数学八年级下册（2024）23.3 矩形、菱形与正方形精品课后练习题

这是一份数学八年级下册（2024）23.3 矩形、菱形与正方形精品课后练习题，共9页。

课程目标
理解并掌握 正方形的定义、性质与判定方法
熟练运用 正方形的边、角、对角线性质解决几何问题
掌握 正方形与折叠、旋转、动点问题的综合应用
灵活运用 勾股定理、全等三角形、方程思想求解线段长度
体会 分类讨论、转化思想在正方形综合题中的应用
✨ 核心思想：正方形既是矩形又是菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
知识梳理 · 核心概念与定理
☆正方形定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
☆正方形性质
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
四条边都相等，四个角都是直角（90°）
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形是轴对称图形（四条对称轴），也是中心对称图形
正方形面积 = 边长² = 对角线乘积的一半
☆正方形判定
对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
☆常用结论与公式
正方形边长与对角线的关系：对角线 = 边长 × √2
正方形内接等腰直角三角形、全等三角形常见
正方形中常构造弦图、赵爽弦图证明勾股定理
核心考点 · 15类题型精讲
【考点1】正方形的判定定理理解
❤知识点/方法
判定方法：从矩形、菱形、平行四边形角度出发，掌握正方形判定的几种等价条件。
常见反例：对角线相等但不垂直的四边形不一定是正方形（需先证平行四边形）。
中点四边形：顺次连接矩形各边中点得到菱形，不是正方形。
1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】B
【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、轴对称图形的识别
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
根据矩形的判定方法对A进行判断；根据正方形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定方法对C进行判断；根据轴对称图形的定义对D进行判断．
【详解】解：A． 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形．矩形的定义需满足平行四边形且对角线相等，故A错误．
B． 矩形若对角线互相垂直，则其四边相等且四个角为直角，符合正方形的定义，故B正确．
C． 顺次连接矩形各边中点，所得四边形各边平行于原矩形对角线且长度为对角线的一半．因矩形对角线相等，故中点四边形四边相等，为菱形而非正方形，故C错误．
D． 平行四边形一般不是轴对称图形（除特殊情形如矩形、菱形），故D错误．
故选：B．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE，那么：
①△ABE≌△CDF；
②四边形AECF是平行四边形；
③当AB=AD时，四边形AECF是菱形；
④当M、N分别是BC、AD中点时，四边形AMCN是正方形．
则下列结论中正确的有 ．
【答案】①②③
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠CDA，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴∠BAE+∠ABC=90°，∠DCF+∠CDA=90°，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDFASA，故①正确；
∴AE=CF，
∵AM∥CN，
∴四边形AECF是平行四边形，故②正确；
连接AC，如图所示：
当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即AC⊥EF，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，故③正确；
∵AM⊥BC，CN⊥AD，AD∥BC，
∴∠AMC=∠MCN=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
当M、N分别是BC、AD中点时，不能证明两边相等，如图所示：
故④错误；
综上所述，结论正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质．
3．（12-13九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
【答案】D
【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−m−1x+3m−12=0．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)矩形ABCD的两条边AB，BC恰好是这个方程的两个根，当m=_______时，矩形ABCD是正方形，此时正方形的边长是________．
【答案】(1)见解析
(2)7，3
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、正方形的判定定理理解
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解；
（2）根据题意，当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，即方程有两个相等的根，所以m−72=0，即可求解m=7，再代入方程求解即可；
【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程x2−m−1x+3m−12=0，
∴Δ=−m−12−4×1×3m−12=m−72≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根，
∵当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，即方程有两个相等的根，
∴m−72=0，
解得，m=7，
当m=7时，一元二次方程为：x2−6x+9=0，
∴x−32=0，
解得，x1=x2=3，
即AB=BC=3，
故答案为：7，3；
【考点2】证明四边形是正方形
❤ 知识点/方法
判定方法1：先证矩形，再证一组邻边相等或对角线垂直。
判定方法2：先证菱形，再证一个角是直角或对角线相等。
判定方法3：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。
常见辅助线：连接对角线，利用中点构造平行四边形。
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，DF⊥AB，垂足为F，且DF=CD，点E为线段AD的中点，过点F作FG∥CE交射线AD于G，连接CG．
(1)求证：∠CEG=∠FEG；
(2)求证：四边形CEFG是菱形．
(3)当AC=BC时，求证：四边形CEFG是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、全等的性质和SAS综合（SAS）、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）证明Rt△ACD≌Rt△AFDHL，得出∠CAD=∠FAD，AC=AF，证明△ACG≌△AFGSAS，得出CG=FG，∠CGA=∠FGA，证明△CEG≌△FEGSAS，得出∠CEG=∠FEG；
（2）根据平行线的性质得∠FGA=∠CEG，证明∠CGE=∠CEG，根据等腰三角形的判定得出CE=CG，证明CE=EF=FG=CG，即可证明结论；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠CAB=180°−90°2=45°，求得∠CAD=∠FAD=22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠ECA=22.5°，求得∠CEF=∠CEG+∠FEG=90°，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，DF⊥AB，
∴∠DFA=90°，
在Rt△ACD与Rt△AFD中，
DF=CDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AFDHL，
∴∠CAD=∠FAD，AC=AF，
在△ACG与△AFG中，
AC=AF∠CAD=∠FADAG=AG，
∴△ACG≌△AFGSAS，
∴CG=FG，∠CGA=∠FGA，
在△CEG和△FEG中，
CG=FG∠CGA=∠FGAEG=EG，
∴△CEG≌△FEGSAS，
∴CE=EF，∠CEG=∠FEG；
（2）证明：∵FG∥CE，
∴∠FGA=∠CEG，
由（1）知：∠CGA=∠FGA，
∴∠CGE=∠CEG，
∴CE=CG，
由（1）知：CE=EF，CG=FG，
∴CE=EF=FG=CG，
∴四边形CEFG是菱形．
（3）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=12180°−90°=45°，
由（1）知，∠CAD=∠FAD，
∴∠CAD=∠FAD=22.5°，
∵E为AD的中点，∠ACB=90°，
∴CE=AE=12AD，
∴∠CAE=∠ECA=22.5°，
∴∠CEG=∠CAE+∠ECA=45°，
由（1）知：∠FEG=∠CEG=45°，
∴∠CEF=∠CEG+∠FEG=90°，
∵四边形CEFG是菱形，
∴四边形CEFG是正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键．
6．（2024八年级下·上海·专题练习）已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF．连接EF、FG、CH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)若∠B=45度，求证：四边形EFGH是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】证明四边形是正方形、利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）连接BD，FH，可证得四边形AFCH为矩形，再证明△AEH≌△CFG，△BEF≌△DHG，可得四边形EFGH是平行四边形，因为EH⊥EF，所以四边形EFGH是矩形；
（2）作辅助线，构建三角形全等，证明△FMG≌△GNH(AAS)，得FG=GH，可证得四边形EFGH是正方形．
【详解】（1）证明：如图1，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∵AF⊥BC，CH⊥AD，
∴AF=CH，AF∥CH，∠AFC=90°，
∴四边形AFCH为矩形，
∴AH=CF=AE=CG，
在ΔEAH和ΔFCG中，
AE=CF∠EAH=∠FCGAH=CG，
∴△EAH≌△FCG(SAS)，
∴EH=FG，
∵AB=BC=CD=AD，
∴BE=BF=DH=DG，
同理得△BEF≌△DHG(SAS)，
∴EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AE=AH，AB=AD，
∴∠AEH=∠ABD=∠AHE=∠ADB，
∴EH∥BD，
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD，
∴BD⊥EF，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）证明：如图2，由（1）知：四边形EFGH是矩形，
∴∠FGH=90°，
过点G作MN⊥AD于N，交BC的延长线于M，则四边形HCMN是矩形，
∴NH=CM，
∵AB∥CD，
∴∠GCM=∠B=45°，∠FCG=135°，
∴△CGM是等腰直角三角形，
∴GM=CM=NH，
∵CF=CG，
∴∠CFG=22.5°，∠FGM=90°−22.5°=67.5°，
∴∠NGH=90°−67.5=22.5°=∠CFG，
在△FMG和△GNH中，
∠CFG=∠NGH∠M=∠HNG=90°GM=HN，
∴△FMG≌△GNH(AAS)，
∴FG=GH，
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及正方形的判定方法，第2问有难度，正确作辅助线构建三角形全等是关键．
7．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上一点，EB=ED且∠CBE=∠CDE．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若F是对角线AC上一点，且∠ADE=∠CDF，求证：BE ∥ DF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】根据等角对等边证明边相等、根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形
【分析】（1）连接BD，由EB=ED，则∠OBE=∠ODE，然后证明CB=CD，即可得到结论成立；
（2）先证明∠ABE=∠CDF，然后证明∠OBE=∠ODF，即可得到结论成立．
【详解】（1）证明：连接BD，如图：

∵EB=ED，
∴∠OBE=∠ODE，
∵∠CBE=∠CDE，
∴∠CBE−∠OBE=∠CDE−∠ODE，
∴∠CBO=∠CDO，
∴CB=CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABO=∠ADO，
∵∠OBE=∠ODE，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDF，
∵∠ABO=∠CDO=45°，
∴∠OBE=∠ODF，
∴BE∥DF；
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行证明．
【考点3】添一个条件使四边形是正方形
❤知识点/方法
从矩形的角度：添加一组邻边相等或对角线垂直。
从菱形的角度：添加一个直角或对角线相等。
从对角线的角度：添加对角线相等且垂直。
常见错误：只加对角线相等而忽略其他条件。
8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）

A．AB=AD且AC⊥BDB．AC⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD=∠ABC且AC=BDD．AC=BD且AB=AD
【答案】D
【知识点】添一个条件使四边形是正方形
【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
不能证明四边形ABCD是正方形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC和BD互相平分，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
不能证明四边形ABCD是正方形，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
不能证明四边形ABCD是正方形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴四边形ABCD是矩形，
又AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键．
9．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（ ）个．
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形
②添加“∠BAD=90°”，则四边形ABCD是矩形
③添加“OA=OC”，则四边形ABCD是菱形
④添加“∠ABC=∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【知识点】添一个条件成为平行四边形、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形
【分析】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，
先说明AC是BD的垂直平分线，可得BO=DO,∠AOB=∠BOC=90°，再证明△ABO≌△CDO，可得判断①；当∠BAD=90°时，无法证明四边形ABCD是矩形，说明②即可；然后证明四边形ABCD是平行四边形，再根据AC⊥BD，可得四边形ABCD是菱形，判断③；接下来结合已知说明AB∥CD，可得四边形ABCD是菱形，进而得出菱形ABCD是正方形，判断④ 即可．
【详解】解：∵AB=AD,BC=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴BO=DO,∠AOB=∠BOC=90°．
当AB∥CD时，∠BAO=∠DCO．
∵BO=DO,∠AOB=∠COD=90°，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB=CD=AD=BC，
∴四边形ABCD是菱形．故①正确；
当∠BAD=90°时，无法证明四边形ABCD是矩形，所以②不正确；
当AO=CO时 ，
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．所以③正确；
当∠ABC=∠BCD=90°时，∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由①得四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．所以④正确．
综上所述，错误的有1个．
故选：B．
10．（24-25九年级上·上海·月考）在△ABC中，BC=a，BC边上的高ℎ=2a，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示．请你解决如下问题：
已知：如图2，在△A′B′C′中，B′C′=a, A′C′=b, A′B′=c, B′C′边上的高ℎ=12a．请你设计两种不同的分割方法，将△A′B′C′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形，并说明分割线的做法与拼接方法．
【答案】见解析
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、添一个条件使四边形是正方形
【分析】本题考查学生的动手操作能力，注意剪拼过程中图形的面积和保持不变，注意结合所需拼合图形的特点．
正方形的四条边都相等，四个角都是直角，注意应把所给三角形分为三块．
【详解】解：如图2，过AB、AC的中点D、E作BC的垂线段DF、EG，沿图中线段DF、EG将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形HFGK，
如图3，过AC的中点E作EF∥AB，交BC于F，A作BC的垂线段AH，沿图中线段AH、EF将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形AHGD．
【考点4】正方形性质理解
❤知识点/方法
对角线性质：对角线相等、垂直、平分，构造等腰直角三角形。
边角性质：四边相等，四角90°，常用于证明三角形全等。
对称性：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形。
中点四边形：顺次连接正方形各边中点得到正方形（面积减半）。
11．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，以点B为圆心、AB的长为半径画弧交线段EF于点G，直线AG交CD于点H，如果CH=4，那么正方形的边长为（ ）
A．5B．23+2C．3+3D．33−1
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、正方形性质理解
【分析】过点G作GK⊥AB于点K，设BG的中点为P，连接PK，CG，过点H作HQ⊥CG于点Q，证明四边形ABFE，四边形AKGE是矩形，则GK=AE=12AB=12BG，根据直角三角形斜边中线性质得PK=PG=PB=12BG，则PK=PG=GK，由此得△PGK是等边三角形，进而得∠PGK=60°，∠KBG=30°，∠GBC=60°，继而得△BCG是等边三角形，由此得∠GCH=30°，则HQ=12CH=2，CQ=23，再求出∠QGH=45°得△GQH是等腰直角三角形，则GQ=HQ=2，进而得CG=23+2，由此即可得出正方形的边长．
【详解】解：如图，过点G作GK⊥AB于点K，设BG的中点为P，连接PK，CG，过点H作HQ⊥CG于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AD∥BC，
