等比数列7种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份等比数列7种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．127B．63C．D．
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，则，
所以（舍去），
所以
例2．（2026·四川·模拟预测）已知等比数列满足，，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【详解】等比数列满足，则，解得或，而，
当时，，与矛盾；当时，，
所以数列的公比.
例3．（2026·陕西咸阳·二模）设等比数列的前项和为，若，，则______．
【答案】255
【详解】设的公比为，由，得，解得,
所以．
例4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则______.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，可得，
整理得，即，
因为，可得，所以.
又因为，所以，所以.
变式1．（25-26高二上·四川宜宾·期末）在等比数列中，，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，则，得到，
所以.
变式2．（2026·北京·模拟预测）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．8D．24
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得.
变式3．（2026·河南许昌·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，由数列各项均为正数，有，
由，有，
则，解得，
为的前项和，，，
则.
变式4．（25-26高二下·安徽·开学考试）在等比数列中，，，则________.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，
所以，所以，
所以，
所以.
考点二 等比中项
例1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在等比数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．16D．64
【答案】C
【详解】数列为等比数列，则，
，所以，
所以，
故选：C
例2．（2026·江苏南通·一模）“”是“成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立，
当成等比数列，可以推出，故必要性成立，
所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
例3．（25-26高三下·重庆·月考）设是与4的等比中项，则实数______．
【答案】4
【详解】因为是与4的等比中项，所以，
所以，令，所以，所以，
解得，所以.
例4．（25-26高二下·上海·月考）在等比数列中，，，则公比_____．
【答案】
【详解】，解得
当时，，，解得；
当时，，，无解；
综上所述，.
变式1．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】A
【详解】设等差数列的公差为，则有，
即，由，，成等比数列，则，
即，化简得，
由，则，即有，解得，
故.
变式2．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为是方程的两个不同实根，
所以，，所以，
所以是等比数列，所以，所以，
又，所以，所以.
故选：D.
变式3．（2025·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________
【答案】
【详解】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知 ，
所以，
因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意），
所以 与 同号，故 ,又因为 ，
综上可得 .
故答案为：.
变式4．（2026·山东青岛·模拟预测）在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为_________．
【答案】
【详解】设插入的3个数为，则成等比数列，设公比为，
故是1，4的等比中项，且，得：，即，
又，故.
故答案为：
考点三 等比数列通项公式的函数性质
例1．（25-26高三下·云南昭通·开学考试·多选）在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（ ）
A．是单调递减数列B．是单调递增数列
C．中的项为整数的只有2个D．的最大值为
【答案】ACD
【详解】设等比数列的公比为．
由，得，
即，解得或（舍去）．
因为，所以，则A正确，B错误．
因为，，，，，
又，所以当时，不为整数，所以C正确．
因为，且，所以最大，D正确．
例2．（25-26高二上·广东广州·期末·多选）已知数列满足，其前项和为，且，则（ ）
A．B．是递减数列
C．D．是等差数列
【答案】ACD
【详解】因为数列满足，所以，，
所以，故，A对，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
故数列是单调递增数列，B错，
，C对，
，故数列是等差数列，D对.
故选：ACD.
例3．（25-26高二上·山西朔州·期末·多选）记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是递增数列
C．当取得最小值时，D．使的n的最小值为14
【答案】ABD
【详解】设的公比为.，
对于A，由题意可得，
解得，故A正确；
对于B，，故是递增数列，故B正确；
对于C，，
是开口向上的抛物线，其对称轴为，所以当或7时，取得最小值，
选项C的表述未包括“”，故C错误；
对于D，令，即，解得或，
因为，所以使的的最小值为14，故D正确.
故选：ABD.
变式1．（25-26高二上·江苏徐州·期末·多选）在各项均为正数的等比数列中，为前项积，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，，
根据等比数列的性质得，
又在上单调递增，，
，故A正确.
，，则，
则，故B正确.
，又且，，故C错误.
由，得等比数列为递增数列，则，
，当时，，，故D正确.
故选：ABD.
变式2．（25-26高三上·江西南昌·月考·多选）已知为常数，则下列关于数列的说法正确的是（ ）
A．为等比数列B．使得为等差数列
C．为摆动数列D．，为递增数列
【答案】BC
【详解】时，为常数列，是等差数列，但不是等比数列，故A错误；
时，，为常数列，是等差数列，故B正确；
时，为摆动数列；故C正确；
时，为递增数列，时， 为递减数列，时，为常数列，故D错误.
故选：BC
变式3．（25-26高二上·广东梅州·期末·多选）已知数列是等比数列，且，公比，则下列说法正确的是（ ）
A．是数列的项
B．是单调递增数列
C．数列的前6项和
D．数列的前项和会越来越小，但总大于某个值
【答案】BCD
【详解】数列是等比数列，且，公比，
则，令，
即，方程无整数解，故A错误；
由单调递减，则单调递增，
即是单调递增数列，故B正确；
，，故C正确；
由，即数列的前项和会越来越小，但总大于，故D正确．
故选：BCD．
考点四 等比数列片段和的性质
例1．（25-26高三下·重庆·月考）设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ）
A．24B．32C．36D．108
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为.若，，则，
故，
，所以，
故.
例2．（25-26高二下·山西太原·月考）设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，，
则公比，否则，，，不符题意；
所以，解得，
所以．
所以．
解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，
则，即，
求得，故，所以．
例3．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知等比数列的前项和，，则__________.
【答案】75
【详解】∵等比数列的前项和，
∴，，，仍成等比数列.
∵，，
∴.
∴，则.
∴，则.
故答案为：
例4．（25-26高二上·内蒙古·期末）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为_______________．
【答案】
【详解】由题意知、、成等比数列，所以，
即，
所以，
故当时，取得最小值．
故答案为：.
变式1．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．16
【答案】B
【详解】设，则成等比数列，
即．
变式2．（25-26高三下·河北保定·开学考试）设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．6B．16C．26D．36
【答案】C
【详解】解法1：设等比数列的公比为.
若，则，此时，与已知矛盾，故.
由，得，
于是.
解法2：因为为等比数列，所以仍为等比数列.
令（），由已知，可得.
根据等比数列的等比中项性质，有，解得.
由，得，
因，两边同时除以，得.
所以.
变式3．（2026·重庆·一模）已知是等比数列的前项和，，则__________．
【答案】381
【详解】由题知，，且
因为成等比数列，
该等比数列的首项为3，公比为2，
则.
变式4．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则___________.
【答案】64
【详解】由等比数列的性质得.
故答案为：64.
考点五 等比数列奇数项或偶数项的和
例1．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】当时，.
当时，.
因为为等比数列，所以时也满足，即，解得.
所以数列的通项公式为.
该数列的前9项中所有奇数项之和为，
该数列的前9项中所有偶数项之和为，
故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为.
故选：C.
例2．（25-26高三上·云南昆明·月考）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝______.
【答案】/0.5
【详解】设数列共有项，
由题意得，，
则，
解得，
故答案为：
例3．（25-26高三上·广东江门·月考）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为______，项数为______．
【答案】 2 9
【详解】在等比数列中，由，得，解得，
设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9.
故答案为：2；9
变式1．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2B．-2C．-1D．2或-2
【答案】D
【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，
故满足，解得，
又，
所以.
故选：D
变式2．（25-26高三上·山西运城·月考）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______．
【答案】300
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
由题意可得：，即，解得，
故数列的所有项之和是.
故答案为：300.
变式3．（25-26高三上·四川成都·月考）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______.
【答案】
【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，.
由题意可得
解得
所以．
故答案为：.
考点六 等比数列的应用
例1．（25-26高二上·云南昭通·期末）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设需提供的能量为a，由题意知：的能量为，的能量为，的能量为，
即，解得：，
所以要能使获得的能量，则需提供的能量为.
故选：C.
例2．（2026·海南海口·一模）海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为：
，
故选：A.
例3．（2026·甘肃·一模）如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________
【答案】
【详解】由题意可知，；
所以.
例4．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.
（参考数据：，）
【答案】 2.88 8
【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩；
假设第年后充电桩总量达到30万个，
则，
即，
取对数得，
即约8年内，可达到要求.
故答案为：2.88，8
变式1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】作出示意图如图所示：

第一个正方形是，记为，
由平面几何知识可得第二个正方形的边长为，
所以正方形的面积为，记为，
依次类推可得第三个正方形的面积为，记为，
可得第个正方形的面积为，
所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列，
所以前10个正方形的面积和为.
故选：C.
变式2．（25-26高三上·天津河北·期末）集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】第一次操作去掉的区间长度为，
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为，
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为，
，
第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，
由题意可知，，即，解得，又为整数，
所以需要操作的次数n的最小值为4.
故选：B
变式3．（24-25高三上·北京昌平·期中）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为______；这9张纸的面积之和等于______．
【答案】
【详解】由题设，若的长宽分别为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，
又纸宽度为，所以，则的面积为，
由上分析，面积为，面积为，面积为，，依次类推，
易知，这9张纸的面积是以为首项，为公比的等比数列，
所以，面积之和为.
故答案为：；
变式4．（2025·浙江金华·模拟预测）已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为__________（用数字作答）.
【答案】
【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，
则，.
又，，所以，，
则，所以，
所以是首项和公差均为的等差数列，
所以，
所以，所以，
即1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成个细菌.
故答案为：.考点目录
等比数列通项公式与前n项和的计算
等比中项
等比数列通项公式的函数性质
等比数列片段和的性质
等比数列奇数项或偶数项的和
等比数列的应用