沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）24.3 平移与轴对称优秀同步达标检测题

这是一份沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）24.3 平移与轴对称优秀同步达标检测题，共9页。

课程目标 · 精准把握学习方向
理解并掌握 平面直角坐标系中点的平移规律（左减右加，上加下减）。
熟练掌握 点关于坐标轴、原点对称的坐标特征，并能灵活运用。
能运用 平移和对称解决几何图形变换问题，如平行四边形顶点坐标、线段长度最值等。
体会 数形结合思想，通过坐标系将几何变换代数化。
✨ 核心规律：
平移：(x,y) → (x±a, y±b)
对称：关于x轴对称(x,-y)；关于y轴对称(-x,y)；关于原点对称(-x,-y)
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 点的平移
向右平移a个单位：(x, y) → (x + a, y)
向左平移a个单位：(x, y) → (x - a, y)
向上平移b个单位：(x, y) → (x, y + b)
向下平移b个单位：(x, y) → (x, y - b)
图形平移：图形上所有点作相同平移，对应点连线平行且相等。
☆ 点的对称
·关于x轴对称
原坐标 (x,y) → (x,−y) 例：(2,3) → (2,−3)
·关于y轴对称
原坐标 (x,y) → (−x,y) 例：(2,3) → (−2,3)
·关于原点对称
原坐标 (x,y) → (−x,−y) 例：(2,3) → (−2,−3)
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标相反 →(x, -y)
关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标相反 →(-x, y)
关于原点对称：横纵坐标均相反 →(-x, -y)
关于直线x = m对称：横坐标满足 x₁ + x₂ = 2m；纵坐标不变。
关于直线y = n对称：纵坐标满足 y₁ + y₂ = 2n；横坐标不变。
☆ 平移与对称规律速查表
☆ 中点坐标公式
若 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)，则 AB 的中点坐标为 。
☆ 两点间距离公式
AB = 。当AB∥x轴时，AB = |x₁ - x₂|；
当AB∥y轴时，AB = |y₁ - y₂|。
☆ 平移与对称综合应用
利用平移构造平行四边形：已知三点求第四点，可将其中一点平移至对应点。
将军饮马模型：通过对称将折线段转化为直线段求最值。
函数图象的对称：点对称可推广到曲线（如直线、抛物线）关于坐标轴对称、原点对称。
核心考点 · 13类题型精讲
【考点1】坐标系中的平移
❤ 知识点/方法
平移的性质：图形平移前后对应点连线平行且相等，平移只改变位置，不改变形状和大小。
平行四边形与平移：已知三角形三个顶点，求第四个顶点构成平行四边形，可利用“一组对边平行且相等”通过平移计算（分类讨论以不同边为对角线）。
平移距离：两点横坐标差或纵坐标差决定平移量。
1．（21-22八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A(2,3)，B(−2,0)，C(0,−1)，那么在这个坐标系中以A，B，C，D为顶点画一个平行四边形，D点的坐标为______．
【答案】(0,4)或(4,2)或(−4,−4)
【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标系中的平移
【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想．
根据平行四边形的性质和平移的性质，分三种情形即可解决问题．
【详解】解：△ABC的顶点坐标分别为A(2,3)，B(−2,0)，C(0,−1)，
当AB为▱ABCD的对角线时，AC平移到BD1，根据平移规律可得D10,4，
当AC为▱ABCD的对角线时，AB平移到CD2，根据平移规律可得D24,2，
当BC为▱ABCD的对角线时，AB平移到CD3，根据平移规律可得D3−4,−4．
故答案为：(0,4)或(4,2)或(−4,−4)．
2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为1,2，4,0，将△AOB沿x轴负方向平移后，得到△CDE．若BD=6，则点A的对应点C的坐标是_____ ．
【答案】−1，2
【知识点】利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标、坐标系中的平移
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键．
直接利用点平移的变化规律求解即可．
【详解】解：∵△AOB的顶点A，B的坐标分别为1,2，4,0，BD=6，
∴OD=2，
∴点A平移至点C的坐标为−1，2，
故答案为：−1，2．
【考点2】坐标系中的动点问题（不含函数）
❤ 知识点/方法
动点坐标表示：用时间 t 表示点的坐标（如 P(t,0) 或 P(0, t)）。
距离最短：垂线段最短；构造直角三角形用勾股定理。
全等三角形存在性：根据全等条件列方程求解。
新定义问题：理解“最佳间距”等新概念，转化为距离计算。
3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，点A的坐标为−1,0，点B在第一、三象限的角平分线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．0,0B．22,−22C．−12,−12D．−22,−22
【答案】C
