边长缺失问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份边长缺失问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共15页。
例1．（25-26高二上·江苏·期末）如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O．
(1)求证：平面；
(2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值．
例2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点.
(1)证明：；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求.
例3．（25-26高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，，.
(1)点在棱上，若平面，求证：为的中点；
(2)若与平面所成的角为，求的长．
变式1．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形．
(1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
变式2．（25-26高二上·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，．

(1)求证：为直角三角形；
(2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．
变式3．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图，在长方体中，.
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面所成角的正弦值为，求.
考点二 动点存在性问题
例1．（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点．
(1)证明：平面ABC；
(2)问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°，若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．
例2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．
(1)求二面角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)若是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指明点的位置，若不存在说明理由．
例3．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
变式1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长.
变式2．（25-26高三上·广东广州·月考）如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．

(1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系（右手系），写出点的坐标．
(2)求点到平面的距离．
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
变式3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
考点三 最值与范围问题
例1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面四边形ABCD中，为边长为2的正三角形，为等腰三角形且，将沿向上翻折至，其中P为动点．
(1)若，证明：平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值取到最大值时，求点到平面的距离．
例2．（25-26高二上·山东泰安·期末）如图，为圆柱的母线，为下底面圆周上的点，与直径交于点为中点，为直径上的动点.
(1)证明：；
(2)若圆柱的体积为，侧面积为，二面角的正弦值为.
（i）求；
（ii）设直线与平面，平面所成角分别为，求的最大值.
例3．（2026·四川泸州·二模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，已知，是棱上的点．
(1)若是棱的中点，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角的最大值．
变式1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点.
(1)证明：
（i）面；
（ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变.
(2)求二面角的余弦值的取值范围.
变式2．（25-26高三上·山东日照·期末）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
变式3．（2025·山东烟台·三模）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，且二面角的大小为．底面为平行四边形，，，点Q在棱上且．
(1)若，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．考点目录
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