递推数列问题、奇偶数列问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)若，求证：为等比数列，为等差数列，并求；
(2)若，求证：
（i）；
（ii）
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题知① ；②
①②得，
又∵，，
为首项是3，公比是4的等比数列，
①-②得，
则为公差为0的等差数列，首项，
所以即，则
（2）方法一：（i）由题有，
又则为公比为-1的等比数列，
可推出都是正项数列
，
，
，
， ；
（ii）③
要证，即证，
而，且，
④
③④得成立，
成立；
法二：（i）由题可知，
，
.
又，
为首项、公比都是的等比数列，则，
，
， .
（ii）
，
，
，
，
当为奇数时，
而，
.
当为偶数时，
，
综上所述：.
例2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，且．
(1)求的值；
(2)若数列满足且，求数列的通项公式；
(3)求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，且，
所以，即，解得，
又，即，解得；
（2）因为，所以，
所以，
又，，所以且，
所以，
又，
两边取对数可得，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
所以.
（3）因为，所以，又，
所以，
所以，
所以，
设，因为，则，
因为，所以，所以，
所以，
要证，只需证明，
以下证明对任意的成立，
当时，，成立
假设当时（且）成立，
则，即，
所以对任意的成立，
所以，
所以，
所以.
例3．（25-26高二上·安徽·期末）在数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)不等式对一切恒成立，求的最小值；
(3)若对数列，在与之间插入个2，组成一个新数列，求数列的前2026项和.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1），
是常数列，
，
；
（2）依题意，对一切恒成立，
对一切恒成立，即，
是单调递减，
∴当时，最大，即，
的最小值为2.
（3）由（1）知，
∴在数列中，从项开始到项为止，共有项.
当时，，
当时，，
∴数列前2026项包含数列的前11项，即有个2，
.
变式1．（25-26高二上·天津·期末）已知数列满足，且．
(1)证明：数列与均为等比数列；
(2)证明：；
(3)求数列的前2n项和．（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1）
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）根据，将两式相加可得；
又由，可得，
因此可知数列是以为首项，公比为2的等比数列；
将两式相减可得，又，
所以可知数列是以为首项，公比为的等比数列；
即可知数列与均为等比数列；
（2）由（1）可知；
将上述两式相加可得，
因此；
所以；
而，
所以；
而时，，即，
所以，
所以，
所以
（3）易知，
又；
因此数列的前2n项和为
；
记，
则；
所以；
所以，
易知；
所以.
因此数列的前2n项和为
变式2．（25-26高三上·吉林四平·期末）已知正项数列满足：，.
(1)求；
(2)设，求前项和.
(3)设，求项的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由递推关系得：，，
所以：，即：，
所以：时，，
，显然当时也成立，
所以：；
（2）由已知：，
；
（3）由已知：，所以：，
所以：，
①令，得，所以当时，为递减数列；
②令，得，所以当时，为递增数列；
由①、②知，
所以当或时,取得最大值，最大值为．
变式3．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题设，且，则，
又，故是首项、公比均为的等比数列，
所以，则；
（2）由题设，
所以，
所以，
两式作差，得，
所以
，
所以，则.
考点二 奇偶数列问题
例1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知满足，且
(1)求和；
(2)求的前项的和；
(3)若，求.
【答案】(1),
(2)
(3)
【详解】（1）当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，，
于是：，，故，
即，
数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以.
.
（2）
奇数项的和：，
偶数项的和：，
所以.
（3），
，，则.
，，
两式相减可得，
.
所以.
例2．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，．
（i）求数列的通项公式；
（ii）设数列满足求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）设数列的公差为，
因为，
则解得
故.
（2）(ⅰ)，
，
所以，
即. 又，
则是首项为12，公比为的等比数列.
.
(ⅱ)当为奇数时，，
记，
则，
，
两式相减，得
，
化简，得，
得；
为偶数时，
记，
则
.
故
.
例3．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和；
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由点在函数的图象上，得，
当时，，而满足上式，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，，当为偶数时，，
所以数列的前20项和
.
变式1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，.
当时，由，得，
则.
因为，所以.
（2）由（1）可得
当为偶数时，，
则，
则，
则
，
则.
当为奇数时，.
故
变式2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，.
(2)
(3)
【详解】（1）设的公差为，的公比为，
由，可得：，
解得，故，
由，可得：，
又，故，解得，故.
（2）易知，
，①
②
由
，
故.
（3）因数列为等差数列，故数列也是等差数列，故
，
又数列为等比数列，故数列也是等比数列，故
，
故数列的前项和为.
变式3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，，
(1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式;
(2)已知数列满足，求的前2n项和
【答案】(1)证明见解析，．
(2)
【详解】（1）依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则
因为所以
所以，所以
所以，所以，
又因为，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以．
（2）由（1）知，，可得
所以
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递推数列问题
奇偶数列问题