人教版（2024）八年级下册（2024）23.1 一次函数的概念教案

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）23.1 一次函数的概念教案，共37页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
《一次函数的概念》是人教版八年级下册“一次函数”单元的开篇课，既是对函数概念的深化，也是后续学习一次函数图象、性质及应用的基础，在整个初中函数体系中具有承上启下的关键地位.
教材以“登山气温变化”这一实际情境引入，通过分析变量关系得到解析式 y＝－6x＋5，再结合“质量与体积”“练习本厚度”等多个实例，引导学生归纳解析式的共同特征，抽象出一次函数的定义，进而明确正比例函数是其特殊形式.教学逻辑遵循“实际情境——问题分析——实例探究——概念抽象——例题巩固——练习深化”的路径，从具体到抽象、从特殊到一般，既体现了函数作为“刻画运动变化模型”的本质，也渗透了建模思想与归纳推理方法，为后续研究函数的图象与性质奠定了概念基础.

二、学情分析
已有基础：学生此前已学习了变量、函数的基本概念，掌握了列代数式、一元一次方程等知识，具备一定的从实际问题中抽象数量关系的能力，也接触过正比例、反比例等简单数量关系，这为本节课理解一次函数的形式奠定了基础.
存在困难：八年级学生的抽象概括能力仍在发展中，存在两大学习困难：一是难以从多个具体解析式中归纳出“y=kx+b(k≠0)”的共同特征，容易混淆一次函数与正比例函数的从属关系；二是对“k≠0”这一条件的必要性理解不深，容易忽略限制条件.
认知特点：从认知特点来看，学生更倾向于通过具体实例理解概念，对纯形式化的定义接受度较低，同时容易受“函数必须是正比例”的思维定势影响，需要通过对比、辨析强化对概念的理解.

三、教学目标
1.理解一次函数和正比例函数的概念，能判断一个函数是否为一次函数或正比例函数.
2.理解一次函数与正比例函数的关系，能根据实际问题写出一次函数的解析式.
3.经历从实际问题中抽象一次函数概念的过程，体会“特殊到一般”的归纳方法，提升抽象概括能力.
4.感受一次函数在刻画实际问题中的作用，激发对函数学习的兴趣.

四、教学重难点
重点：理解一次函数和正比例函数的概念，能判断一个函数是否为一次函数或正比例函数.；
难点: 理解一次函数与正比例函数的关系，能根据实际问题写出一次函数的解析式.

