2024-2025学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算中错误的是( )
A. (3x)′=3xln3B. (lnxx)′=1−lnxx2
C. (sinx+lna)′=csx+1aD. (e−x)′=−e−x
2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB−asinA=5csinC，csA=12，则bc=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
3.过点(−1,1)的直线l与曲线f(x)=x3−x2−2x+1相切，则直线l的斜率为( )
A. 不存在B. −1C. 3D. 3或−1
4.设f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，其导函数为f′(x)，当0≤x≤3时，f(x)图象如图所示，且f(x)在x=1处取得极大值，则f(x)⋅f′(x)>0的解集为( )
A. (−3,−1)∪(0,1)
B. (−3,−1)∪(1,3)
C. (−1,0)∪(0,1)
D. (−1,0)∪(1,3)
5.投掷3枚质地均匀的骰子，设事件A=“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件B=“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则P(B|A)=( )
A. 12B. 34C. 14D. 38
6.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1AB=π3，AA1=AB=1，E为C1D1的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A. 0
B. 32
C. 12
D. 34
7.已知函数f(x)=ln( x2+1+x)−2ex+1，则不等式f(x)+f(2x−1)>−2的解集是( )
A. (13,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,13)D. (−∞,1)
8.如图，在菱形ABCD中，AB=4 33，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为2 2，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法错误的是( )
A. 平面ABD⊥平面BCD
B. 线段PQ的最小值为 2
C. 当AQ=QC，4PD=DB时，点D到直线PQ的距离为 1414
D. 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 64
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量X的分布列为
则下列选项正确的是( )
A. m=14B. P(|X−3|=1)=512
C. E(X)=3512D. D(X)=1916
10.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=13BD；点F在CB1上，且CF=13CB1.则下列结论正确的是( )
A. 线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段
B. 异面直线AA1与BD的距离为12
C. 点D1到直线EF的距离为 143
D. 点D1到平面DEF的距离为 63
11.已知函数f(x)=x2x−1+x2−2，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的定义域为R
B. f(x)是偶函数
C. f(x)是奇函数
D. 对任意的x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，f(x)>−2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量a=(−1,x,4)与b=(2x,−8,y)共线，且方向相同，则x+y= ______．
13.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为______．
14.已知f(x)=−1x+x,g(x)=x2−4x−3，若∀x1∈[−2,−1]，∃x2∈[1,a]，f(x1)b>0)过点A(−2,0)，且a=2b．
(Ⅰ)求椭圆ω的方程；
(Ⅱ)设O为原点，过点C(1,0)的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点.求证：|OM|⋅|ON|为定值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.B
6.A
7.A
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.14

14.(2+ 7,+∞)
15.解：(1)设数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1=1，
若a1，a2，a5成等比数列，可得1×(1+4d)=(1+d)2，
解得d=2或d=0(舍去)，
则an=1+2(n−1)=2n−1．
(2)bn=1an+12−1+3an=1(2n+1)2−1+32n−1=14(1n−1n+1)+32n−1，
可得前n项和Sn=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)+(3+27+⋯+32n−1)
=14(1−1n+1)+3(1−9n)1−9=n4n+4+38(9n−1)．
16.(1)函数f(x)=x2−10x+12lnx，于是f(1)=−9，求导得f′(x)=2x−10+12x，
解得f′(1)=4，所以所求切线方程为y+9=4(x−1)，即y=4x−13．
(2)函数f(x)=x2−10x+12lnx的定义域为(0,+∞)，
求导得f′(x)=2x−10+12x=2(x−2)(x−3)x，
当00，当2