2025~2026学年甘肃省平凉市第一中学高二上册1月期末考试数学试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年甘肃省平凉市第一中学高二上册1月期末考试数学试卷（原卷），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. “集合A、B满足：”的一个充要条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
3. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A. 24B. 20C. 16D. 12
5. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. 4C. D. 24
6. 若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（ ）
A. B. 45C. D. 90
7. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的面积为，的面积为.若双曲线的离心率为，，则（ ）
A 3B. 2C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ）
A. 底面半径为1B. 表面积为
C. 体积为D. 外接球与内切球半径比值为3
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 点是图象的一个对称中心
C. 图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
D. 若，则或
11. 抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为4
C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D. 存在直线，使得两点关于对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 甲、乙等个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是______．
13. 已知圆和圆相交，若点在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______．
14. 若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如.若数列的前n项和为，则_______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，．
（1）求；
（2）已知，△的周长为，求△的面积．
16. 2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中的值；
（2）试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数和第80百分位数；
（3）该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60分以下）学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率．
17. 如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是中点．
（1）求证：平面平面．
（2）求二面角的余弦值．
18. 已知数列满足，，记．
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，求．
（3）在第（2）问的条件下，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知曲线离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：为定值；
（3）已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值.