初中数学23.2 平行四边形精品习题

这是一份初中数学23.2 平行四边形精品习题，共9页。

课程目标
理解并掌握 平行四边形的定义、性质与判定方法
灵活运用 平行四边形的边、角、对角线性质解决几何问题
熟练运用 全等三角形、勾股定理、旋转等知识综合解题
掌握 与平行四边形相关的动点问题、折叠问题、最值问题
体会 分类讨论、转化思想、方程建模在几何中的应用
✨ 核心思想：利用平行四边形的对称性、对角线互相平分等性质，结合全等三角形实现边角转化
知识梳理·核心概念与定理
☆平行四边形定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
☆平行四边形性质
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点
☆平行四边形判定
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
☆常用辅助线构造
连接对角线，利用对角线互相平分
过顶点作平行线，构造平行四边形
利用中点构造中位线
核心考点·9类题型精讲
【考点1】证明四边形是平行四边形
常用方法： 一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对边分别相等。
常见题型： 等边三角形+旋转构造平行四边形、动点问题求时间、中点+平行线构造。
【例题 1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，已知△ABC是等边三角形，E为边AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF，CF．求证：四边形ABDF是平行四边形．
【变式 1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,AD=24,BC=26，动点P从点A开始沿边AD向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB以3cm/s的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts，连接PQ，当t= 时，四边形PQCD是平行四边形．
【变式 2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE=12AD，连接CE，F是BC边的中点，联结FD．
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AD=8，∠A=60°，CE=27，求▱ABCD的面积．
【变式 3】（2012·甘肃白银·中考真题）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF=EF，求证：AE=AD．
【考点2】判断能否构成平行四边形
关键点： 判定定理的充分性判断，注意等腰梯形等反例。
常见题型： 选择题中条件辨析、平移操作依据。
【例题 1】（25-26九年级上·四川达州·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AD=BC B．∠BAC=∠ACD C．AB=AD D．∠B=∠D
【变式 1】（23-24八年级下·上海金山·月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【变式 2】（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=DC,AD=BCB．AB∥DC,AD=BC
C．AB∥DC,∠BAD=∠BCDD．OA=OC,OB=OD
【变式 3】（23-24八年级上·山东东营·月考）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【考点3】添一个条件成为平行四边形
思路： 从边、角、对角线三个角度补充条件，常结合全等三角形。
常见题型： 动点问题中列方程求时间、对角线比例关系求未知数。
【例题 1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（ ）
A．AB=CDB．AO=COC．∠ADB=∠CBDD．AC=BD
【例题 2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上以1cm/s的速度从点A出发向点B移动，同时点F在CD边上以2cm/s的速度从点C出发向点D移动．若AB=7cm，CD=9cm，则 s时，四边形ADFE是平行四边形．
【变式 1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，OA=2x+3，OB=3y−1，OC=y+4，OD =x+6．要使四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A．x=2，y=3B．x=3，y=2
C．x=5，y=3D．x=3，y=2.5
【变式 2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF；②∠ADE=∠CBF；③AF=CE；④∠AEB=∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
【考点4】求与已知三点组成平行四边形的点的个数
方法： 分类讨论，以每一条已知线段为对角线或边，利用平移或中点坐标求解。
常见题型： 坐标系中求点坐标、网格图中找点。
【例题 1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,4，B2,1，C4,3．
(1)画出△ABC向左平移5个单位后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2：
(3)若点M在第三象限，且以C1，C，B2，M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标是__________．
【变式 1】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有A，B，D三个点，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上．请在本网格图中找出点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点C有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例题 2】（21-22七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中A0,0，B2,0，C3,1，则点D的坐标为 ．
【考点5】全等三角形拼平行四边形问题
原理： 两个全等三角形可拼成平行四边形，常结合旋转、平移。
常见题型： 判断拼法个数、利用全等性质求边长或面积。
【例题 1】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【例题 2】（2021·青海·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线BD=8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE=3cm，BC=4cm，则AD与BC之间的距离为 ．
【变式 1】（2021·河北·模拟预测）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB=AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
A．应补充：且∠DAC=∠ACBB．应补充：且AB=CD
C．应补充：且AB//CDD．应补充：且AD//CB
【变式 2】（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含30°角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点6】利用平行四边形的判定与性质求解
综合应用： 结合三角形面积、周长、勾股定理、方程思想。
常见题型： 求线段长、面积、最值问题，动点问题。
【例题 1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，△ABC中，DE∥AC,DF∥AB，△ABC的周长为128，则△CDF与△BDE的周长和为 ．
【变式 1】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P、F分别是CD，AB的中点．若AB=12，则下列结论正确的是（ ）
A．PE+PF的最小值为62B．△PAB的面积为182
C．△CDE周长的最小值为16D．PA+PB的最小值为67
【例题 2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是▱ABCD的边AB上的点，连接DE、CE,Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=5cm2,S△BQC=9cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．23cm2B．20cm2C．17cm2D．13cm2
【变式 1】（25-26九年级上·上海杨浦·期中）探究活动：等积变形
【问题情境】如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、C1、C2在直线m上，那么图中与△ABC面积相等的三角形是___________．
【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．
如图2，已知在5×5的网格图形中，四边形ABCD的顶点A、B、C、D都在格点上，
求作格点P，使S△ABP=S四边形ABCD．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）
【问题拓展】如图3，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，求作一点Q，使S△CDQ=S平行四边形ABCD．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）．
【变式 2】（25-26九年级上·上海·期中）如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知Rt△ABC是“优美三角形”，且∠C=90°，则△ABC的“优美值”是 ；
【变式 3】（24-25八年级下·上海·月考）在▱ABCD中，连接AC，AB=AC，∠ADC的角平分线DE与BC交于点E，与AC交于点F，连接AE，∠AED=∠B．
(1)求证：△ABE≌△ECF；
(2)若AE=2，求△EAF的面积．
【考点7】利用平行四边形性质和判定证明
技巧： 通过证明三角形全等得到边等或角等，再推出平行四边形。
常见题型： 线段相等、角度相等、互相平分证明。
【例题 1】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AB、AC上的点，AF∥ED，且AF=ED，延长FD到点 G，使DG=FD． 求证：ED、AG互相平分．
【变式 1】（24-25八年级下·上海·月考）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为E，BE=12AD+BC．求证：AB=CD．
【变式 2】（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，AD=a，BC=b，由上述条件，得到了两个结论：①AC=22a+b，②CD=22a2+b2．对于结论①、②下列说法正确的是（ ）
A．①正确、②错误B．①错误、②正确
C．①、②正确 D．①、②都错误
【例题 2】（20-21八年级下·上海崇明·期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC的平行线MN分别交DA、DC的延长线于点M、N，交AB、BC于点P、Q，求证：QN=MP．

