解三角形：边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)求；
(2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为成等差数列，所以，又，所以．
设，则，则．
（2）由（1）得，
则外接圆的半径，
则，则，，
则的取值范围为．
例2．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足．
(1)证明：；
(2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由，利用正弦定理得：，
又，
所以，
所以，
所以或，
所以或（舍去）
所以；
（2）由，所以，
又，所以，
又，所以，
又由为的平分线，
所以，
所以，
所以，
又由余弦定理得：，
所以，所以；
（3）由（1）有，又，所以，
又由正弦定理得：
，
又为锐角三角形，所以，
所以，所以，所以.
例3．（24-25高三上·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数，
(1)求角A的大小；
(2)在中，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，可以得到
再利用面积公式可以得到，
由余弦定理知，所以有
即.
因为，所以.
（2）由数量积公式可知
由二倍角公式和辅助角公式可得.
所以.
由正弦定理可得，
所以,，因为,所以，
所以
，
因为，所以.
所以，
所以的取值范围为.
例4．（25-26高三下·福建厦门·月考）已知分别为的内角所对的边，且.
(1)求；
(2)已知是边的中点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，所以．
（2）因为，，所以，
因为是的中点，所以，
所以
，
因为，所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立．所以的最大值为．
变式1．（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且.
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)钝角三角形
(2)
【详解】（1）因为，由余弦定理得，即.
故，所以，故C为钝角，
所以△ABC为钝角三角形.
另解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
即，即，
因为，所以sinB>0，
所以，故C为钝角，
所以为钝角三角形.
（2）的外接圆半径为.
由题，由正弦定理，
得，即.
由（1）知C为钝角，所以.
又.
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4.
又，
所以的周长的最大值为.
变式2．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为.
(1)求；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）由，两边平方得，故，
所以的面积，
由余弦定理及，
得，
因为，所以，因为为锐角，所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
则①，
在中，由正弦定理得，
则②，
由①②得，，
因为，所以，所以
所以，故的最小值为1.
变式3．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求角的值．
(2)若的面积为，求线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
即，
即.
因为，所以，
所以.
（2）由（1）得，
因为的面积为，即，
所以.
因为，
所以，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立，
所以线段长度的最小值为.
变式4．（25-26高三上·海南海口·月考）已知分别为锐角三个内角的对边，的面积
(1)求的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及三角形面积公式，
得，即，
由余弦定理得，即，
两边平方得，
即，即，
解得或而，有，
则.
（2）由正弦定理及得，
，
其中锐角由确定，
而为锐角三角形，
则，即，
显然，而，
，
因此，
所以的取值范围是.
考点二 面积最值与范围问题
例1．（2026·四川德阳·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若时，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，，，而，于是，
即，当且仅当时取等号，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值.
例2．（2026·北京·模拟预测）在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称．
(1)当时，求的值域；
(2)若，求的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可得
，
所以，因为，所以，
所以
，
因为，则，所以，
所以的值域为；
（2）由（1）得，又，所以，
即，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，
所以，即的面积最大值为.
例3．（25-26高三上·山东烟台·开学考试）满足：
(1)求角的大小；
(2)为的中点，且，求的最大值
(3)若为外一点，，求四边形面积的最大值
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意由正弦定理有：，即，
由余弦定理有，又，
所以；
（2）在中，，
由余弦定理有：，
所以，
所以
当时，即时，等号成立，
的最大值为；
（3）设，在中，由余弦定理得，
所以，
又，所以为等边三角形，
所以四边形的面积为
，
当时，即时，，
所以四边形的面积最大值为.
例4．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的面积的取值范围；
(3)如图，若为外一点，且，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解法一：在中，由正弦定理得，
又，
所以，
因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
因为，
所以的面积的取值范围是；
解法二：因为是锐角三角形，
所以，且，
所以，且，
又因为，所以，
所以，且，解得，
因为，
所以的面积的取值范围是；
解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角，
根据图形变化，考查的极端位置情况，
当时，，
当时，，
可得当且仅当时，是锐角三角形；
因为，
所以的面积的取值范围是；
（3）解法一：因为，所以，
因为，设，则，
在中，由正弦定理可得，即①，
在中，由余弦定理可得②，
将①式代入②式得，
化简得，解得，故．
解法二：过点作交的延长线于点，
因为，所以，
因为，设，则，
又因为，
所以在中，由正弦定理可得，即
在中，，
所以，
因为，在中，由勾股定理可得，
化简得，解得，故．
变式1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，向量，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）由（1）得，即，
当且仅当时，等号成立，
则，
所以当时，面积的最大值为．
变式2．（25-26高三上·重庆·月考）在中，角所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，.记和的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），即，
由正弦定理得，，
因为，所以，
又，所以，即，
因为，所以，所以，即．
（2）设外接圆半径为，则，
且由正弦定理，即，
因为，，
所以，
，
所以，
由为锐角三角形知，，，令，
则，
∵，
∴．
变式3．（25-26高三上·四川达州·月考）如图，在四边形中，，，，.
(1)当、、、四点共圆时，求；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当、、、四点共圆时，，，
所以，
由余弦定理得，
故.
（2）设，其中，
由余弦定理得，
故，
因为，则为钝角，且，
在中，由正弦定理得，
故，
因为为钝角，则为锐角，
故，
所以
，
故，
故.
其中为锐角，且，
因为，则，故当时，
四边形的面积取最大值.
（3）因为为钝角，则为锐角，故，
设，
，
设，则，
在中，由余弦定理可得
，
即，
在中，由正弦定理得，代入数据化简得，
在中，，即，
代入数据并化简得，
结合可得，
所以，则，
由可得，
由、和可得
，其中为锐角，且，
因为，则，故当时，取最大值，
且的最大值为.
变式4．（24-25高二下·上海闵行·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为．
(1)若，求面积；
(2)若，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，所以，可化为，
由正弦定理边化角得，，
所以，即，
由，得，解得，
所以，
因为，
所以，当时，取得最大值．考点目录
边长最值与范围问题
面积最值与范围问题