2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 068-课时作业61 椭圆（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 068-课时作业61 椭圆（教用），共6页。试卷主要包含了已知曲线C，已知椭圆C，已知F1,F2是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题3分，多选题每小题4分，填空题每小题3分，共31分.
1．已知椭圆x24+y2k=1的一个焦点为F(0,1)，则k=（ ）
A. 3B. 5C. 3D. 5
【答案】D
【解析】由题意知焦点在y轴上，故k>4,k−4=1,解得k=5.故选D.
2．（2026·广东深圳模拟）已知以椭圆的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 32B. 12C. 13D. 52
【答案】B
【解析】由题意得a=2c，所以该椭圆的离心率e=ca=12.故选B.
3．（2025·河北秦皇岛三模）若点P(1,−a)在椭圆x2−y22a=2的内部，则实数a的取值范围为（ ）
A. (−2,+∞)B. (−2,−12)∪(−12,0)
C. (−2,0)D. (−2,−12)∪(−12,+∞)
【答案】B
【解析】由点P(1,−a)在椭圆x2−y22a=2的内部，可得1−a22a0)，即x28+y22=1(y>0)，所以点M的轨迹方程为x28+y22=1(y>0).故选A.
5．（2025·湖北黄冈一模）已知实数4，m，9成等比数列，则圆锥曲线x2m+y2=1的离心率为（ ）
A. 56B. 7C. 306D. 306或7
【答案】D
【解析】因为实数4，m，9成等比数列，所以m2=4×9=36，则m=±6.
当m=6时，圆锥曲线x2m+y2=1，即x26+y2=1为椭圆，其离心率e1=6−16=306；
当m=−6时，圆锥曲线x2m+y2=1，即y2−x26=1为双曲线，其离心率e2=6+11=7.
所以圆锥曲线x2m+y2=1的离心率为306或7.故选D.
6．（2025·山西临汾三模）已知动点M(x,y)满足(x+3)2+y2+(x−3)2+y2=10，则动点M的轨迹方程是（ ）
A. x25+y24=1B. x24+y25=1C. x225+y216=1D. x216+y225=1
【答案】C
【解析】由题意可得动点M(x,y)到(−3,0)与(3,0)两点的距离之和为10，且10>3+3=6，则动点M(x,y)的轨迹为椭圆，易知a=5，c=3，b=a2−c2=4，即动点M的轨迹方程为x225+y216=1.
7．（2025·江西新余模拟）已知椭圆C:x24+y2m=1(00)的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，以F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心并交椭圆于M，N两点，若直线MF1与圆F2相切，则a=_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】3+12
【解析】由题意可知，圆F2的半径为|OF2|=1(O为坐标原点，因为直线MF1与圆F2相切，所以由圆的几何性质可得MF1⊥MF2，且|MF2|=1，由勾股定理可得|MF1|=|F1F2|2−|MF2|2=22−12=3，因为点M在椭圆上，所以由椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3+1，故a=3+12.
10．（2025·安徽合肥模拟）已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则1|MF1|+1|MF2|的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】23
【解析】因为F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，所以|MF1|+|MF2|=6，
所以1|MF1|+1|MF2|=16×(1|MF1|+1|MF2|)(|MF1|+|MF2|)=16(2+|MF2||MF1|+|MF1||MF2|)≥23，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时取等号，所以1|MF1|+1|MF2|的最小值为23.
能力强化练
单选题每小题3分，多选题每小题4分，填空题每小题3分，解答题每题10分，共24分.
11．（2025·安徽合肥模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上一点，P，Q分别是MF1,MF2的中点，O为坐标原点，若|OP|2+|OQ|2=a2−b2，且四边形OPMQ的面积为12，则椭圆C的短轴长为（ ）
A. 2B. 1C. 12D. 22
【答案】A
【解析】因为P，Q分别是MF1,MF2的中点，所以|OP|=12|MF2|,|OQ|=12|MF1|，记c=a2−b2，由题知|OP|2+|OQ|2=a2−b2=c2=14(|MF1|2+|MF2|2)，所以|MF1|2+|MF2|2=4c2=|F1F2|2，所以MF1⊥MF2，由四边形OPMQ的面积为12，得|MP|⋅|MQ|=12|MF1|⋅12|MF2|=12,则|MF1|⋅|MF2|=2，因为|MF1|+|MF2|=2a，所以4a2=(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|⋅|MF2|=4c2+4，
可得4b2=4a2−4c2=4，解得b=1，因此椭圆的短轴长为2b=2.
12．（2025·山东青岛三模）多选 已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>3)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，△AF1F2为正三角形，过F1的直线l与C交于M，N两点，则（ ）
A. 椭圆C的离心率为12
B. |MF1|⋅|MF2|的最大值为3
C. MF1⋅MF2的取值范围是[2,3]
D. 当直线l的倾斜角为π6时，△AMN的周长为8
【答案】ACD
【解析】对于A，由△AF1F2为正三角形得a=2c，所以椭圆C的离心率e=ca=12，又b2=a2−c2=3，所以c=1,a=2，所以椭圆C:x24+y23=1，故A正确；
对于B,根据椭圆的定义，可知|MF1|+|MF2|=2a=4，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=4，当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为4，故B错误；
对于C,设M(x,y)，因为F1(−1,0),F2(1,0)，所以MF1=(−1−x,−y),MF2=(1−x,−y)，因为M(x,y)在椭圆C:x24+y23=1上,所以y2=3−3x24,则MF1⋅MF2=x2−1+y2=x2−1+3−34x2=14x2+2，因为−2≤x≤2，所以MF1⋅MF2的取值范围是[2,3]，故C正确；
对于D,因为△AF1F2是正三角形，所以当过F1的直线l的倾斜角为π6时，直线l是AF2的垂直平分线，连接NF2,所以△AMN的周长为|AN|+|AM|+|MN|=|AN|+|AM|+|NF1|+|MF1|=|NF2|+|MF2|+|NF1|+|MF1|=(|NF1|+|NF2|)+(|MF1|+|MF2|)=4a=8，故D正确.故选ACD.