∵点E、F分别为边AD、BC的中点，
∴AE=12AD=12AB，BF=12BC，
∴AE=BF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠AEF=90°，
∵GK⊥AB，
∴∠BAD=∠AEF=90°=∠GKA=∠GKB，
∴四边形AKGE是矩形，
∴GK=AE=12AB，
由作图可知：BG=AB，
∴GK=12BG，
在Rt△BKG中，点P是BG的中点，
∴PK=12BG=PG=PB，
∴PK=PG=GK，
∴△PGK是等边三角形，
∴∠PGK=60°，
在Rt△BKG中，∠KBG=90°−∠PGK=90°−60°=30°，
∴∠GBC=∠ABC−∠KBG=90°−30°=60°，
又∵BG=AB=BC，
∴△BCG是等边三角形，
∴∠BCG=∠BGC=60°，BC=CG，
∴∠GCH=∠BCD−∠BCG=90°−60°=30°，
∵HQ⊥CG，
∴∠CQH=∠GQH=90°，
在Rt△CHQ中，∠GCH=30°，CH=4，
∴HQ=12CH=12×4=2，
∴CQ=CH2−HQ2=42−22=23，
在△ABG中，AB=BG，∠KBG=30°，
∴∠BGA=12180°−∠KBG=12×180°−30°=75°，
∴∠AGC=∠BGA+∠BGC=75°+60°=135°，
∴∠QGH=180°−∠AGC=180°−135°=45°，
∴△GQH是等腰直角三角形，
∴GQ=HQ=2，
∴CG=CQ+GQ=23+2，
∴BC=CG=23+2，
∴正方形的边长为23+2．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30°角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键．
12．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．

【答案】48
【知识点】正方形性质理解
【分析】本题主要考查了正方形的拼接，根据面积相等可得正方形的面积，进而得出正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：正方形的面积为16×9=144，
∴正方形的边长为12，
∴周长为4×12=48．
故答案为：48．
13．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想
小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．
【答案】小明的说法是正确的，小亮的说法是错误的，理由见解析
【知识点】全等三角形综合问题、正方形性质理解、根据正方形的性质证明
【分析】
如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，可通过证明△HFN≌△EGM，可证得小明的说法；通过作辅助线，找到与EG相等但不垂直的HF，即可证得小亮的说法．
【详解】证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB，
∵EM⊥CD，
∴四边形BCME是矩形，
∴EM＝BC，
同理HN＝AB，
∴EM＝HN，
由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG＝∠MEG+∠EON＝90°，
∵∠EON＝∠HOG，
∴∠FHN＝∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG＝HF，
小明的说法是正确的；
如图，在BC上找两个点F和F'，使BF'＝CF，取AD的中点H，连接FH和F'H，
过点H作BC的垂线段于K，
∵AH=DH，
∴BK=CK，
又∵BF'＝CF，
∴ KF＝KF'，
∴HF＝HF'，
作EG⊥HF'，其中点E在AB上，点G在CD上，
由上题可知EG＝F'H＝FH，
但HF和EG不互相垂直，
小亮的猜想是错误的．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，可有助于提高解题速度和准确率．
【考点5】根据正方形的性质求角度
❤知识点/方法
等腰直角三角形：正方形对角线分出的三角形是等腰直角三角形。
等边对等角：由边相等推出角相等。
三角形内角和：结合内角和定理求角度。
全等三角形：通过全等得到对应角相等。
旋转性质：旋转前后对应角相等。
14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知△EBD是以正方形ABCD的对角线BD为一边的等边三角形，EF⊥DA，垂足为点F，那么∠AEF的度数是 ．
【答案】45°/45度
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度
【分析】根据正方形性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等边三角形性质得BE=DE，由此可依据“SSS”判定△ABE和△ADE全等得∠BAE=∠DAE，进而得∠BAE=135°，则∠EAF=45°，然后根据EF⊥DA即可得出∠AEF的度数．
此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠BAD=90°，
∵△EBD是等边三角形，
∴BE=DE，
在△ABE和△ADE中，
AB=ADBE=DEAE=AE，
∴△ABE≌△ADESSS，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠BAE+∠DAE+∠BAD=360°，
∴2∠BAE+90°=360°，
∴∠BAE=135°，
∴∠EAF=∠BAE−∠BAF=135°−90°=45°，
∵EF⊥DA，
∴∠AEF=90°−∠EAF=45°．
故答案为：45°．
15．（23-24八年级下·上海·期末）如果把正方形ABCD 绕点 C 旋转得到正方形A′B′CD′，点B′落在对角线AC上，点A′落在 CD 的延长线上，那么∠AA′B′= 度．
【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据旋转的性质以及正方形的性质可得∠ACA′=45°,AC=A′C，进而得出∠CAA′=67.5°，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵∠ACA′=45°,AC=A′C
∴∠CAA′=12180°−45°=67.5°，
∴∠AA′B′=90°−∠A′AB′=22.5°
故答案为：22.5．
16．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形ABCD中，边长为2，点M在对角线BD上，连接AM，过点M作MN⊥AM，交直线BC于点N．

(1)如图1，当点N在边BC上时，求证：AM=MN；
(2)当点N在CB的延长线上时，设BM=x，△BNM面积为y，求y关于x的解析式，并写出定义域；
(3)若S△BNM=12S△ABM，求BM的长．
【答案】(1)见解析
(2)y=−12x2+22x0