五、教学过程
本章导入
一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在.
行驶的路程s随时间t的变化
本息和y随本金x的变化
所在位置的气温y随海拔x的变化
研究一次函数的一般思路与方法：建模、观察、讨论、类比、数形结合.
设计意图：用真实情境激发兴趣，建立“生活——数学”联系;通过知识结构图，明确一次函数
的承上启下地位，渗透建模与数形结合思想.
复习回顾
问题1：什么是函数?什么是函数值?
答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
问题2：什么是函数解析式?
答：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
师生活动：教师出示函数定义、解析式等问题，引导学生举手作答，师生共同订正梳理，回顾旧知.
设计意图：通过提问互动唤醒已有函数知识，为一次函数的学习搭建桥梁，夯实概念基础，衔接新知探究.
探究新知
活动：探究一次函数的概念
问题3：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.
(1)用函数解析式表示y与x的关系.
(2)求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温.
师生活动：教师引导学生分析登山气温变化规律，自主列式写出函数解析式，代入求值并交流.师生共同归纳一次函数雏形，梳理建模思路.
解：(1)y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x ℃. 因此y与x的函数解析式为：y＝5－6x.
这个函数也可以写为 y＝－6x＋5.
(2)当登山队员由大本营向上登高2 km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数 y＝－6x＋5 的值，
即 y＝－6×2＋5 ＝－7(℃).
设计意图：以真实情境渗透数学建模思想，通过“列解析式——代入求值”的探究，让学生感知一次函数的实际意义，为抽象定义奠定认知基础，培养分析与应用能力.
问题4：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？
(1)铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化.
(2)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.
(3)一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以cm为单位量出身高 h ，再减去常数105，所得差是m 的值，m 随 h 的变化而变化.
(4)把一个长10 cm、宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化．
师生活动：教师出示多组实际问题，引导学生列函数解析式，再组织讨论归纳共同特征；师生共同抽象出一次函数与正比例函数的定义，辨析关键条件.
答：函数解析式为：(1)m=7.9V; (2)h=0.5n;
(3)m=h－105; (4)y＝－5x＋50.
问题5：上面写出的几个函数解析式有哪些共同特征？
(1)m=7.9V; (2)h=0.5n;
(3)m=h－105; (4)y＝－5x＋50.
答：观察以上函数解析式，这些函数在形式上的共同点：
都是常数 k 与自变量的积与常数 b 的和的形式．
一次函数：一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.
特别地，当 b=0 时， y=kx+b 即 y=kx .
正比例函数：形如 y=kx ( k是常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数.
注意：一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：①k ≠ 0；②自变量 x 的次数是1；
③常数项 b 可以是任意实数 .
设计意图：通过多实例探究，让学生经历“具体——抽象”的概念形成过程，理解一次函数的形式特征，为后续学习奠定概念基础.
练一练：下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－3x；(2)y＝1－x2；(3)y＝1＋8x；
(4)y＝2x＋1；(5)y＝x2＋1； (6)y＝x－10.
师生活动：教师组织学生独立完成函数辨析练习，分组交流判断依据；师生共同梳理判断流程，归纳判定方法，并深入辨析一次函数与正比例函数的从属关系.
分析：
解：(1)y＝－3x 是正比例函数，也是一次函数；
(2)y＝1－x2，即y＝－12x＋12是一次函数，但不是正比例函数；
(3)y＝1＋8x 是一次函数，但不是正比例函数；
(4)y＝2x＋1，x在分母的位置上，因此等号右边不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数；
(5)y＝x2＋1，自变量x 的次数是2，所以不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)y＝x－10，等号右边不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
总结：判断一次函数的方法：
看函数解析式能否通过变形转化为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0) 的形式， 若能， 则是一次函数，此时若b＝0，则该函数既是一次函数，又是正比例函数.
问题6：一次函数与正比例函数有什么关系？
(1)当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
(2)正比例函数是特殊的一次函数.即正比例函数都是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
设计意图：通过辨析练习巩固概念，让学生掌握一次函数的判定路径；明确两者包含关系，破除认知误区，深化对一次函数结构特征的理解.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师引导学生分析弹簧伸长问题，学生自主列式、代入求值；师生共同梳理解题步骤，强调自变量实际意义.
例1 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
(1)求弹簧的长度 y （单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
(2)当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：(1)由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为 y=2x+12.
(2)把 x=5 代入 y=2x+12，得 y=2×5+12=22.
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
设计意图：通过弹簧实例，让学生经历“建模——求值”过程，巩固一次函数解析式的应用，体会数学在实际问题中的价值.
【经典例题】
师生活动：教师引导学生分析例2的一次函数条件，讨论易错点；再带领学生分析例3表格数据，自主列式、代入求值，师生共同梳理解题步骤.
