数学沪教版（五四制）（2024）23.2 平行四边形优秀测试题

这是一份数学沪教版（五四制）（2024）23.2 平行四边形优秀测试题，共9页。

知识梳理·核心概念与定理
知识点一：(等腰)梯形的定义
梯形：只有一组对边平行的四边形。
等腰梯形：两腰相等的梯形，同一底上的两底角相等，对角线相等。
知识点二：平行四边形性质
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形
知识点三：平行四边形判定
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
知识点四：常用公式与结论
·易错提醒 ① 梯形定义强调“只有一组对边平行”，不可与平行四边形混淆。
② 判定平行四边形时，注意边、角、对角线条件是否充分。
③ 动点问题需分类讨论，考虑时间范围。
精讲题型 · 10类核心考点
【题型1】(等腰)梯形的定义
梯形面积 常利用平行线间距离构造高，结合三角形面积求解。
等腰梯形 常通过作平行四边形（平移一腰）转化边角。
【例题1】 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD，已知梯形ABCD的面积为17，△BDC的面积为12，那么△ADC的面积 ．
【变式1】 （24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，∠B=60∘，AD=8，BC=18，求梯形ABCD的腰AB的长和面积．
【变式2】 （24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=2∠A，CD=6，BC=5，则AB= ．
【变式3】 （23-24九年级上·上海黄浦·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ．
【题型2】利用平行四边形的性质求解
利用对边相等、对角互补、对角线互相平分列方程或求线段长。
常见模型：角平分线+平行线→等腰三角形；对角线构造三角形，用勾股定理。
【例题1】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，在▱ABCD中，∠A比∠B大60°．求这个平行四边形各个内角的度数．

【变式1】 （25-26八年级·上海·假期作业）在▱ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则ADAB的值为 ．
【变式2】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若AB=4，AC=6，BD=10，则BC的长为 ．

【例题2】 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线的取值范围是 ．
【变式1】 （2025·上海·模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB=5，CE=2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 ．
【题型3】数图形中平行四边形的个数
根据平行条件，有序找出所有满足两组对边平行的四边形，避免遗漏。
【例题1】 （16-17八年级下·全国·单元测试）如图，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有 个平行四边形．
【变式1】 （17-18八年级下·全国·单元测试）如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；

【题型4】利用平行四边形的性质证明
常通过证明三角形全等（ASA、AAS）得到边等、角等，进而推出平行四边形性质。
【例题1】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O．求证：OA=OC,OB=OD．
【变式1】 （24-25八年级下·上海松江·期中）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD,AB=CDB．AD∥BC,∠BAD=∠BCD
C．AB∥CD,AO=COD．AD∥BC,AB=CD
【变式2】 （24-25八年级下·上海松江·期中）已知▱ABCD，点O为对角线AC的中点，过点O分别作直线EF，GH，直线EF交边AD、BC于点E、F，直线GH交边AB、CD于点G、H．求证：四边形EHFG为平行四边形．
【变式3】 （24-25八年级下·上海·期中）如图已知点E是平行四边形ABCD对角线AC上的一点，连结DE，过点B作BF∥DE交AC于点F．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AB=BC=8，DE=6，当∠ABF=90°，求AE的长．
【题型5】平行四边形性质的其他应用
面积问题、动点问题、折叠问题、最值问题，常结合勾股、方程、分类讨论。
【例题1】 （21-22八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ．
【变式1】 （24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，作DE∥BC交AC于点E，延长ED至点F使得∠F=∠BCD，连结BF，CD．
(1)求证：四边形BCDF是平行四边形．
(2)若BD平分∠FBC，DE=2，DF=8，求四边形BCDF的面积．
【例题2】 （24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=6，动点P沿AD边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t(t>0)秒．
(1)线段PD的长为______（用含t的代数式表示）；
(2)当CP平分∠BCD时，求t的值．
(3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值．
【变式1】 （24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．
(1)求证EF=EH；
(2)求△ADF的面积．
【变式2】 （21-22八年级下·广东广州·期中）如图，在▱ABCD中，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF．
(1)求证：AE=CF；
(2)已知AB=9，AC=16，AE=4，BF=37，判断△ABF的形状，并说明理由．
(3)在2的条件下，求四边形ABCD的面积．
【题型6】求平行线间的距离
利用直角三角形面积相等或勾股定理求解，注意平行线间距离处处相等。
【例题1】 （2026八年级下·山东·专题练习）如图，直线AB∥CD，且HG=15cm，GI=20cm，HI=25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是 cm．
【变式1】 （25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE．当BC=1时，三角形BEG的面积记为S1；当BC=2时，三角形BEG的面积记为S2；…；以此类推，当BC=n时，三角形BEG的面积记为Sn，那么S20262026的值为 ．
【变式2】 （25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=2516，BC=1516，点D，E分别是线段BC，AB上的动点（点D不与点C重合），且CD=AE，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 ．
【变式3】 （24-25七年级下·上海·期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线a、b、c，已知直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，那么直线b与c的线距是 ．
【题型7】利用平行线间距离解决问题
通过等底等高转化面积，或利用平行线构造平行四边形，实现线段相等。
【例题1】 （24-25九年级上·四川成都·月考）如图，E是▱ABCD内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为 ．