【知识点】垂线段最短、坐标系中的动点问题（不含函数）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，由题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC ⊥ x轴，垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC= 12，由此即可确定出点B的坐标．
【详解】解：过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，
∵点B在第一、三象限的角平分线上运动，即点B在直线y=x上运动，
∴∠AOB=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴垂足为C，
则点C为OA的中点，
则OC=BC= 12，
由作图可知B在x轴下方，y轴的左方，
∴横坐标为负，纵坐标为负，
所以当线段AB最短时，点B的坐标为−12,−12，
故选：C．
4．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，OA=6，OC=4，点Q在线段OA上运动，当△OCQ与△BAQ全等时，点Q的坐标为（ ）
A．2,0B．4,0C．2,0或4,0D．3,0
【答案】D
【知识点】全等三角形的性质、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
分两种情况根据全等三角形的性质作答即可．
【详解】解：∵四边形OABC是长方形，OA=6，OC=4，
∴OA=CB=6，OC=AB=4，
当△OCQ与△BAQ全等时，△OCQ≌△AQB或△OCQ≌△ABQ，
当△OCQ≌△AQB时，OQ=AB=4，但此时AQ=2≠OC；
当△OCQ≌△ABQ时，OQ=AQ=12OA=3，即点Q的坐标为3,0；
故选：D．
5．（25-26八年级上·广东深圳·月考）定义：在平面直角坐标系中，已知点P1a,b，P2c,b，P3c,d，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”．例如：如图，点−1,2，1,2，1,3的“最佳间距”是1．
(1)理解：点Q12,1，Q25,1，Q35,5的“最佳间距”是______；
(2)探究：已知点O0,0，A−4,0，B−4,y y≠0．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
【答案】(1)3
(2)①y=±2；②4
【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标系中描点、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键．
（1）分别计算出Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的长度，比较得出最小值即可；
（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB>OA，OB>AB，由于“最佳间距”为2，故AB=2，即可求解y的值；
②由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，当OA≤AB时，“最佳间距”为OA=4，当OA>AB时，“最佳间距”为AB4或y4，
点O，A，B的“最佳间距”是OA=4，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为4．
【考点3】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
❤ 知识点/方法
直接应用平移法则：左减右加，上加下减。
已知平移前后坐标求平移量：坐标差即为平移量。
与函数结合：平移后点落在某函数图象上，代入解析式求解。
6．（20-21八年级下·上海·期中）如图：四边形OABC是平行四边形，点A5,0，点C3,b，如果OB⊥AC，那么点B的坐标是______________ ．
【答案】8,4
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】连接AC、BD，作CD⊥x轴于D，先证明平行四边形OABC是菱形，得到OC=OA=BC=5，再根据勾股定理求出b=4，根据平行四边形性质即可求解．
【详解】解：如图，连接AC、BD，作CD⊥x轴于D，
∵OB⊥CA，
∴平行四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=BC=5，
∵点C坐标为(3,b) ，
∴在Rt△OCD中，b=OC2−OD2=52−32=4，
∴点C坐标为（3,4），
∵四边形OABC是平行四边形，且BC=5，
∴点B坐标为8,4．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，平面直角坐标系中点的平移等知识，根据题意得到平行四边形OABC是菱形，进而求出b=4是解题关键．
7．（20-21八年级上·四川成都·期末）平面直角坐标系中，点A坐标为23,3，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数y=−23x的图象上，则a的值为__________．
【答案】532
【知识点】正比例函数的性质、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(23-a，3)，代入y=−23x计算即可．
【详解】解：∵A坐标为(23，3)，
∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(23-a，3)，
∵恰好落在正比例函数y=−23x的图象上，
∴−2323−a=3，
解得：a=532．
故答案为532．
【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．．
