解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
【答案】(1)
(2)的周长为
【详解】（1）在中，由正弦定理，所以，
因为，所以，
又，所以，
因为为锐角，所以；
（2）选择条件①：，
由（1）得，所以，
由余弦定理，
得，
所以（舍），的周长为.
选择条件③：，
由余弦定理，得，
所以，所以，所以，
的周长为.
选择条件②：，
由（1）得
由正弦定理得：，此时三角形不存在.
例2．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数（其中）的最小正周期为．
(1)求ω的值及函数图象的对称轴方程；
(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，，且角C满足，若，求的周长．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1），
因为，所以，故，
令，得对称轴方程为：，．
（2）由，得，因为，所以，
所以，可得，
又，由正弦定理得，①
由余弦定理，得，可得：，②
由①②：，解得，，
所以周长．
例3．（2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：，
在三角形中，所以，
即，
因为，所以，
因为，所以
（2），所以，
由余弦定理得，所以，
则，
所以的周长为.
变式1．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
又因为，可得，
所以，可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）解：因为，由正弦定理得，
又因为，可得，所以，可得，
因为，可得，所以，所以，
又因为，
可得，
又由正弦定理，
可得，，
所以的周长为.
变式2．（25-26高三上·福建龙岩·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)的周长为
【详解】（1），，且，
则，
在中，由正弦定理可得，
，
又在中，，
则，
所以，即，
又，所以，即，
又，则；
（2），，
又，
，，
故的周长为.
变式3．（25-26高三上·湖南·月考）记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理，得，
，，
，，，，或.
，，，即.
（2）如图：
，
，①，
又在中，由余弦定理可得，即②，
将①代入②得，或（舍）, .
的周长为.
考点二 周长最值问题
例1．（25-26高三上·河南信阳·月考）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)若内心为，求的周长范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
整理可得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，故.
（2）方法一：因为的内心为，所以和分别平分和，
可得，则，

设，，在中，由余弦定理得，
即，即，整理得，
因为且，由基本不等式可得，
可得，即，
当且仅当时，即时等号成立，
又因为，所以，故，
综上所述，的周长的取值范围为；
方法二：因为的内心为，所以和分别平分和，
可得，则，
设，则有，则，，
由，可得，
在中，，由正弦定理得，
则，，
可得
，
根据，，所以，
可得，所以，
所以的周长范围为．
例2．（25-26高三上·重庆·月考）已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、
(1)若 ，求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）由正弦定理有，
所以有，由余弦定理得，
，解得.
（2），
则有，
两边同乘则化简有：，
所以，
所以，所以，所以，，
则有：，
则有，其中．
其中仅当时取等，所以周长的最大值为．
例3．（25-26高三上·上海·月考）已知函数在上单调.
(1)求的单调区间；
(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值.
【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间为；
(2)9
【详解】（1）因为
，
因为在上单调，且，即，
所以，解得，
又因为，所以，所以；
令，解得；
令，解得；
所以的单调递增区间是，单调递减区间为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，则，
由余弦定理可得，
即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以且，解得，当且仅当时等号成立，
所以，即周长的最大值为9．
变式1．（25-26高一上·四川成都·月考）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）因为
所以
所以由正弦定理得：
所以
又因为，
又因为所以，所以
又因为，所以,即
（2）由正弦定理得,
所以，
所以
又，
得
因为为锐角三角形，即
所以，，
即，，
则，所以的周长的最大值为9
变式2．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由余弦定理得，
即，即，
又，则.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理可得，
则
，
由，得到，，
则，可得，
故周长的取值范围为．
变式3．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）在锐角中，、、分别为角、、的对边，且．
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
(3)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，因为，
由正弦定理可得，
即，
可得，
所以，
又因为，所以，因为为锐角，所以．
（2）由（1）得，，
又是锐角三角形，所以，解得，
所以
，
由，所以，所以，
所以的取值范围是；
（3）由题意知：，，且，则，
根据正弦定理得，可得，，
所以的周长
，
因为，所以当，即时，取得最大值1，
此时，即周长的最大值为．
考点三 面积问题
例1．（2025·安徽·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且.
(1)求；
(2)若点在线段上，且满足，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，
则由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
，则，
解得；
（2）令，，则.
又，则四边形为菱形，为的角平分线.
，
，
，即，
由余弦定理可得：，
即，解得，
所以.
例2．（2026·陕西西安·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，.已知，
(1)证明：；
(2)设，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
则，即，
所以.
（2）在中，，，由余弦定理得，
由（1）知，即，则，
整理得，因此，，
所以的面积为.
例3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，内角的对边分别为，已知为锐角，为边的中点，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，
则，即，得或，
因为为锐角，所以，则；
（2）因为为边的中点，所以，则，
因为，所以，即，
得（负值舍去），
则的面积为.
变式1．（25-26高三上·河北唐山·期中）在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且.
(1)求角的值；
(2)若，是边上的中线，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以，由正弦定理得，即，
且，则，可得，
因为，所以，
（2）由题意得，则，
即有，且，解得：，所以，
故的面积为.
变式2．（25-26高二上·广东·期中）已知的内角的对边分别为，，.
(1)求角；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）因为，所以，
又，即，
所以，即，解得，或（舍），
所以.
变式3．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知中，角，，的对边分别为，，，其中，.
(1)求角；
(2)若点在边上，且满足，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知，且满足
由此可得：，代入，，
由正弦定理得：，
在三角形中，易知，所以，，所以．
（2）由于，，
所以，所以，
得：，即，
由余弦定理：，化简得：，
联立两式可得：，解得：，，
所以．
考点四 面积最值问题
例1．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知分别是三个内角的对边，且．
(1)求角的大小；
(2)若分别为的边上的点，且，求面积的最大值和此时的周长．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）中有，
由正弦定理得，，
又将代入得，，
展开得，，
整理得，，
由，
所以，得，即，
由知，所以，
故．
（2），
，
解法一：由（1）知，，
故，
当且仅当时取等号，即面积的最大值为．
此时，
由余弦定理得，
的周长为.
解法二：由（1）知，，
，
当且仅当时取等号．
此时，
由余弦定理得，
的周长为.
例2．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
例3．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若，求面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
整理得，又均为三角形内角，
所以．
（2）由余弦定理得，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，
所以，即面积S的最大值.
变式1．（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，．
(1)求的取值范围；
(2)求和面积之差的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
可化为，
由余弦定理知，，
又,所以，
由,
因为为锐角外接圆圆心，
所以
由余弦定理得，
，
所以，
由正弦定理得，，
则
，
由,解得，
所以，
则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，
则,
且,即,
因为,
所以,
,
所以
,
所以当即时，
和面积之差的最大值
变式2．（25-26高三上·湖南益阳·月考）在中，．
(1)求角；
(2)D为边BC的中点，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，，
则，由于，则，
则，所以；
（2）因为D为边BC的中点，所以，
则，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
变式3．（25-26高三上·四川德阳·月考）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为中，，即，
而，故，
故，又，
则；
（2）由（1）以及题设可得；
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，，，
则，
则，则，
即，则，
即面积的取值范围为.考点目录
周长问题
周长最值问题
面积问题
面积最值问题