例2 已知函数y＝(m＋1)·x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
分析：根据“二次项系数为0”和“一次项系数不为0”列方程或不等式求解.
解：(1)由题意，得2－|m|＝1，解得m＝±1.
因为m＋1≠0，所以m≠－1.所以m＝1.（一次项系数不为0 是隐含条件）
所以当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．
(2)由题意，得2－|m|＝1，n＋4＝0，
解得m＝±1，n＝－4.
因为m＋1≠0，所以m≠－1.所以m＝1.
所以当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．
例3 五月份正是杏大量上市的季节，小李将自家产的杏拿到集市上售卖，小李在卖杏之前，钱包内有54元，下表记录的是杏的销售额(元)随销售量x(千克)变化的有关数据：
请根据表中数据回答下列问题：
(1)直接写出a，b的值;
(2)求在小李售卖杏的过程中，钱包里的钱y(元)与x(千克)的函数关系式；
(3)求当销量为18千克时小李钱包中的钱数；
(4)若销售完杏，小李钱包中有159 元，则卖出杏多少千克？
解：(1)观察表中数据可知，销量每增加1千克，销售额就增加3.5元，∴a=7-3.5=3.5 ，b=28 +3.5=31.5 故a=3.5，b=31.5
(2)∵小李在卖杏之前，钱包内有54元，观察表中数据可知，销量每增加1千克，销售额就增加3.5元，∴y=3.5x+54.
(3)当x=18时，y=3.5×18+54=117.
∴当销量为18千克时，小李钱包中有117元.
(4)当y=159时，3.5 x+54=159，解得x=30 .
答：卖出杏30千克.
设计意图：通过概念辨析和实际应用，强化一次函数定义的核心条件，让学生掌握从数据中建模的方法，提升应用能力.
课堂练习
【教材练习】
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
(1) y＝－8x； (2)y＝－5x ； (3)C=2πr；
(4) y＝5x2＋6； (5)y＝2(x－4).
解：(1)(3)(5)是一次函数，(1)(3)是正比例函数.
2.用函数解析式表示下列问题中y与x的关系:
(1)某人一年内的月平均收入为x元，他这一年(12个月)的总收入为y元；
(2)某水池有水20 m3，现在打开进水管开始进水，进水速度为3 m3/h，则x h后水池有水y m3.
解：(1)y=12x;
(2) y=3x+20.
总结：列一次函数解析式时，先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题意中的等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数.
师生活动：学生独立完成函数辨析与列式练习，教师巡视指导，指名汇报答案；师生共同订正，梳理一次函数的判断与建模步骤.
设计意图：通过分层练习巩固一次函数概念，强化“判断类型——建立模型”的解题方法，夯实基础，提升应用能力.
【限时训练】
1.下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是( )
A. y=−xB. y=2x+1C. y=1xD. y=x2
【答案】A
【解析】解：A.y=−x是正比例函数，符合题意；
B.y=2x+1是一次函数，不符合题意；
C.y=1x是反比例函数，不符合题意；
D.y=x2是二次函数，不符合题意；
故选：A．
2.下列语句中，y与x是一次函数关系的有( )个
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；
(4)某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．
A. 1 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】解：(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系，是一次函数；
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系，不是一次函数；
(3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数；
(4)某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，
所以共3个一次函数.
故选：C．
3.若函数y=(m+1)x|m|+2是一次函数，则m的值为( )
A. m=±1B. m=−1C. m=1D. m≠−1
【答案】C
【解析】解：根据一次函数的定义可知：|m|=1，m+1≠0，
解得：m=1．
故选：C
4.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？y是否为x的正比例函数？
(1)正方形的面积y(cm2)与它的边长x(cm)之间的关系．
(2)鲁老师乘车从学校到省城去参加会议，学校距省城200 km，车行驶的平均速度为80 km/ℎ.鲁老师与省城的距离y(km)与行驶时间x(ℎ)之间的关系．
【答案】解：由题意，得
(1)y=x2，y不是x的一次函数，也不是正比例函数；
(2)y=200−80x，y是x的一次函数，不是正比例函数．
5.将长为30 cm，宽为10 cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来得到一个大长方形，黏合部分的宽是3 cm．
(1)设x张白纸黏合后的总长度为y cm，写出y与x之间的函数关系式，并判断y是不是x的一次函数;
(2)当x=20时，求y的值;
(3)你认为白纸黏合起来的总长度可能为2021 cm吗?为什么?
【答案】解：(1)x张白纸黏合，需黏合(x−1)次，重叠3(x−1)cm，
故y=30x−3(x−1)=27x+3(x≥1，且x是整数)，
y是x的一次函数．
(2)当x=20时，y=27×20+3=543．
(3)白纸黏合起来的总长度不可能为2021 cm.理由如下：
把y=2021代入y=27x+3，得27x+3=2021，
解得x=201827．
∵x为正整数，
∴白纸黏合起来的总长度不可能为2021 cm．
师生活动：学生独立完成分层练习，教师巡视并针对性点评易错点；学生互评答案，教师引导总结一次函数的判断方法与实际建模步骤.
设计意图：通过梯度练习，巩固一次函数与正比例函数的概念辨析、参数求解和实际应用，强化学生的解题规范与应用能力，查缺补漏.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.一次函数的定义是什么？正比例函数的定义呢？
3.一次函数与正比例函数的关系是什么？
4.如何判断一个函数是不是一次函数？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：寻找生活中的一次函数
任务：1.观察生活中2个变量均匀变化的实际情境(如打车费用、水电费计算等)，记录变量之间的对应关系；
2.写出该情境中两个变量的函数解析式，判断它是否为一次函数，若为一次函数，指出k和b的值；
3.分析该情境中自变量的取值范围，并说明理由.
要求：
1.至少找到2个不同的生活情境，写出对应的解析式与分析；
尝试说明每个情境中“k”的实际意义(如变化率)；
3.作业形式可采用文字+表格的形式，清晰呈现探究过程.