解三角形中最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份解三角形中最值与范围问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。

(1)若，求；
(2)求平面四边形面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，得，而，则，
，由，得，，
则，，在中，由正弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，设，
在中，由正弦定理得，
则，又，
因此四边形的面积
，由，得，
因此，即，
所以四边形面积的取值范围是.
例2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且．
(1)证明：；
(2)若，求长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由与正弦定理可得
展开得，
所以，即得，
由于为锐角三角形，和均在内， 则或，
当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去.
故，又平分，所以．
故．

（2）由（1）知，则．
因为为锐角三角形，
所以
解得
已知，由正弦定理，得
因平分，则
设，则，且由（1）知，
则得（*）
因，
则，
设，由，得，则．
由可得，
又函数在上单调递增，
故，即.
例3．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且.
(1)求角；
(2)已知，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，即，
所以，
又，所以；
（2）由（1）知，又，
由正弦定理，
所以，
所以
，
又，所以，
所以，
所以的取值范围是.
例4．（2026·河北承德·一模）已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且．
(1)求角；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，，
得，
即，
即，
所以，
故，因为，所以，
故在中，，
因为，所以．
（2）不妨设点靠近点，，
设，
则在中，，
在中，，
，
设，则，故，
因为函数在上单调递减，
所以时，，故的最小值为2．
变式1．（25-26高二下·四川凉山·开学考试）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)若，且的面积为，求的周长；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，
根据正弦定理得：，
在中，，则，即，
又，故．
（2）由，，则．
由余弦定理，解得，
则的周长为．
（3）因为
，
又因为，所以，则，
所以的取值范围为．
变式2．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足．
(1)求角；
(2)若，且满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，则，即，
结合正弦定理可得：
，则，
因为、，则，所以，
可得，故；
（2）因为，所以，
是锐角三角形，则，
又，故，

在中，，，
由正弦定理可得，
所以，
，
因为，则，所以，
所以的取值范围是.
变式3．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为．
(1)求；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
所以，
由余弦定理及，
得，
因为，所以．
（2）由（1）得，又因为A为锐角，所以．
所以，则．
因为为锐角三角形，所以，即．
由正弦定理得，
令，
则，
因为，所以．
，
因为，所以．
所以，
故．
变式4．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，，，可得：
，
又，
所以，因为，
化简可得：，
因为是锐角三角形，，
故；
（2）由得，即，
因为是锐角三角形，所以，
解得，
由得，
故，
代入得： ，
因此的取值范围为.
考点二 利用基本不等式求最值与范围问题
例1．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
(1)求角C及边c的值；
(2)求的最大值.
【答案】(1)，
(2)4
【详解】（1）由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
（2）由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
例2．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且．
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
所以由余弦定理，得，
因为中，，所以，
，所以.
（2）由和，得，
因为，当且仅当时取等号，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积，
即的面积的最大值为.
例3．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且．
(1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，即,
故，则,
由正弦定理可得，
由可得,
由于D为AB边上靠近点A的三等分点，，故,
平方可得,
故，
由余弦定理可得，故，
则，
将代入上式可得，
由于该关于的一元二次方程有解，故，故，
由于,当且仅当取到等号.
故三角形面积的最大值为，
（2）由（1）可得，故，
而，故，
而，故，
故，故，故，
因此，综上可得.
例4．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且.
(1)若，求的大小；
(2)当取得最小值时，求的面积.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为的角平分线交BC于点D，所以，
由，得，
则，
即，所以，
在中，由余弦定理得，
即；
（2）由，
得，
得，
化简得，即，
所以，
当且仅当时等号成立，取得最小值，
此时，面积为．
变式1．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．
(1)若，求的大小；
(2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度.
【答案】(1)；
(2)2
【详解】（1）因为，由正弦定理得.
因为的角平分线交于点，所以，
由，得，
则，
即，所以.
在中，由余弦定理得，
即；
（2）由，得，
得，
化简得，即，
所以，即，
当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值，
此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线.
即重合，故.
变式2．（25-26高三下·山东·月考）在中，内角的对边分别为，且．
(1)若，求的值；
(2)若均为锐角，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，所以，
因为，所以，两边平方可得，
即，由，可得，解得或，
因为，故,所以.
（2）因为，所以,
即，
整理得，
两边同除以，得.
即，且，
，
当且仅当时，即.
所以的最小值为.
变式3．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
，
，，则，
，.
（2）因为是中点，所以.
两边平方得 .
所以，即，
又由均值不等式得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
变式4．（25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设．
(1)求线段的长度（用表示）；
(2)若，求的值；
(3)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，．
在中，由余弦定理得
因此.
（2）在中，由正弦定理得，
即，
所以．
（3）在中，由正弦定理得，
即，
即，
解得
当且仅当，即时，取到最大值.
方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系．
由可知，点在以为直径的圆上，
显然当直线与圆相切时，的最大值．
此时，故．考点目录
利用三角函数值域求最值与范围问题
利用基本不等式求最值与范围问题