8．（25-26八年级上·全国·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标（点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1）；
(2)将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图中画出这条对称轴．
【答案】(1)见详解，A10,4,B12,2,C11,1
(2)见详解，A26,4,B24,2,C25,1
(3)见详解
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形变化——轴对称、平移(作图)、画轴对称图形
【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．
（1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可；
（2）根据平移的性质画图即可；
（3）根据对称轴的性质画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A10,4,B12,2,C11,1；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，A26,4,B24,2,C25,1；
（3）解：如图所示，是关于直线m:x=3成轴对称，如图即为所求．
【考点4】由平移方式确定点的坐标
❤ 知识点/方法
给定平移方式：直接对已知点坐标进行加减。
组合平移：先左右再上下，或先上下再左右，结果相同（可交换）。
利用面积：结合三角形面积公式求点坐标。
9．（21-22七年级下·上海·单元测试）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（﹣2，﹣3）
(1)图中点C的坐标是_______．
(2)点C关于x轴对称的点D的坐标是_______．
(3)如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移2个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是_______．
(4)图中△ACD的面积是_______．
【答案】(1)2,−3
(2)2,3
(3)7
(4)6
【知识点】由平移方式确定点的坐标、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；
（3）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案；
（4）根据三角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：图中点C的坐标是（2，﹣3）．
（2）点C关于x轴对称的点D的坐标是（2，3）．
（3）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移2个单位得到点B'（﹣2+2，﹣3），即（0，﹣3），那么A、B'两点之间的距离是：4﹣（﹣3）＝7．
（4）图中△ACD的面积＝12×6×2=6．
故答案为：（1）（2，﹣3）；（2）（2，3）；（3）7；（4）6．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为−1,0，3,0．现将线段AB向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段CD，连接AC，BD．
(1)点D的坐标为______；
(2)在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB=2，求点P的坐标．
【答案】(1)4,2
(2)点P的坐标为0,1或0,−1
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合
【分析】（1）根据平移方式结合平移的性质可得点D的坐标；
（2）利用三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：将点B3,0向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为3+1=4，纵坐标为0+2=2，即D4,2；
（2）设点P的坐标为0,y，则PO=y，
∵AB=3−−1=4，S△PAB=2，
∴S△PAB=12×4×y=2，
∴y=1，
解得y=±1，
∴点P的坐标为0,1或0,−1．
11．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点A−1,0，B0,3，将线段AB平移至线段CD（点A与C对应，点B与D对应），且点D坐标为6,0．
(1)求点C的坐标．
(2)若点P在x轴上，且△APB的面积是△PCD面积的2倍，求P点坐标．
【答案】(1)5,−3
(2)113,0或13,0
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键．
（1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标；
（2）设点P的坐标为m,0，则AP=m+1，DP=m−6，根据三角形的面积公式可得方程12×3m+1=3m−6，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为0,3，点D坐标为6,0，
∴平移方式为向右平移6−0=6个单位长度，向下平移3−0=3个单位长度，
∵点A的坐标为−1,0，
∴点C的坐标为−1+6,0−3，即5,−3；
（2）解：设点P的坐标为m,0，
∴AP=m−−1=m+1，DP=m−6，
∵△APB的面积是△PCD面积的2倍，
∴12AP⋅OB=2⋅12DP⋅−yC，
∴12×3m+1=3m−6，
解得m=13或m=113，
∴点P的坐标为113,0或13,0．
【考点5】已知点平移前后的坐标，判断平移方式
❤ 知识点/方法
平移向量：新坐标减原坐标即得平移量（右正左负，上正下负）。
整体平移：图形上所有点作相同平移，对应点坐标变化一致。
编队移动：飞机编队保持队形，各点平移方式相同。
12．（22-23七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，如果将点P2,−3进行平移后得到点Q2−2,−3，则平移方法是______．
【答案】向左平移2个单位
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】根本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键．
据点坐标的平移变换规律即可得．点坐标的平移变换规律：将点A(a,b)向右（或向左）平移k个单位长度，得到点A′的坐标为A′(a+k,b)（或A′(a−k,b)）；将点A(a,b)向上（或向下）平移k个单位长度，得到点A″的坐标为A″(a,b+k)（或A″(a,b−k)）．
【详解】解：∵2−2−2=−2
∴将点P2,−3向左平移2个单位后，得到点Q2−2,−3，
故答案为：向左平移2个单位．
13．（22-23七年级下·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，△ABC经过平移，其顶点A2,−1 的对应点A1的坐标是−2,3，那么其内部任意一点Dx,y的对应点D1的坐标一定是（ ）
A．−x,−yB．−x,y+4C．x−4,y+4D．x+4,y−4
【答案】C
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】先由点A的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可．
【详解】解：∵△ABC的顶点A坐标是A2,−1，经平移后，得到其对应点A1 −2,3，
∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位，
∴△ABC的内部任意一点Dx,y，则其对应点D1坐标一定是x−4,y+4．
故选：C．
【点睛】此题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
14．（25-26八年级下·全国·周测）如图，点A，B的坐标分别为2,0，0,1．若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为________．
【答案】2
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为2,0，0,1，若将线段AB平移至A1B1的位置，
又∵点A1，B1的坐标分别为3,b，a,2
∴将线段AB平移至A1B1时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴a=0+1=1，b=0+1=1，
∴a+b=1+1=2，
故答案为：2．
15．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为A4,−2，B2,−5，C6,−5．1min后，飞机A飞到A′位置，此时飞机B，C分别飞到B′，C′位置．
(1)请在图中标出B′，C′位置点；
(2)写出这三架飞机在新位置的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)A′4,7，B′2,4，C′6,4
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了点的平移．
（1）根据A到A′坐标的变化求出平移方式，进而标出B′，C′位置点即可；
（2）直接根据平面直角坐标系作答即可．
【详解】（1）解：由图可知，A4,−2移动后到达A′4,7，即向上平移了9个单位，
作图如下：
（2）解：由平面直角坐标系可知，A′4,7，B′2,4，C′6,4．
【考点6】已知图形的平移，求点的坐标
❤ 知识点/方法
整体平移：图形上所有点作相同平移，对应点坐标变化一致。
利用面积：平移后图形面积不变，可结合面积列方程求坐标。
中点坐标法：平移前后对应点连线中点即为平移向量的一半？实际上对应点连线向量相等。
16．（20-21七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．(3,4)B．(3,−4)C．(−3,−4)D．(−3,4)
【答案】C
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可求解
【详解】解：∵将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，
∴a+3=0,b+4=0，
∴a=−3,b=−4，
∴点A的坐标是(−3,−4)，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
17．（20-21八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,3,△OAB沿坐标轴方向平移后得到△O′A′B′（点O、A、B的对应点分别为O′、A′、B′），如果点A′是直线y=x−2上一点，那么线段O′A的长为________．

【答案】32或52/52和32
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】根据△OAB沿轴平移到△O′A′B′，点A与点A′对应，点A′是直线y=x−2上一点，可分类讨论，设当A′(a,3)，即△OAB沿x轴向右平移，且点A′是直线y=x−2上一点；设当A′(1,b)，即△OAB沿x轴向下平移，且点A′是直线y=x−2上一点；根据平移的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：点A(1,3)，△OAB沿轴平移到△O′A′B′，点A与点A′对应，
∴设当A′(a,3)，即△OAB沿x轴向右平移，且点A′是直线y=x−2上一点，
∴a−2=3，解得，a=5，
∴△OAB沿x轴向右平移4个单位长度到△O′A′B′，如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，连接O′A，

∴O′(4,0)，
∴O′D=4−1=3，AD=3，
在Rt△AO′D中，O′A=AD2+O′D2=32+32=32；
设当A′(1,b)，即△OAB沿x轴向下平移，且点A′是直线y=x−2上一点，
∴b=1−2=−1， 即A′(1,−1)，
∴△OAB沿x轴向下平移4个单位长度到△O′A′B′，如图所示，过点A作AE⊥y轴于点E，连接O′A，

∴O′(0,4)，
∴O′E=OE+O′O=3+4=7，AE=1，
在Rt△AEO′中，O′A=AE2+O′E2=12+72=52；
综上所述，线段O′A的长为32或52，
故答案为：32或52．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，勾股定理的运用是解题的关键．
18．（2025八年级上·上海·专题练习）已知点N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好落在原点上，则点N的坐标为________．
【答案】(2,3)
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，根据坐标平移规律，向左平移横坐标减少，向下平移纵坐标减少，平移后点落在原点，列出方程求解．
【详解】解：设点N的坐标为(x,y)，向左平移2个单位长度，横坐标变为x−2；向下平移3个单位长度，纵坐标变为y−3，平移后点落在原点(0,0)，因此有：
x−2=0，y−3=0，
解得x=2，y=3，
∴点N的坐标为(2,3)．
故答案为：(2,3)．
19．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知点A−4,0，B−1,0．将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为________．
【答案】3,3
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了坐标系中的平移和平行四边形面积公式，熟练掌握找出对应点坐标的方法是解题的关键．
先求AB的长度，再根据平行四边形面积公式求点C的坐标，最后根据平移的性质求出点D的坐标即可．
【详解】解：∵点A−4,0，B−1,0，
AB=3，AO=4．
设点D的纵坐标为a．
∵四边形ABCD的面积为9，
∴3a=9，
解得a=3，
∴点D的坐标为0,3，
∵点A到点D是先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点B到点C也是先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点C的坐标为−1+4,0+3，即3,3；
故答案为：3,3．
【考点7】已知平移后的坐标求原坐标
❤ 知识点/方法
逆平移：反向平移即得原坐标。例如向右平移a得新点，则原坐标 = 新坐标向左平移a。
列方程：设原坐标(x,y)，根据平移规则列出方程组求解。
20．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点m,n先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是−4,3，则m，n的值分别是________．
【答案】−2，2
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解
【详解】解：∵点 (m,n)先向左平移2个单位长度，横坐标减少2，变为 m−2；再向上平移1个单位长度，纵坐标增加1，变为n+1，
∴平移后点坐标为m−2,n+1，
∵与给定点(−4,3)相等，
∴m−2=−4，n+1=3
解得 m=−2，n=2
故答案为：−2，2．
21．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点A向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是(1,7)，则可确定点A的坐标是（ ）
A．(−1,−4)B．(−2,4)C．(−1,4)D．(4,4)
【答案】C
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可．
【详解】解：把点(1,7)向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A的坐标为(1−2,7−3)，即为(−1,4)，
故选：C．
22．（25-26八年级上·安徽池州·月考）已知点Pm−1,n．
(1)当m，n满足怎样的条件时，点P在第二象限？
(2)若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′2,−1，求m，n的值．
【答案】(1)当m0时，点P在第二象限；
(2)m=0,n=3
【知识点】求一元一次不等式的解集、已知点所在的象限求参数、已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出m−10，求解即可得出结果；
（2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵点Pm−1,n在第二象限，
∴m−10，
解得m0，
即当m0时，点P在第二象限；
（2）解：∵点Pm−1,n先向下平移4个单位长度，纵坐标变为n−4；再向右平移3个单位长度，横坐标变为m−1+3=m+2，得到点P′2,−1，
