甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）含答案解析含答案解析含答案解析

这是一份甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）含答案解析含答案解析含答案解析，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷满分150分，考试时间为150分钟。
答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息。
所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.与向量平行的单位向量为( )
A. B. C. 或 D.
3.正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为( )
A. B. C. D.
5.饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要名饱和潜水员完成，利用计算机产生之间整数随机数，我们用，，，表示饱和潜水深海作业成功，，，，，，表示饱和潜水深海作业不成功，现以每个随机数为一组，作为名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下组随机数：，，，，，，，，，由此估计“名饱和潜水员中至少有人成功”的概率为( )
A. B. C. D.
6.在中，角、、所对边分别为、、若，则该三角形一定是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
7.从分别标有，，，，的个小球中，不放回的随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为，若，则为实数的概率为( )
A. B. C. D.
8.在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分。
9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”， “家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则( )
A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
11.若正四面体的棱长为，是棱上一动点，其外接球、内切球的半径分别为，，则( )
A.
B.
C. 正四面体棱切球的体积为
D. 若是棱的中点，则当最小时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在二面角中，，，，，且，，若，，二面角的余弦值为，则 直线与平面所成角正弦值为 ．
14.在长方体中，底面是边长为的正方形，，过点作平面与，分别交于，两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：
异面直线与所成角的余弦值为
平面
点到平面的距离为
截面面积的最小值为．其中正确的是 请填写所有正确说法的编号
四、解答题：共77分。
15.本小题13分
如图，在矩形中，点是边上的中点，点在边上．
若点是上靠近的三等分点，设，求的值；
若，，求的取值范围．
16.本小题15分
年月日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程年发射任务首战告捷为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
Ⅰ求频率分布直方图中的值若从成绩不高于分的同学中按分层抽样方法抽取人成绩，求人中成绩不高于分的人数；
Ⅱ用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
Ⅲ若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
17.本小题15分
在中，角的对边分别为，已知．
求角的大小；
若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
18.本小题17分
维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离设维空间点集或，其中．
若，，且点，，写出所有的点的坐标；
任取维空间中的不同两点．若，求的概率；
19.本小题17分
如图，在四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，点，，，在同一个圆的圆周上，且，，平面平面．
求证：平面平面
求三棱锥的体积
求二面角的正弦值．
2024-2025学年第二学期
期末考试高一数学答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.B
7.A
8.D
9.ACD
10.CD
11.ACD
12.
13.
14.
15.解：由题意知，
因为是边的中点，点是上靠近的三等分点，
所以，
在矩形中，，，
所以，
即，，
则．
以、分别为、轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设，其中；
则：，；，；
所以，其中；
当时取得最小值为，
或时取得最大值为，
所以的取值范围是．
16.解：Ⅰ由，
解得，
因为人，人．
所以不高于分的抽人；
Ⅱ平均数．
由图可知，学生成绩在内的频率为，在内的频率为，
设学生成绩中位数为，，则：，解得，
所以中位数为．
Ⅲ记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，
则．
所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
17.解：依题意，由正弦定理， ，
由
可得 ，
由余弦定理 ，
则 ，则 ，
因为 ，所以 ；
由 为锐角三角形， ，
可得
解得 ，
由正弦定理 ，则 ，
则 ，
则 的周长为 ，
由 ，则 ，因为 ，整理得：
，解得 或 舍去，
所以 ，则周长范围是 ；
18.解：由定义可知，，
即，且，
所以解得满足方程的点坐标为：，
固定点：设点，
因为，
因为或，或，
所以中有两项等于，两项等于，
所以满足条件的所有可能情况有，
因为两不同点所有可能情况共有种，
所以的概率．
19.解：证明：取的中点，连接，如图，
因为为等边三角形，
所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为点，，，在同一个圆的圆周上，，
所以，
即，又，，平面，
故AD平面，
又平面，故平面平面
在中，，
在中，，
又由知平面，
故，
故三棱锥的体积为；
如图，设的中点为点，连接，则，
过点作直线交于点，
由可知，平面，
所以平面，
过点作交于点，连接，
则，即为二面角的平面角，
在底面中，过点作交的延长线于点，如图，
则四边形是矩形，
不妨设，，，，则有
解得负值舍去，
所以为的中点，，
于是在中，，，所以，
则，
故二面角的正弦值为．