13．（2025·湖南邵阳三模）多选 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上顶点为B(0,2)，BF1⋅BF2=1，点M在C上，则（ ）
A. C的方程为x23+y22=1
B. |MF1|的取值范围为(3−1,3+1)
C. 若|MF1|⋅|MF2|=83，则∠F1MF2=60∘
D. 若点P的坐标为(1,−1)，则|MP|+3|MF2|的最小值为2
【答案】ACD
【解析】设F1(−c,0)，F2(c,0)，则BF1=(−c,−2)，BF2=(c,−2)，所以BF1⋅BF2=−c2+2=1，得c2=1，由题可知，b=2，a2=b2+c2=3，所以C的方程为x23+y22=1，A正确；
|MF1|的最大值为a+c=3+1，最小值为a−c=3−1，所以|MF1|的取值范围为[3−1,3+1]，故B错误；
|MF1|+|MF2|=2a=23，|MF1|⋅|MF2|=83，由余弦定理的推论可知，cs∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−4c22|MF1||MF2|=(|MF1|+|MF2|)2−2|MF1||MF2|−4c22|MF1||MF2|=12−163−4163=12，所以∠F1MF2=60∘ ，故C正确；
设点M到右准线x=a2c=3的距离为d，|MF2|d=ca=13，则d=3|MF2|，则|MP|+3|MF2|=|MP|+d，当MP垂直于准线x=3时，|MP|+d取得最小值，为点P(1,−1)到准线x=3的距离，为2，故D正确.故选ACD.
14．（2025·江西南昌模拟）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F1，F2，其离心率e=35，点P是椭圆C上异于顶点的一点，线段PF1与y轴交于M点，若|MF1|=|PF2|，则cs∠F1PF2=_ _ _ _ _ _ .
【答案】718
【解析】由e=35，可知ca=35，设a=5t,c=3t，|MF1|=l，则在△PF1F2中，cs∠F1PF2=l2+(10t−l)2−(6t)22⋅l⋅(10t−l)，
连接MF2,
在△PMF2中，cs∠F1PF2=l2+(10t−2l)2−l22⋅l⋅(10t−2l)，
则l2+(10t−l)2−(6t)22⋅l⋅(10t−l)=l2+(10t−2l)2−l22⋅l⋅(10t−2l)，化简得l=185t，
所以cs∠F1PF2=l2+(10t−l)2−(6t)22⋅l⋅(10t−l)=(185t)2+(10t−185t)2−(6t)22⋅185t⋅(10t−185t)=718.
15．已知椭圆C1与椭圆C2:x230+y25=1具有共同的焦点F1，F2，点P在椭圆C1上，PF1⊥PF2，_ _ _ _ .
（1） 求椭圆C1的标准方程；
（2） 求△PF1F2的面积.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线处，并作答.
①椭圆C1过点(52,0)；②椭圆C1的短轴长为10；③椭圆C1的离心率为22.
【解析】
（1） 设椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，a2=b2+c2，
因为椭圆C1与椭圆C2:x230+y25=1具有共同的焦点，所以c2=25.
选①，由已知可得a=52，则b2=25，所以椭圆C1的方程为x250+y225=1.
选②，由已知可得b=5，则a2=50，所以椭圆C1的方程为x250+y225=1.
选③，由已知可得ca=22，则a2=50，所以b2=25，所以椭圆C1的方程为x250+y225=1.
（2） 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=102，
又PF1⊥PF2，
所以|PF1|2+|PF2|2=4c2=100，
则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=100+2|PF1|⋅|PF2|=200，解得|PF1|⋅|PF2|=50，
所以S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=25.
思维创新练
16．（2025·四川成都三模）（5分）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的点P反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在点P处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的平分线）.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为215，坐标原点O到点P处切线的距离为a2，且|PF1|⋅|PF2|=ab，则椭圆C的长轴长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】如图，设点P处的切线为l,PM为∠F1PF2的平分线，交x轴于点M，
则PM⊥l，
过点F1，F2分别作F1A⊥l,F2B⊥l，垂足分别为A,B，过点O作ON⊥l于点N.
设∠F1PF2=2θ ，则∠F1PM=∠MPF2=θ .
因为PM⊥l，所以∠APF1=∠BPF2=π2−θ ，所以|AF1|=|PF1|sin(π2−θ)=|PF1|csθ ,|BF2|=|PF2|sin(π2−θ)=|PF2|csθ .
因为O为F1F2的中点，所以由中位线定理，得|ON|=12(|AF1|+|BF2|)=12(|PF1|csθ+|PF2|csθ)=12(|PF1|+|PF2|)csθ=12×2acsθ=acsθ=a2，所以csθ=12.
因为θ∈(0,π)，所以θ=π3，所以∠F1PF2=2θ=2π3.
因为|PF1|⋅|PF2|=ab，所以在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs2π3=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1||PF2|−2|PF1|⋅|PF2|cs2π3，即4c2=4a2−2ab−2ab×(−12)，所以ab=4a2−4c2=4b2，即a=4b.又a2−b2=c2=15，所以b=1,a=4，
即椭圆C的长轴长为8.