专项训练【含答案】，共7页。
一、单项选择题
1．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中x的系数为( )
A．－80B．－40
C．40D．80
2．若(1＋2x)3(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a0＋a2＋a4＋a6＝( )
A．27B．－27
C．54D．－54
3．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )
A．eq \f(55,2)B．－eq \f(55,2)
C．－28D．28
4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)－x))eq \s\up12(5)的展开式中，x3项的系数为( )
A．5B．－5
C．15D．－15
5．5050＋9被7除的余数为( )
A．0B．1
C．2D．3
6．利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23B．1.24
C．1.33D．1.34
7．设复数x＝eq \f(2i,1－i)(i是虚数单位)，则Ceq \\al(1,2024)x＋Ceq \\al(2,2024)x2＋Ceq \\al(3,2024)x3＋…＋Ceq \\al(2024,2024)x2024＝( )
A．0B．－2
C．－1＋iD．－1－i
8．已知在(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)的值为( )
A．28B．28－1
C．27D．27－1
二、多项选择题
9．在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x2－\f(2,x)))eq \s\up12(5)的展开式中，有( )
A．含x的项B．含eq \f(1,x2)的项
C．含x4的项D．含eq \f(1,x4)的项
10．已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(n)的展开式中共有8项，则下列说法正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为1
C．第4项和第5项的二项式系数最大
D．有理项共3项
11．若(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，则下列结论正确的是( )
A．a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝1
B．a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝eq \f(1＋32024,2)
C．eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2024,22024)＝0
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＝4048
三、填空题
12．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,x2)))eq \s\up12(5)的展开式中的常数项为________．
13．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________．
14．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
15．(多选)为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动．活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第p行第q个数记为ap，q(p，q∈N*)，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第n条斜线上所有数字之和为Sn(S1＝S2＝1，S3＝2)，入场码由两段数字组成，前段的数字是eq \(∑,\s\up8(4),\s\d8(i＝1))a4，i104－i的值，后段的数字是S2023－eq \(∑,\s\up8(2021),\s\d8(i＝1))Si的值，则( )
A．a2023，2＝2023
B．eq \(∑,\s\up8(4),\s\d8(i＝1))a4，i104－i＝1331
C．S9＝34
D．该景点的入场码为13311
16．(多选)下列关于排列数与组合数的等式或说法正确的是( )
A．Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(3,5)＋…＋Ceq \\al(3,10)＝330
B．已知n>m，则等式eq \f(Ceq \\al(m,n),m＋1)＝eq \f(Ceq \\al(m＋1,n＋1),n＋1)对任意正整数n，m都成立
C．设x＝Aeq \\al(90,90)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,Aeq \\al(3,3))＋\f(3,Aeq \\al(4,4))＋\f(4,Aeq \\al(5,5))＋…＋\f(89,Aeq \\al(90,90))))，则x的个位数字是6
D．等式(Ceq \\al(0,n))2＋(Ceq \\al(1,n))2＋(Ceq \\al(2,n))2＋…＋(Ceq \\al(n,n))2＝Ceq \\al(n,2n)对任意正整数n都成立
17．若(x2－x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
18．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数Ceq \\al(r,n)都换成分数eq \f(1,（n＋1）Ceq \\al(r,n))，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是________；若Sn＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,20)＋eq \f(1,60)＋eq \f(1,140)＋…＋eq \f(1,nCeq \\al(n－4,n－1))＋eq \f(1,（n＋1）Ceq \\al(n－3,n))(n≥3)，则Sn＝________(用含n的代数式作答)．
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单项选择题
1．答案 D
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(2x)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(r)＝(－1)r25－rCeq \\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中x的系数为(－1)2×25－2×Ceq \\al(2,5)＝80.故选D.
2．答案 B
解析 (1＋2x)3(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1＋2)3(1－2)4＝27，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a7＝(1－2)3(－1－2)4＝－81，两式相加，可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－54，所以a0＋a2＋a4＋a6＝－27.故选B.
3．答案 B
解析 展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(12－k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(k)＝Ceq \\al(k,12)(－1)k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(12－k)xeq \s\up7(12-\f(3,4)k)12－eq \f(4,3)k，若为常数项，则12－eq \f(4,3)k＝0，所以k＝9，得常数项为T10＝Ceq \\al(9,12)(－1)9·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(12－9)＝－eq \f(220,8)＝－eq \f(55,2).
