计数原理：涂色问题、数字排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三上·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．144B．288C．432D．576
例2．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（ ）

A．192B．168C．224D．208
例3．（25-26高三上·海南海口·月考）装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有 种不同的铺设方法．
例4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .

变式1．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．84种
变式2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2026·重庆·一模）在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为 ；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要 种不同的颜色．
变式4．（24-25高二下·陕西铜川·期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种.
考点二 数字排列问题
例1．（25-26高二上·江西赣州·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（ ）
A．48个B．30个C．21个D．18个
例2．（25-26高二上·江西南昌·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（）
A．21个B．20个C．19个D．18个
例3．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．60B．84C．100D．120
例4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用0、1、2、3、4可组成 个无重复数字的三位奇数.
例5．（25-26高二上·江西景德镇·月考）2025年4月23日是第三十一个世界读书日．若将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有 个
例6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数 ．
例7．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：（结果用数字作答）
(1)三位数？
(2)无重复数字的三位数？
(3)小于的无重复数字的三位数？
(4)无重复数字的三位数的奇数？
变式1．（24-25高二下·河南南阳·期末）从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（24-25高二下·重庆·期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A．180B．240C．300D．360
变式3．（24-25高二下·山东·期中）用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ）
A．10B．20C．30D．60
变式4．（25-26高三上·山东泰安·期末）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有 .
变式5．（25-26高三上·湖南·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个.
变式6．（25-26高三上·河南·月考）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为 ．
变式7．（24-25高二下·山东烟台·月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（用数字作答）
(1)无重复数字的四位奇数；
(2)无重复数字且能被5整除的四位数；
(3)无重复数字且比1203大的四位数.
考点三 相邻问题与不相邻问题
例1．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）
A．720种B．360种C．288种D．144种
例3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
例4．（25-26高三上·重庆·月考）6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ．
例5．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）如图，某农科所将一块试验田分成1，2，3，4共四个不同的区域，该农科所准备在这四个区域中栽种农作物，并要求相邻两个区域的农作物品种不同.现有4种不同的农作物品种可供选择，则不同的栽种方案共有 种；其中恰好用了3种不同农作物品种的概率为 .
例6．（24-25高二下·广东中山·月考）若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有
例7．（25-26高二上·上海·月考）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
变式1．（25-26高二上·江西抚州·期末）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（25-26高二上·吉林长春·期末）2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（ ）
A．48种B．60种C．72种D．96种
变式3．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ）
A．24种B．36种C．72种D．144种
变式4．（2025·贵州黔南·三模）有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则 （用数字作答）.
变式5．（24-25高二下·湖南·月考）设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字，且都只出现一次的信息密码有 个，含有数字，且只出现一次，与不相邻的信息密码有 个.
变式6．（24-25高三下·山东聊城·月考）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答）
变式7．（24-25高二下·天津西青·月考）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数．
(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(2)全体排成一行，男、女各不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置；考点目录
涂色问题
数字排列问题
相邻问题与不相邻问题
1
2
3
4