2025-2026学年甘肃省平凉市第一中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年甘肃省平凉市第一中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=a2−16+(a+4)i为纯虚数，则实数a=( )
A. −4B. 4C. 0D. 4或−4
2.已知圆锥的底面半径是1，高为 3，则圆锥的侧面积是( )
A. πB. 3πC. 4πD. 2π
3.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=( )
A. 0.58B. 0.12C. 0.7D. 0.88
4.已知tanαtanβ=2，cs(α+β)=−15，则cs(α−β)=( )
A. 35B. −35C. 115D. −115
5.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n
B. 若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
D. 若m⊂α，m//β，n⊂β，n//α，则α//β
6.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是( )
A. 事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B. 事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
C. 该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为18
D. 该家庭3个小孩中至少有2个男孩的概率为12
7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2−a2=8，则△ABC的面积为( )
A. 33B. 2 33C. 3D. 34
8.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为6的正方形，AA1=8，点M是棱AA1的中点，E是棱AB上的一点，且AE=2EB，则过点D1，M，E的平面截直四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得截面的周长为( )
A. 6 2+4 13B. 6 2+6 13C. 10 2+2 13D. 10 2+4 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(csx,sinx)，b=(1,0)，则下列说法正确的为( )
A. 若x=0，则a=bB. 若a=b，则x=0
C. 若x=π2，a⊥bD. 若a⊥b，则x=π2
10.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcsC+ccsB=2，A=π3，则( )
A. a=2B. △ABC的外接圆半径为4 33
C. △ABC面积的最大值为 3D. △ABC的内切圆半径的最大值为 33
11.如图，M为棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，则( )
A. 当M在平面A1B1C1D1内运动时，四棱锥M−ABCD的体积是定值
B. 当M在直线A1C1上运动时，BM与AC所成角的取值范围为[π4,π2]
C. 使得直线MA与平面ABCD所成的角为60°的点M的轨迹长度为16π
D. 若N为棱A1B1的中点，当M在底面ABCD内运动，且MN//平面B1CD1时，MN的最小值 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1, 2,3，则此球表面积为 ．
13.已知e1与e2不共线，AB=3e1+2e2，CB=ke1+e2，CD=3e1−2ke2，若A，B，D三点共线，则k= ．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=bcsC−ccsB，则csA的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=3，M为AB的中点．
(1)求证：C1B//平面A1CM；
(2)求异面直线A1M与BC1所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
设m为实数，已知函数f(x)=sin(x+π6)+cs(x−π3)−4cs2x2+m(x∈R)的最小值为−2．
(1)求m的值；
(2)若f(α+π6)=7 25，tanβ=43，α，β均为锐角，求α+β．
17.(本小题15分)
某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图(各区间分别为[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95])．
(1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；(每组数据用所在区间的中点值作代表)
(2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[45,55)和[85,95]内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在[85,95]内的概率；
(3)从竞赛成绩在[85,95]内的学生中选取甲、乙2人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为45，乙每轮答对的概率为34，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对3题的概率．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csB=35，a=4，b+c=8．
(1)求c；
(2)求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数φ(x)=asinx+bcsx(a2+b2≠0)称向量OM=(a,b)为函数φ(x)的相伴向量，同时称函数φ(x)为向量OM的相伴函数.已知OA,OB分别为函数f(x)，g(x)的相伴向量，
(1)若f(x)=3sin(x−π4)+cs(x−π4),x∈R，
(i)求|OA|；
(ii)若OA⊥OB，且|g(x)|在x0处取到最大值，求tan(2x0+π4)的值．
(2)若f(x)g(x)的最大值为2026，求OA⋅OB的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】12π
13.【答案】−94
14.【答案】2 23
15.【答案】证明见解析；
13013．
16.【答案】m=2 α+β=3π4
17.【答案】71.5；
310；
2150
18.【答案】c=307
S△ABC=487
19.【答案】(i) 10；(ii)−7 2026