∴m+2=2,n−4=−1，
解得：m=0,n=3．
【考点8】坐标系中的对称
❤ 知识点/方法
关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数。
关于原点对称：横纵坐标均互为相反数。
关于直线对称：如关于直线 x=a 对称，则两点横坐标满足 x₁+ x₂ = 2a；
关于 y=b 对称，纵坐标满足 y₁ + y₂ = 2b。
折叠问题：利用对称构造全等三角形，结合勾股定理求解。
23．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知P−2,3关于x轴的对称点为Qa,−3，则a的值是（ ）
A．1B．−5C．3D．−2
【答案】D
【知识点】坐标系中的对称
【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵P−2,3关于x轴的对称点为Qa,−3，
∴横坐标不变，即a=−2．
故选：D．
24．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如果点P关于x轴的对称点为a,−1，关于y轴的对称点为−2,b，则点P的坐标为（ ）
A．a,−bB．a,bC．2,1D．−1,−2
【答案】C
【知识点】坐标系中的对称
【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键．
根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值．
【详解】解：设点P的坐标为x,y，
∵点P关于x轴的对称点为a,−1，
∴y=−(−1)=1；
∵关于y轴的对称点为−2,b，
∴x=−(−2)=2，
∴点P的坐标为2,1．
故选：C．
25．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线OE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点C恰好落在边AD上的点F处，若点D的坐标为4,5，则点E的坐标为______．
【答案】52,5
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、坐标系中的对称
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到OA=CD=4，
OC=AD=OF=5，根据勾股定理，得到AF=OF2−OA2=3，DF=AD−AF=2，设CE=EF=x，则DE=CD−CE=4−x，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：∵长方形AOCD沿直线OE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点C恰好落在边AD上的点F处，点D的坐标为4,5，
∴OA=CD=4，OC=AD=OF=5，
∠D=∠A=90°，CD∥x轴，
∴AF=OF2−OA2=3，DF=AD−AF=2，
设CE=EF=x，
则DE=CD−CE=4−x，Ex,5，
∴x2=4−x2+22，
解得x=52，
故E52,5，
故答案为：52,5．
【考点9】坐标与图形变化——轴对称
❤ 知识点/方法
作轴对称图形：求出各顶点关于对称轴的对称点，再连线。
轴对称与最值：利用将军饮马模型，通过对称将折线段转化为直线段。
轴对称与全等：对称图形全等，可用于证明线段相等、角相等。
多次对称：连续两次对称可转化为平移或旋转。
26．（25-26八年级·上海·假期作业）（1）点A−2,3关于x轴对称的点在第 象限，坐标是 ；
点B4,−23关于y轴对称的点在第 象限，坐标是 ；
点C−12,−2.5关于原点对称的点在第 象限，坐标是 ．
（2）如果一个点关于x轴对称的点的坐标是3,−8，那么这个点的坐标是 ．
（3）如果点Am+1,−2与B3,5−n关于y轴对称，那么m+n= ．
（4）如果点A−2,3.5关于x轴的对称点是点A1，点A1关于y轴的对称点是点A2，那么点A2的坐标是 ．
【答案】（1）三，−2,−3，三，−4,−23，一，12,2.5；（2）3,8；（3）3；（4）2,−3.5
【知识点】判断点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查点的对称变换，包括关于坐标轴和原点的对称，以及象限判断。
（1）根据对称规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号；关于原点对称，横纵坐标均变号，再根据坐标符号判断象限即可；
（2）关于x轴对称的点纵坐标相反，横坐标不变；
（3）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，列方程求解；
（4）先求关于x轴的对称点，再求其关于y轴的对称点；
【详解】解：（1）点A−2,3关于x轴对称的点为−2,−3；横坐标为负，纵坐标为负，在第三象限；
点B4,−23关于y轴对称的点：纵坐标不变，横坐标变号，得−4,−23；
横坐标为负，纵坐标为负，在第三象限；
点C−12,−2.5关于原点对称的点：横纵坐标均变号，得12,2.5；
横坐标为正，纵坐标为正，在第一象限；
故答案为：三，−2,−3，三，−4,−23，一，12,2.5；
（2）设Px,y，其关于x轴对称的点为3,−8，
则x=3，y=8（因为纵坐标相反），故P3,8；
故答案为：3,8；
（3）点Am+1,−2与点B3,5−n关于y轴对称，
则横坐标互为相反数，纵坐标相等：
∴ m+1=−3−2=5−n，
解得：m=−4，n=7，
故m+n=3；
故答案为：3；
（4）点A−2,3.5关于x轴对称的点A1：横坐标不变，纵坐标变号，得A1−2,−3.5，
点A1关于y轴对称的点A2：纵坐标不变，横坐标变号，得A22,−3.5．
故答案为：2,−3.5．
