初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）23.4 三角形的中位线与重心优秀练习

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）23.4 三角形的中位线与重心优秀练习，共9页。

课程目标
理解并掌握 三角形中位线的定义、性质与判定方法
理解并掌握 三角形重心的概念、性质及其与中线的联系
熟练运用 中位线定理和重心性质解决线段、角度、面积问题
掌握 中点四边形、特殊平行四边形中的中位线应用
体会 构造中位线、利用重心转化线段的思想方法
✨ 核心思想：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；重心将中线分成2:1两部分
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 三角形中位线定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
☆ 三角形中位线定理
中位线平行于第三边
中位线等于第三边的一半
三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形
☆ 重心定义
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
☆ 重心性质
重心将每条中线分成2:1的两部分（顶点到重心:重心到对边中点）
重心与三角形顶点的连线将三角形分成面积相等的六个小三角形
重心到三角形顶点的距离平方和最小等性质
☆ 中点四边形
顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形
若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形
若原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形
核心考点 · 11类题型精讲
【考点1】与三角形中位线有关的求解问题
❤知识点/方法
中位线定理：DE∥BC且DE=½BC，用于求线段长、角度、面积。
构造中位线：已知中点时，连接中点构造中位线，转化线段关系。
综合应用：结合等腰三角形、直角三角形、全等三角形求解。
中点+平行：有中点和平行时，可构造中位线或全等三角形。
（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD，且EG·HF=16 ，则四边形EFGH的面积为________．
（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB=90°，AD=DF，若AB=10，BC=18，则EF的长为______．
（24-25九年级上·上海·月考）如图，已知平行四边形AD=BC=5,AB=CD=6,AB∥CD中AD=5,AB=6，E为AB的中点，DE⊥AB，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于________．
（24-25八年级上·上海·期中）如图，AD∥BC，点E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
(1)求证：AD=BF；
(2)当点G是FC的中点时，判断△FDC的形状．
【考点2】与三角形中位线有关的证明
❤知识点/方法
·证明线段相等：利用中位线等于第三边的一半，结合已知条件证明。
·证明线段平行：中位线平行于第三边，常用于证明平行四边形。
·证明角相等：由平行线性质得到角相等。
·构造辅助线：取中点构造中位线，转移线段或角度。
（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，连接AC．
(1)求证：四边形ACHE是平行四边形；
(2)连接CE，如果CE=AE，求证：四边形ACFG是矩形．
（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，联结EG、FH．
(1)求证：AG=CH；
(2)当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形．
（2025·上海崇明·二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD ∥BC，BC=2AD,E、F分别是AB、BC边的中点，BD与EF相交于点G．
(1)求证：BG=GF；
(2)连接AG、AF，当AG=GF时，求证：四边形AFCD是菱形．
（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设AB、BC的中点分别为M、N，如果MN=3米，那么AC=__________米．
【考点3】三角形中位线的实际应用
❤知识点/方法
·测量问题：利用中位线性质测量不可直接到达的两点距离。
·几何构图：在复杂图形中识别或构造中位线，简化问题。
·中点+平行：通过中点和平行线构造平行四边形或全等三角形。
（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
（23-24九年级上·上海虹口·月考）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，若PD=1，则QE=______．

（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是△ABC的重心，如果AB=10，那么点C与点O的距离为__________．
【考点4】重心的概念
❤ 知识点/方法
·重心定义：三条中线的交点，常用字母G表示。
·重心与中线：重心将每条中线分成2:1的两段。
·重心与面积：重心与顶点连线将三角形分成面积相等的六个小三角形。
（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是△ABC的重心，S△ABC=12，那么S△GBD=______．