【变式1】 （24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线交于点O，若△ABC的面积是4，AB:CD=1:3，那么△ACD的面积＝ ，若△AOB的面积等于1，△ABC的面积是4，则△AOD的面积＝ ．
【变式2】 （24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，l1∥l2，点A、E在直线l1上，点B，C，D在直线l2上，如果BD=2CD，AF是△ABC边BC上的中线，△ABC的面积为30，那么△FDE的面积是 ．
【变式3】 （22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在△ABC中，按下列要求画图并填空：

(1)画△ABC边AB上的高CD；
(2)E在CD上，连接BE，使得S△ABC=S△EBC，请画出点E；
(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么点C到直线AB的距离为_______，△ADC的面积为_______．
【题型8】四边形的不稳定性
平行四边形易变形，常用于伸缩门等实际应用。
【例题1】 （25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有 ．
【变式1】 （24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（ ）
A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性
C．三角形任意两边之和大于第三边D．两点之间线段最短
【变式2】 （22-23六年级上·上海·开学考试）如图，学校大门口的伸缩门做成这样，是根据平行四边形的（ ）
A．容易变形B．两组对边分别平行
C．对边相等
【题型9】证明四边形是平行四边形
常用判定方法：一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等。
【例题1】 （2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：△AED≌△FEC；
(2)求证：四边形ACFD是平行四边形．
【变式1】 （23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，对角线AC、BD相交于点O，E在边BC的延长线上，且OE=OB，∠ADB=∠OEB．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)连接DE，求证：DE⊥BE．
【变式2】 （2022八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上的一点，且CD＝12BC，作DN∥CM交AC于点N．求证：四边形MCDN是平行四边形．
【变式3】 （24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，CD=BD=4，求AD的长．
【变式4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在▱ABCD中，连接BD，取BD中点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【题型10】压轴题 · 综合与创新
涉及旋转、新定义（等对边四边形）、动点与平行四边形存在性、等边三角形与平行四边形综合等。需要灵活运用全等、勾股、分类讨论。
【例题1】 （24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、BC上的点，连接EF．
(1)如图1，对角线AC、BD相交于点O，若EF经过点O，求证：OE=OF．
(2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段MN，使它满足：
①点M、N分别在AD、BC上；
②MN=EF．（不写画法，保留画图痕迹）
(3)证明（2）中MN=EF
【例题2】 （23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
(2)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB边上，且满足∠DBC=∠ECB=12∠A，线段CE、BD交于点O，
求证：∠BDC=∠AEC．
【例题3】 （22-23八年级下·河北沧州·月考）如图：▱ABCD的对角线交于点O．

(1)基础训练：
EF经过点O且与AB、CD分别相交于E、F．求证：OE=OF
(2)拓展变式
若将条件改为EF经过点O且与AB、CD的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明．
(3)观察归纳
▱ABCD的对角线交于点O，直线EF是经过点O的任意一条直线，将▱ABCD的面积分为两部分，设四边形AEFB的面积为S1，四边形DCFE的面积为S2，则S1______S2．

(4)实践操作
你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．

【例题4】 （25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形ABFE中，AE∥BF，AE=12BF，若点C为BF的中点，连接AC，BE交于点D．
(1)求证：四边形ACFE是平行四边形；
(2)若△ABC是等边三角形，且AE=3，求EF的长．
【例题5】 （25-26八年级上·山东威海·期末）综合与实践
【动手操作】如图Ⅰ，把一个长方形纸片沿对角线剪成两个完全相同的三角形纸片，分别记为△ABC，△DEP，∠ACB=∠DPE=30°．
（说明：以下操作两个三角形纸片时，保持点P,C重合，且统一记为点C）
【问题解决】
(1)如图Ⅱ，将△DEP的边EP落在AC上（即EC），连接AD．
①直接写出∠DAC的度数：_______；
②延长DE交CB的延长线于点M，写出BM，CD，CE间的数量关系及理由；
(2)将图Ⅱ中的△DEC绕点C顺时针旋转30°得到图Ⅲ，点F是AC的中点，连接BE，BF，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

【例题6】 （25-26八年级上·山东·期末）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．
(1)将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接BD，CE．求证：BD=CE；
(2)将△ADE绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时AD⊥BD，过点C作CF∥BD，交ED的延长线于点F，连接BF，DC．试判断四边形BDCF的形状，并说明理由．
【例题7】 （2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发．
(1)当运动多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？
(2)当运动多少秒时，四边形PQCD是直角梯形？
(3)多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？
随堂检测·同步专题精练
【练习1】 （24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，四边形ABCD是直角梯形，上底AD是12cm，高CD是7.2cm，阴影部分的面积是7.2cm2，则梯形ABCD的面积为 cm2．
【练习2】 （25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=7，BE=2，则CD的长是 ．
【练习3】 （17-18八年级下·江苏·期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【练习4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若AD=BC=8，MN=AB=5，则四边形MNCD的周长为 ．
课后巩固 · 核心练习
作业1 梯形定义辨析（只有一组对边平行）
作业2 平行四边形求角度（利用平行线性质）
作业3 数平行四边形个数（中点构造）
作业4 平行线间距离性质（垂线段相等）
作业5 利用完全平方公式判定平行四边形（两组对边相等）
作业6 实际应用：道闸中的平行四边形（对边平行且相等）
作业7 对角线条件：补充OB=OD
作业8 角平分线+平行线→等腰三角形求DF
作业9 多结论判断（中点、直角三角形斜边中线）
作业10 折叠问题+勾股求EF
作业11 对角线互相平分证全等，求BD
作业12 平行四边形对角线性质+勾股求BE
作业13 对角线互相平分证平行四边形
作业14 证明对角相等（连接AC）
作业15 全等三角形证平行四边形
作业16 平行四边形面积转化求三角形面积
作业17 等边三角形+平行四边形判定
作业18 动点+含30°直角三角形+平行四边形
作业19 对角线比例关系+等边三角形求周长
※复习建议 熟练掌握平行四边形的五种判定，灵活运用全等三角形与勾股定理，动点问题注意分类讨论。
【作业1】 （25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（ ）
A．有一组对边平行的四边形是梯形B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形
C．有两组对边平行的四边形是梯形D．只有一组对边平行的四边形是梯形
【作业2】 （25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，若∠A=126°，则∠1为（ ）
A．36°B．46°C．38°D．64°
【作业3】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则图中的平行四边形一共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【作业4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=CDB．CE=FGC．GE=FCD．GE=DB
【作业5】 （25-26八年级下·全国·周测）已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则此四边形是（ ）
A．长方形B．等腰梯形
C．正方形D．平行四边形
【作业6】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（AB=DC）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ．
【作业7】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AO=OC，BD=16 cm．当OB= cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【作业8】 （24-25八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，在▱ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= ．
【作业9】 （20-21八年级下·广东中山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF，关于下列四个结论：①∠BCF=∠DCF；②∠FEC=∠FCE；③∠AEF=∠CFD；④S△CEF=S△AEF+S△CDF 则所有正确结论的序号是 ．
【作业10】 （24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为BD，折叠后，点A的对应点为点E，DE交BC于点F．若AB=2，AD=4，∠A=120°，则EF的长为 ．
【作业11】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，点F在BC上，连接EF，使EF恰好经过点O．
(1)求证：ED=FB．
(2)若AC⊥BD，ED+CF=5，AC=6，求BD的长．
(3)记四边形ABFE的面积为S1，▱ABCD的面积为S2，用等式表示S1和S2的关系为 ．
【作业12】 （25-26八年级上·重庆·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于点F．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AB⊥AC，AC=6，BD=10，求BE的长度．
【作业13】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形．
【作业14】 （2023·北京房山·二模）下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．
你选择方法______．
证明：
【作业15】 （25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段AB、CD上的点，且AE=DF，AB∥CD，连接EC、BF，分别交AD于点G、H，连接BG，CH，∠AGE=∠DHF．
(1)证明：AG=DH；
(2)证明：四边形BGCH为平行四边形．
【作业16】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作CF∥AE交ED的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若BC=2CE，△ABC的面积为8，求△CDF的面积．
【作业17】 （25-26八年级下·全国·周测）如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，BE和CF．
(1)求证：△BDE≌△FEC．
(2)判断四边形ABDF的形状，并说明理由．
【作业18】 （2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿AC方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts (0