计数原理：捆绑法、插空法、隔板法专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．12B．30C．60D．90
【答案】B
【详解】总排列数：，
两个1相邻的排列数：，
两个2相邻的排列数：，
两个3相邻的排列数：，
两个1相邻且两个2相邻的排列数：，
两个1相邻且两个3相邻的排列数：，
两个2相邻且两个3相邻的排列数：，
两个1，两个2，两个3都相邻的排列数：，
由容斥原理得：两个1相连或两个2相连或两个3相邻的排列数为：.
所以相同的数字牌不相邻的排法总数为.
例2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（ ）
A．24B．60C．120D．240
【答案】C
【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式；
再将5个元素全排列有：，
故满足与相邻的排列共有种.
在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半，
因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种.
例3．（25-26高三上·山东日照·月考）7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有___________种不同安排方式.
【答案】1200
【详解】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列，
所以共有种情况，
其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列，
所以共有种情况，
所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共有种.
故答案为：
例4．（25-26高二上·上海闵行·期末）将2位穿红衣服的同学和1位穿蓝衣服的同学随机排成一行，若要求2位穿红衣服的同学相邻，则有______种排法.
【答案】4
【详解】将两位红衣服同学视为一个元素，与蓝衣服的同学进行排列，此时相当于排列两个元素，则其排列数为，
复合元素内部的两位红衣服同学可交换位置，则排列数为，所以共种.
故答案为：4.
变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】D
【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法，
将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种．
变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（ ）
A．12B．24C．36D．72
【答案】A
【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式
将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式,
所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法.
故选：A
变式3．（25-26高二上·江西南昌·期末）7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______．
【答案】
【详解】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，
则，，
则，
故答案为：.
变式4．（25-26高二上·北京昌平·期末）若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答）
【答案】24
【详解】因为甲、乙必须相邻，故将甲、乙捆绑到一起算作一个“个体”，内部有种排列方法，此时共有4个“个体”，
若丙不能站在两端，则丙只能站在中间两个位置中的一个，共2种排列方法，其余3个“个体”全排列，共有种排列方法，
故共有种排列方法.
故答案为：24.
考点二 插空法
例1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
【答案】B
【详解】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种；
第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种，
故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）.
例2．（25-26高三下·重庆·开学考试）将一些相同的小球放入一排盒子中，每个盒子中至多放一个小球.若要放三个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为x，若要放四个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为y，若，则这一排盒子的总个数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】B
【详解】设这一排盒子的总个数为n个，则由题结合不相邻插空法得，，且，
由可得，即且，
化简得，且，
解得（舍去）或.
所以这一排盒子的总个数为14.
例3．（25-26高二下·安徽马鞍山·月考）一个火车站有10股道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放5列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有______种．
【答案】720
【详解】总共有10股道，要停放5列火车，那么剩下的空股道有股．
这5股空股道排好后，会形成个可以插入火车的“空隙”（包括两端）．
首先，从6个空隙中选5个，有种选法，
然后，将5列不同的火车在这5个位置上进行全排列，有种排法．
总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数即种．
例4．（25-26高二下·安徽六安·月考）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入到节目单中，那么不同的插法种数为______.
【答案】
【详解】原来有3个节目，它们之间（包括两端）共有4个空，所以第一个节目有种插法；
插入一个新节目后，节目变成了个，共产生个空，所以第二个节目有种插法，
根据分步乘法计数原理，共有种插法.
变式1．（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种.
A．216B．360C．432D．672
【答案】C
【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）；
步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：；
步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法，
剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，
有种方法.故不满足条件的情况有.
故总数为：
故选：C
变式2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列，
有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法.
故选：B
变式3．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.
【答案】150
【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定，
只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡，
放法数为：；
第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端），
要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定，
选法数为：，
第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：.
变式4．（25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____．
【答案】
【详解】如果六位密码中相邻，则先排，
再利用插空法可得不同的密码个数为，
如果六位密码中不相邻，则先排，此时有个空挡，
这5个空挡中有3个空挡可以插入，故此时不同的密码个数为，
故不同密码的个数为.
考点三 捆绑法与插空法综合
例1．（25-26高三上·贵州·月考·多选）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（ ）
A．若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式
B．若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式
C．若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式
D．若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式
【答案】ABD
【详解】6首歌曲的全排列总数为种.要求B、C、D三首必须连续，采用捆绑法.
将B、C、D看作一个整体，与A、E、F共同进行排列，
将、C、D视为1个元素，与另外3个元素进行全排列，共有种排法，
B、C、D这个整体内部进行全排列，共有种排法，故总安排方式为种，故A正确；
要求B、C、D任意两首不连续，采用插空法，先将A、E、F三首歌曲进行全排列，共有种排法，
A、E、F排好后形成4个空位（包含首尾），从这4个空位中选3个插入B、C、D，共有种排法.
总安排方式为种，故B正确；
要求在之前演唱且无需连续，利用对称性分析，
在全排列中，在前和在前的概率均等，各占总数的一半.
故总安排方式为种，故C错误；
要求必须先演唱，必须不最后演唱，先确定的位置，固定在第1位，有1种排法，
再确定的位置，不能在第1位，也不能在第6位，
只能在第2、3、4、5位中选择，共有种排法，
则剩余的4首歌曲在剩下的4个位置进行全排列，共有种排法，
总安排方式为种，故D正确.
故选：ABD.
例2．（25-26高二上·辽宁大连·期末·多选）某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（ ）
A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序
B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序
C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序
D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序
【答案】ABD
【详解】A：某道工序放在最前，其他道工序进行排列即可，
则有种方法，因此本选项说法正确；
B：因为某道工序不放在最前，也不放在最后，所以从其他道工序中选出道工序放在最前最后两个位置，
这道工序和剩下的道工序进行排列，则有种方法，因此本选项说法正确；
C：因为某两道工序必须相邻，所以把这两道工序捆绑，连同其他道工序进行排列，
则有种方法，因此本选项说法不正确；
D：因为某两道工序不能相邻，所以首先其他道工序进行排列，形成个空，然后这两道工序进行插空，
则有种方法，因此本选项说法正确.
故选：ABD
例3．（24-25高三上·广西梧州·期中·多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有30种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】BD
【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，故A错误；
对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，故B正确；
对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，故C错误；
对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，分两种情况：
若课程“礼”排在最后一周，有种排法，
若课程“礼”不排在最后一周，有种排法，
共有种排法，故D正确.
故选：BD.
变式1．（24-25高三上·广东佛山·月考·多选）象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有120种排列方式
B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式
C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式
D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式
【答案】ACD
【详解】A对，由排列知识可得共有种排列方式．
B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式，
再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有种排列方式．
C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空，
再将两个“马”插空，故共有种排列方式．
D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空，
故共有种排列方式．
故选：ACD.
变式2．（24-25高三上·陕西西安·月考·多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A．5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法
B．5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法
C．5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法
D．5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法
【答案】ABC
【详解】选项A：把甲、乙看成一个整体与其余3人全排列，有种排法，
甲、乙两人之间有种排法，所以共有种排法，A正确.
选项B：先排丙、丁、戊有种排法，丙、丁、戊形成4个空，
从4个空中选2个排甲、乙，有种排法，所以共有种排法，B正确.
C选项：先从中间3个位置选一个给甲，有种方法，其余4人全排列，有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有种排法，C正确.
D选项：甲、乙站前排有种排法，丙、丁、戊站后排有种排法，
根据分步乘法计数原理，共有种排法，D错误.
故选：ABC
变式3．（24-25高二下·江苏镇江·期末·多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
C．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
D．甲乙不相邻的排法种数为36种
【答案】BC
【详解】对于A，甲、乙必须相邻，可将其看成一个整体，有种排法，故A错误；
对于B，甲乙丙按从左到右的顺序排列，先排丁戊两人，剩余3个位置依次站甲乙丙，有种排法，故B正确；
对于C，若甲排最左端，有种排法，若乙排最左端，有种排法，
所以总共有种排法，故C正确；
对于D，先排丙丁戊三人，再将甲乙插空，总共有种排法，故D错误.
故选：BC.
考点四 隔板法
例1．（2026·江西上饶·一模）将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ）
A．4种B．6种C．10种D．12种
【答案】C
【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法，
将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板，
即可将小球分成3份，每份至少有1个，
因此，不同的放法共有种，
故选：C．
例2．（25-26高三上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（ ）
A．21B．28C．35D．42
【答案】A
【详解】三元一次方程的正整数解的组数，
等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法.
只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可，
则共有种分法，
即三元一次方程的正整数解的组数为21.
故选：A.
例3．（2026·湖北荆州·一模）科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，6位数由4个数字组成，那么总可能数为种，
排除“缺少1个数字”的情况：选1个数字不出现，剩余3个数字组成6位数，共
种；
补回“缺少2个数字”的情况（容斥原理）：选2个数字不出现，剩余2个数字组成6位数，共
种；
排除“缺少3个数字”的情况：选3个数字不出现，剩余1个数字组成6位数，共
种；
根据容斥原理，符合条件的密码数为.
所以能成功破解该密码的概率为.
故选：B.
例4．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（ ）
A．组B．组C．组D．组
【答案】C
【详解】原题等价于下面这个问题：
将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法?
由隔板法可得，方程的正整数解共有组．
故选：C
变式1．（25-26高三上·河北衡水·期末）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________.
【答案】
【详解】设这个四位数的各位数字从最高位到最低位依次是，
则，均为整数，
设，，，，
，，，
对于方程
可将其看作是把个相同的元素分成组，每组元素个数分别对应的值，
为了使用隔板法，我们可以想象在个元素和个隔板的排列中，
隔板将元素分成组，总共有个位置，从中选个位置放隔板，
其余位置放元素，其组合数为.
故答案为：.
变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组．
【答案】21
【详解】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空，
则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择，
所以原方程共有21组解.
故答案为：21.
变式3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种.
【答案】36
【详解】因为个评优指标没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙．
在个空档中选个位置插个隔板，把评优指标分成份，对应地分给3个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法．
故答案为：36.
变式4．（2025·湖南长沙·三模）在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为_____________．（用数字作答）
【答案】969
【详解】点是三棱锥内部（不包括表面）的整点，则
当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为；
，当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为，
所以三棱锥内部的整点的个数为
.
故答案为：969考点目录
捆绑法
插空法
捆绑法与插空法综合
隔板法