（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等边三角形ABC边长为1，点D，E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD=BE=CF=1，连接DE，EF，FD，EC．给出下面四个结论中正确的是（ ）
①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；③△ABC的面积为与△DEF面积之比为1:6；④△DEF的外心与△ABC的外心重合．
A．①②B．③④C．①②④D．①②③④
（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为△ABC的重心，则DGAG=______．
（25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在 △ABC 中，O 是 △ABC 的重心，分别连接 OA、OB 和 OC．求证： S△OAB=S△OBC=S△OAC．
【考点5】重心的有关性质
❤知识点/方法
·线段比例：AG:GD=2:1，BG:GE=2:1，CG:GF=2:1。
·面积比例：S△GBC = S△GCA = S△GAB = 1/3 S△ABC。
·重心+勾股：在直角三角形中，结合重心和中线求线段长。
·重心+中位线：重心与中位线结合，构造平行四边形或三角形。
（25-26九年级上·上海·期中）如图，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点D，连接CG，则S△CDG:S△ABC=________．
（25-26八年级上·上海·月考）如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG=4，那么S△ABC=__________．
（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，点E为边CB上一点（点E不与点C、B重合），连接AE交CD于点F，将△ABC沿AE所在直线翻折，使得点C落在点H处，如果点F是△ABC的重心且EH∥CD，那么ACBC的值是___________．
【考点6】中点四边形
❤知识点/方法
中点四边形形状：与原四边形对角线有关。
对角线相等：中点四边形是菱形。
对角线垂直：中点四边形是矩形。
对角线相等且垂直：中点四边形是正方形。
周长与面积：中点四边形周长等于原四边形对角线之和，面积为原四边形面积的一半（当原四边形对角线垂直时）。
（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点E、F、G、H分别为菱形ABCD四边AB、BC、CD、AD的中点，如果AB=4，∠ADC=60°，那么四边形EFGH的面积为________．
（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形ABCD)，工人师傅准备连接窗户各边中点E、F、G、H来制作精美的装饰边框，如果他们测得边AB的长为1米，边BC的长为2.4米，那么四边形EFGH的周长为________米．
（18-19八年级下·上海静安·月考）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若对角线AC、BD的长都是20cm，则四边形EFGH的周长是_________cm．
（21-22八年级下·上海长宁·期末）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为________．
【考点7】利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积
❤知识点/方法
对称性：矩形、菱形、正方形是中心对称图形，利用对称性转化面积。
全等三角形：证明三角形全等，将阴影部分面积转化为规则图形面积。
面积和差：用整体减部分求阴影面积。
（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CB=2AC=4，将△ABC沿CB方向平移，得到△DEF，连接AD．若AC=BF，则阴影部分的面积为________．
（21-22八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积是5．求正方形ABCD的面积．

（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点E，F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形EGFH的顶点H，G和边FG，EH的中点M，N，已知菱形EGFH的面积为S，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含S的代数式表示）
【考点8】(特殊)平行四边形的动点问题
❤知识点/方法
方程思想：设未知数，利用平行四边形性质列方程。
分类讨论：点在不同位置时分别求解。
全等三角形：证明全等得到线段相等。
勾股定理：在直角三角形中求线段长。
（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t秒．
(1)求证：当t=32时，四边形APQD是平行四边形；
(2)PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
(3)若△DPQ是以PD为腰的等腰三角形，求t的值．
（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，已知P，Q两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形？

（24-25八年级下·天津南开·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=16，BC=21，CD=13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为_____秒．
【考点9】四边形中的线段最值问题
❤知识点/方法
将军饮马模型：利用对称将折线转化为直线，两点之间线段最短。
垂线段最短：点到直线垂线段最短。
三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
矩形对角线相等：转化线段。
（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB上的一点，AE=3，EB=1，P为AC上的一点，连接EP，BP．求EP+BP的最小值．
（21-22八年级下·重庆潼南·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC=22，则EF的长的最小值为（ ）
A．2B．1C．2D．22
（2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为______．
【考点10】四边形其他综合问题
❤知识点/方法
折叠问题：折叠前后对应边相等，对应角相等。
旋转问题：旋转前后图形全等。
全等三角形：证明全等得到线段相等、角相等。
勾股定理：在直角三角形中求线段长。
分类讨论：存在多种情况时分别求解。
（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将ΔABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，连接DE．
(1)如图2，如果∠B=90°,AB=2,BC=3，求△OAC的面积；
(2)如图1，若AE不平行于CD，求证：四边形AEDC是等腰梯形；
(3)如果∠B=30°，AB=6，当△AED是直角三角形时，求BC的长．
（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD