23.3 矩形、菱形、正方形 第一课时 矩形（教学课件）-2025-2026学年八年级数学下册（沪教版五四制2024）

23.3 矩形、菱形、正方形 新教材沪教版五四制·八年级下册第一课时：矩形 第二十三章 四边形学 习 目 标123体会由平行四边形过渡到矩形的特殊化过程，理解矩形性质与判定的区别和联系，体会特殊与一般思想、转化思想.掌握矩形的核心性质与判定定理，会运用判定证明矩形、运用性质解决计算问题，培育数学运算与逻辑推理素养.理解矩形定义与性质、判定的关联，能从实际场景中提炼矩形模型，提升建模与综合应用能力.学习过程0103021 矩形的性质3 题型讲解2 矩形的判定情境引入 一般地，四个角是直角的四边形叫做矩形（也叫长方形）新知探究1.矩形形的定义：四个角是直角矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还有自身的特殊性质性质1：矩形的四个角都是直角。（即：∠A=∠B=∠C=∠D=90°） 性质2：矩形的两组对边分别平行且相等。（即：AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC）性质3：矩形的对角线相等。（即：AC=BD）性质4：由于平行四边形是中心对称图形，因此矩形也是中心对称图形，其两条对角线的交点是对称中心。新知探究2.矩形的性质：矩形的定义平行四边形的性质 请同学们拿出准备好的矩形纸片，完成以下操作：1. 用直尺测量矩形的两组对边，对角线以及四个角，并记录；2. 将矩形纸片沿其两条对角线剪开，得到四个三角形，观察四个三角形的关系新知探究通过操作我们发现：1、矩形的对角线互相平分且相等，即对角线的交点是两条对角线的中点，且分得的四条线段都相等2、矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形，且四个等腰三角形的面积相等。新知探究对比平行四边形与矩形的性质：新知探究如图，一个矩形窗框ABCD，对角线AC、BD相交于点O。为了使它稳固，工人师傅通常会在窗框上钉一根木条，你认为这根木条应该钉在哪里？为什么？小试牛刀ACBDO木条应钉在A、C两点之间（或B、D两点之间）。小试牛刀理由一:三角形具有稳定性将矩形分割为两个三角形，利用三角形的稳定性防止窗框变形。理由二:矩形对角线的性质矩形对角线相等且互相平分(AC=BD)，钉上的木条也等于对角线长度。学习过程0103021 矩形的性质3 题型讲解2 矩形的判定新知探究3.矩形的判定：思考 如何证明平行四边形是矩形？矩形的四个角有什么关系？我们可以利用矩形的性质反推矩形的判定矩形的两条对角线有什么关系？新知探究 判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。符号表示：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形。 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。符号表示：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形。证明：∵四边形 ABCD 是一个平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D由多边形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=90°，∴∠C=90°，2∠B=180，∠A=∠B=∠C=∠D=90由矩形的定义，得平行四边形ABCD是一个矩形新知探究如图所示，已知:在平行四边形ABCD中，∠A=90°，求证:平行四边形 ABCD是一个矩形学习过程0103021 矩形的性质3 题型讲解2 矩形的判定题型讲解例1.下列说法中正确的是（ 　）A. 有一个角是直角的四边形是矩形B. 四边相等的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形D. 对角线相等的平行四边形是矩形D【分析】 根据矩形的定义及判定定理，逐一验证每个选项的说法是否符合矩形的判定条件，从而确定正确选项【解析】解：选项A：矩形的定义是有一个角是直角的平行四边形是矩形，仅有一个角是直角的四边形不一定是平行四边形，该说法错误；选项B：四边相等的四边形是菱形，并非矩形，该说法错误；选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该说法错误；选项D：对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定定理之一，该说法正确.故本题正确答案为D.题型讲解例2.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB的度数为（　 ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°B题型讲解【分析】 利用矩形的直角与边的性质，结合等边三角形的边、角特征，推导△ABE的边的关系，再根据直角三角形的角度性质计算∠AEB的度数【解析】解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠A=90°，且矩形中AB=BC∵ △EBC是等边三角形，∴ BE=BC，且∠EBC=60°由AB=BC，可得AB=BE，∴ △ABE是等腰直角三角形，∴ ∠AEB=45°.故本题正确答案为B.题型讲解例3.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，且AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB. （1）若∠E＝25°，求∠EBG的度数；（2）连接AG，试探究AG，DG，EG之间的数量关系.题型讲解【分析】 利用矩形的直角性质，结合AE=AD、AF=AB证明三角形全等，得到对应角相等，再结合矩形中直角三角形的角的关系，计算∠EBG的度数【解析】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°.又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠E＝∠ADB＝25°，∴∠EBG＝90°－25°＝65°.题型讲解【分析】 通过旋转△ADG使AD与AE重合，构造全等三角形与等腰直角三角形，利用勾股定理探究AG、DG、EG的数量关系题型讲解题型讲解例4.下列说法中，正确的是( )A.内错角相等B.对角线相等的四边形是矩形C.四条边相等的四边形是正方形D.菱形的对角线一定互相垂直D【分析】根据内错角的性质、矩形、正方形、菱形的判定与性质，逐一验证每个选项的说法是否符合对应的几何概念，从而确定正确选项【解析】解：A、两直线平行，内错角相等；故A项错误；B、对角线相等不能判断四边形是矩形；故B项错误；C、四条边相等的四边形是菱形；故C项错误；D、根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直；故D项正确.故本题正确答案为D.题型讲解题型讲解【分析】 利用等腰直角三角形的直角，结合PE、PF的垂直条件，证明四边形PECF有三个直角，从而判定其为矩形【解析】解：如图，连接CP∵∠ACB=90°，AC=BC=4,∴AB=4√2∵PE⊥BC，PF⊥AC、∠ACB=90°∴四边形PECF是矩形.题型讲解【分析】 根据矩形的对角线性质，将EF转化为PC，再通过点到直线的距离最短，求C到AB的垂线段长度 题型讲解课堂小结矩形矩形的性质性质1：矩形的四个角都是直角。矩形的判定性质2：矩形的两组对边分别平行且相等。性质4：矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。 性质3：矩形的对角线相等。 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。感谢聆听! 第二十三章 四边形