甘肃省兰州第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题（含答案解析）

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一、解答题
1. 已知椭圆的长轴长为4，左､右焦点分别为是上一点，且.
(1)求的方程；
(2)过作直线交于两点（在轴上方）.
（i）求面积的最大值；
（ii）若的右顶点为，直线与轴分别交于两点，证明：四点共圆.
2. 已知数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求满足的正整数的最大值；
(3)若，求数列的前项和．
3. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，，离心率为，，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若以为方向向量的直线经过，求到的距离；
(3)双曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
4. 已知抛物线的焦点在直线上．
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值．
5. 已知直线与直线相交于点．
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；
(2)求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程．
二、填空题
6. 为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛，在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线：为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点A处，点A在第一象限，且直线的倾斜角为。已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是______．
7. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______.
8. 在数列中，，，则______.
三、多选题
9. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ）
10. 已知为正项等比数列的前项积，若，，则（ ）
11. 已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ）
四、单选题
12. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ）
13. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ）
14. 已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（ ）
15. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
16. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ）
17. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ）
18. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
19. 直线的一个方向向量是（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．曲线关于直线对称
B．曲线经过点，其方程为
C．曲线围成的图形面积小于
D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
A．的公比的取值范围为
B．数列为递增数列
C．当时，最小
D．当时，最大
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．
D．4
A．
B．
C．
D．
A．100π
B．75π
C．50π
D．25π
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．10
C．19
D．38
A．
B．
C．
D．