4.答案 B
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)－x))eq \s\up12(5)＝(1＋x－1－x)5，(1＋x－1－x)5表示5个(1＋x－1－x)相乘，展开式中出现x3有两种情况，第一种是(1＋x－1－x)5中选出3个－x和2个1，第二种是(1＋x－1－x)5中选出4个－x和1个x－1，所以展开式中含有x3的项为Ceq \\al(3,5)(－x)3×12＋Ceq \\al(4,5)(－x)4·(x－1)1＝－10x3＋5x3＝－5x3，所以x3项的系数为－5.
5．答案 D
解析 5050＝(49＋1)50＝4950＋Ceq \\al(1,50)·4949＋Ceq \\al(2,50)·4948＋…＋Ceq \\al(49,50)·49＋1，展开式中除最后一项外，其他各项都是7的整数倍，所以5050＋9被7除的余数等于1＋9＝10被7除的余数，结果为3.故选D.
6．答案 D
解析 1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq \\al(0,6)＋Ceq \\al(1,6)×0.05＋Ceq \\al(2,6)×0.052＋Ceq \\al(3,6)×0.053＋…＋Ceq \\al(6,6)×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.
7．答案 A
解析 因为x＝eq \f(2i,1－i)＝eq \f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，所以Ceq \\al(1,2024)x＋Ceq \\al(2,2024)x2＋Ceq \\al(3,2024)x3＋…＋Ceq \\al(2024,2024)·x2024＝(1＋x)2024－1＝i2024－1＝1－1＝0.
8．答案 B
解析 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项系数的和为A，偶次项系数的和为B，则A＝a1＋a3＋a5＋a7＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知得，B－A＝38，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝(－3)8，∴n＝8，由二项式系数的性质可得Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n－Ceq \\al(0,n)＝28－1.故选B.
二、多项选择题
9．答案 ABC
解析 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x2－\f(2,x)))eq \s\up12(5)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，结合所给的选项，知A，B，C的项都含有．
10．答案 ABC
解析 由题知n＝7，则Tk＋1＝Ceq \\al(k,7)(2x)7－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(k)＝(－1)k27－kCeq \\al(k,7)xeq \s\up7(7-\f(3k,2))，所有项的二项式系数和为27＝128，A正确；令x＝1，得所有项的系数和为(2－1)7＝1，B正确；对于二项式系数Ceq \\al(k,7)，显然第4，5项对应的二项式系数Ceq \\al(3,7)＝Ceq \\al(4,7)最大，C正确；有理项为7－eq \f(3k,2)∈Z时，即k＝0，2，4，6，共4项，D错误．
11．答案 ABD
解析 令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝(－1)2024＝1 ①，故A正确；令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024＝32024 ②，①＋②可得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2024)＝1＋32024，故a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝eq \f(1＋32024,2)，故B正确；令x＝0可得a0＝12024＝1 ③，令x＝eq \f(1,2)可得a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2024,22024)＝0 ④，把③代入④，可得eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2024,22024)＝－1，故C错误；两边对x求导得－4048(1－2x)2023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2024a2024x2023.令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＝4048，故D正确．
三、填空题
12．答案 15
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,x2)))eq \s\up12(5)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)·(eq \r(x))5－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x2)))eq \s\up12(k)＝Ceq \\al(k,5)·3k·xeq \f(5－5k,2)，令eq \f(5－5k,2)＝0，得k＝1，则Ceq \\al(k,5)·3k＝Ceq \\al(1,5)·3＝15，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,x2)))eq \s\up12(5)的展开式中的常数项为15.
13．答案 1120x4 1792x5和1792x6
解析 T6＝Ceq \\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq \\al(6,n)(2x)6，依题意有Ceq \\al(5,n)·25＝Ceq \\al(6,n)·26，得n＝8，∴在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝Ceq \\al(4,8)·(2x)4＝1120x4，设第k＋1项系数最大，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(k,8)·2k≥Ceq \\al(k－1,8)·2k－1，,Ceq \\al(k,8)·2k≥Ceq \\al(k＋1,8)·2k＋1，))解得5≤k≤6.又k∈N*，∴k＝5或k＝6，又Ceq \\al(0,8)20