27．（25-26八年级上·上海·月考）平面内四个点A3,5、B0,y、Cx,0、D5,1将他们顺次联结，则折线AB+BC+CD的最小值为________．
【答案】10
【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称、两点之间线段最短
【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点坐标与轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键﹒作点A3,5关于y轴的对称点E−3,5，作点D5,1关于x轴的对称点F5,−1，根据轴对称的性质可得EB=AB，CF=CD，则AB+BC+CD=EB+BC+CF，再根据两点之间线段最短可得当点E,B,C,F共线时，EB+BC+CF的值最小，最小值为EF的长，由此即可得﹒
【详解】解：如图，作点A3,5关于y轴的对称点E−3,5，作点D5,1关于x轴的对称点F5,−1，

∴EB=AB，CF=CD，
∴AB+BC+CD=EB+BC+CF，
由两点之间线段最短可知，当点E,B,C,F共线时，EB+BC+CF的值最小，最小值为EF=5+32+−1−52=10，
∴折线AB+BC+CD的最小值为10﹒
故答案为：10﹒
28．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）点M3,−4关于x轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】 3,4 −3,4
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的对称变换，解题的关键是准确记忆并应用不同对称变换下点的坐标变化规律；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，根据已知点M3,−4分别求解即可．
【详解】①点M3,−4关于x轴对称时，横坐标不变为3，纵坐标取相反数4；
故点M关于x轴对称点坐标为3,4．
②关于原点对称时，横坐标取相反数为−3，纵坐标取相反数为4；
故点M关于原点对称点坐标为−3,4．
故答案为：3,4，−3,4．
29．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为a−b,−3a，点B的坐标为3a−b,a+b+5．已知点A′与点A关于x轴对称，点B′与点B关于y轴对称，△AA′B′是一个等腰直角三角形且∠A=90°，则点A的坐标为_______．
【答案】−103,5
【知识点】等腰三角形的性质和判定、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质，点的坐标特征，由题意可得A′a−b,3a，B′b−3a,a+b+5，从而可得AA′=−6a，由等腰直角三角形的定义可得A、B、B′的纵坐标相等，AA′=AB′，从而得出a+b+5=−3a①，−6a=2b−4a②，联立①②求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点A′与点A关于x轴对称，点B′与点B关于y轴对称，点A、点B均在第二象限，
∴A′a−b,3a，B′b−3a,a+b+5，
∴AA′=−3a−3a=−6a，
点A与点A′关于x轴对称，
故线段AA′垂直于x轴。
又因△AA′B′是直角三角形且∠A=90∘，
故AB′垂直于AA′，
即AB′平行于x轴，
所以点A与点B′的纵坐标相等，
∴a+b+5=−3a①，
∵Aa−b,−3a，B′b−3a,a+b+5，A、B、B′的纵坐标相等，
∴AB′=b−3a−a−b=2b−4a，
∴−6a=2b−4a②，
联立①②解得：a=−53，b=53，
∴a−b=−53−53=−103，−3a=−3×−53=5，
∴A−103,5，
故答案为：−103,5．
30．（24-25八年级下·上海·期中）在△ABC中，点A的坐标为0,1、点B的坐标为4,1，点C的坐标为4,3，要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等（C与D不重合），则点D的坐标为______________．
【答案】4,−1
【知识点】全等三角形的性质、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质等知识，根据题意可得△ABC与△ABD关于直线AB成轴对称，据此即可求出D的坐标．
【详解】解：∵以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等（C与D不重合），
∴△ABC与△ABD关于直线AB成轴对称，
∴C与D关于直线AB成轴对称，
由题意可得直线AB为y=1，
∵C的坐标为4,3
∴D的坐标为4,−1，
故答案为：4,−1
【考点10】求关于原点对称的点的坐标
❤ 知识点/方法
直接取相反数：(x,y) 关于原点对称点为 (−x,−y)。
与平移结合：可先通过平移得到某点，再求对称点。
与函数结合：利用对称点求反比例函数解析式等。
31．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点A4,−3和点B−4,3的说法错误的是（ ）．
A．点A在第四象限，点B在第二象限
B．点A和点B关于原点对称
C．点A先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点B
D．两点间的距离是10
【答案】C
【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标系中的平移、判断点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键．
根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D．
【详解】解：∵xA=4>0，yA=−3