【变式 1】（17-18八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．

(1)求证：OE=OF；
(2)连接BE，DF，求证：BE=DF．
【变式 2】（21-22八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知E、F分别为▱ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分．
【考点8】平行四边形性质和判定的应用
实际应用： 几何综合题中结合勾股、旋转、面积转化。
常见题型： 动点问题、最值问题、存在性问题。
【例题 1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F在BD上，且AE∥FC，AB∥CD，BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BH⊥CD，∠DBC=90°，AD=3，AB=5，求BH的长．
【例题 2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD⊥CD，AB=6cm，BC=10cm．点E从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度匀速运动，到点A时停止运动，连接EO并延长交BC于点F．设运动时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形EDCF是平行四边形？并说明理由；
(2)当t=3s时，求四边形OFCD的面积．
【变式 1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，ED⊥CD，下列说法：①AB∥CD；②DE平分∠ADB；③S△EDF=S△BCF；④∠CDF=∠CFD．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【例题 3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知．△ABC为等边三角形，点D为平面内一点．
(1)如图1，点D在边BC上，在图1中将△BAD绕点A逆时针旋转60°，画出旋转后的图形；
(2)如图2，点D为等边△ABC边BC所在直线下方一点，连接AD，BD，CD，若DB=2，DC=5，∠BDC=60°，求线段DA的长；
(3)如图3，若DB=2，DC=5，直接写出四边形ABDC面积的最大值 ．
【变式 1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段AD与线段BC相交于点E，连接AB，CD．若∠AEB=60∘，AD=2，BC=3，则AB+CD的最小值是 ．
【变式 2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为CD，AB上两点，且DE=BF，连接AE，CF分别与对角线BD交于点G，H．
(1)求证：四边形AFCE为平行四边形：
(2)若∠ABD=30°，DH=4，求点G到AB的距离．
【考点9】创新及压轴题
特点： 融合旋转、全等、勾股、平行四边形判定，需要综合运用多种思想。
常见题型： 等边三角形旋转构造、面积最值、三点共线问题。
【例题 1】（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图①，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA=OC，OB =OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
（1）请写出证明过程．
【知识应用】（2）如图②，在▱ABCD中，F是AD的中点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，连接AE，BD．求证：四边形ABDE是平行四边形．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若▱ABCD的面积为26，求△BCE的面积．
【例题 2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）【问题提出】
（1）如图1，点D是△ABC边BC的中点，则 S△ABD S△ACD （填“>、a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地ABCD（位于两条平行道路m和n之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点C修一条笔直的通道CE，交AD于点E，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，CD⊥n，垂足为点D，AB=10m，CD=50m，AD=150m，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，如果将通道记为CE，请分别求出AE和通道CE2的长（通道的宽度忽略不计）．
【例题 3】（2021·辽宁抚顺·模拟预测）已知在等边△ABC中，点E是AC的中点，以CE为斜边在△ABC的内部作Rt△CED，且∠ECD=30°，∠CDE=90°．
(1)如图1，过点D作直线DF交直线AE于点F，且∠AFD=60°，交AB于点G，请直接写出线段ED与BG的数量关系；
(2)将△CDE绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线DF交直线AE于点F，且∠AFD=60°，过点B作DE的平行线交直线FD于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若AB=4，将△CDE旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出DG的长度．
【例题 4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，D为BC上一点，将△ADC绕点A逆时针旋转90°，D的对应点为D′，则∠D′BC=_______°．
【问题探究】
（2）如图②，△ABC为等边三角形，D，E为边BC上的点，已知CE=BD=2，∠DAE=30°，求△ABC的边长．
【问题解决】
（3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地△ABC，用来种植花卉，如图③，其中∠ABC=45°，D为AC边上一点，E为BC边上一点，BD,DE是规划过程中修建的两条小路，要求AD=122m，∠ADB=45°，DE⊥AC，且DE=92m．现计划在四边形ABED区域内种植三色堇，在△DEC区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/m2，种植石竹的费用为40元/m2，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计）
【例题 5】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点D在BC上，点E在AC上时，则△AEM的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当△CDE绕点C顺时针旋转至图②的位置时，此时点E在线段BC的延长线上，请判断△AEM的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若CD=12BC，将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α0