甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. “集合A、B满足：”的一个充要条件是（ ）
2. 若复数满足，则（ ）
3. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
4. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ）
5. 已知平面向量，，且，则（ ）
6. 若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（ ）
7. 设，若，则（ ）
8. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的面积为，的面积为.若双曲线的离心率为，，则（ ）
二、多选题
9. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ）
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
11. 抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（ ）
三、填空题
12. 甲、乙等个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是______．
13. 已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______．
14. 若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如.若数列的前n项和为，则_______
四、解答题
15. 在中，内角所对的边分别为，．
(1)求；
(2)已知，△的周长为，求△的面积．
16. 2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数和第80百分位数；
(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率．
17. 如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点．
(1)求证：平面平面．
(2)求二面角的余弦值．
18. 已知数列满足，，记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前项和为，求．
(3)在第（2）问的条件下，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点.
(1)求曲线的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．1
D．
A．
B．
C．
D．
A．24
B．20
C．16
D．12
A．
B．4
C．
D．24
A．
B．45
C．
D．90
A．
B．
C．
D．
A．3
B．2
C．
D．
A．底面半径为1
B．表面积为
C．体积为
D．外接球与内切球半径比值为3
A．
B．点是图象的一个对称中心
C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
D．若，则或
A．抛物线的方程为
B．的最小值为4
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．存在直线，使得两点关于对称