2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 071-课时作业64 抛物线（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 071-课时作业64 抛物线（教用），共13页。试卷主要包含了已知抛物线Γ，已知抛物线C，抛物线有如下光学性质等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题3分，多选题每小题5分，填空题每小题4分，共37分.
1．（2025·广东佛山三模）已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)上的点A的横坐标为4，抛物线Γ 的焦点为F.若|AF|=5，则p=（ ）
A. 18B. 9C. 4D. 2
【答案】D
【解析】由抛物线的定义得|AF|=xA+p2=5，又xA=4，所以p=2.
2．（2025·湖北黄冈模拟）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(−9,0)与点F关于直线l对称，则C的方程为（ ）
A. y2=3xB. y2=6xC. y2=12xD. y2=24x
【答案】C
【解析】由题意知F(p2,0)，准线方程为x=−p2，根据对称性得p2+(−9)=2×(−p2)，因此p=6，
故C的方程为y2=12x.
3．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(32,y0)在C上，|MF|=2，则|y0|=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 2
【答案】C
【解析】由抛物线的定义知|MF|=32+p2=2，解得p=1，故抛物线C:y2=2x，又点M(32,y0)在C上，则y02=2×32=3，即|y0|=3.
4．设抛物线y2=4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF=30∘ ，则|PQ|=（ ）
A. 23B. 233C. 43D. 3
【答案】C
【解析】作出示意图如图所示：
由抛物线的定义可得|PF|=|PQ|，又∠PQF=30∘ ，所以直线PF的倾斜角为120∘ ，则12|PF|+|PQ|=12|PF|+|PF|=p=2，从而|PF|=43.故选C.
5．（2025·山东济南模拟）以坐标原点为焦点，直线y=2为准线的抛物线的方程为（ ）
A. x2=−4y−4B. x2=−4y+4C. x2=4y+4D. x2=−2y+2
【答案】B
【解析】设点P(x,y)为抛物线上一点，由题意可知，点P到原点的距离等于点P到直线y=2的距离，所以x2+y2=|y−2|，化简得出x2=4−4y，即抛物线的方程为x2=−4y+4.
6．（2025·福建厦门一模）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线x=−1于点P，若PA=AB，则△OAF与△OBF的面积的比值为（ ）
A. 14B. 12C. 34D. 1
【答案】B
【解析】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，过A，B分别作直线x=−1的垂线，垂足分别为M，N，|AM|=|AF|,|BN|=|BF|，由PA=AB，得2|AM|=|BN|，即2|AF|=|BF|，所以△OAF与△OBF的面积的比值为12.
7．（2025·山西临汾一模）已知P是抛物线y2=8x上的一个动点，则P到Q(0,23)的距离与P到准线的距离之和的最小值为（ ）
A. 3B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】设抛物线y2=8x的焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知P到准线l的距离d=|PF|，
所以d+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|QF|=(23)2+22=4，当且仅当P,Q,F三点共线，且P在Q,F之间时取等号.
8．（2025·山西吕梁一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(4,1)处射入，在抛物线上的点A处反射后，再在抛物线上的另一点B处反射后射出，则△ABM的周长为（ ）
A. 374B. 252C. 13D. 15
【答案】D
【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，由MA//x轴，点M(4,1)，得A(14,1)，由抛物线的光学性质得，A,F,B三点共线，设B(y024,y0)(y00)，由图知，抛物线过点(3,−3),所以2p=93=3，所以抛物线的方程为x2=−3y.若水面上升1m，则y=−2，此时x2=6⇒x=−6或x=6,所以水面宽度为26m.
能力强化练
单选题每小题3分；多选题每小题6分；填空题每小题4分，共17分.
12．（2025·湖北武汉二模）已知O为坐标原点，过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AB|=12，△OAB的面积为46，则p=（ ）
A. 4B. 3C. 26D. 32
【答案】A
【解析】抛物线y2=2px的焦点为F(p2,0)，设直线AB:x=ty+p2，点A(x1,y1),B(x2,y2)，由x=ty+p2,y2=2px,消去x得y2−2pty−p2=0，则y1+y2=2pt,y1y2=−p2，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=t(y1+y2)+2p=2p(t2+1)=12，即p(t2+1)=6，|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=4p2t2+4p2=2p⋅t2+1，S△OAB=12|OF||y1−y2|=12p2⋅t2+1=46，则p2t2+1=86，因此p3=64，所以p=4.
13．（2025·广东广州三模）多选 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，分别过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ）
A. 若直线BD的斜率为1，则|BD|=8
B. 以BD为直径的圆与y轴相切
C. EF⊥GF
D. B，O，G三点共线
【答案】ACD
【解析】抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)，准线l:x=−1，点A(−1,0)，设B(x1,y1),D(x2,y2).
对于A，直线BD:y=x−1，由y=x−1,y2=4x,
消去y得x2−6x+1=0，所以x1+x2=6，所以|BD|=x1+x2+2=8，故A正确；
对于B，|BD|=x1+x2+2，线段BD的中点的横坐标为x1+x22，所以弦BD的中点到准线的距离为x1+x22+1=12|BD|，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误；
对于C，由|BF|=|BE|,BE//AF，得∠AFE=∠BEF=∠BFE，同理可得∠AFG=∠DFG，则∠EFG=∠AFE+∠AFG=12(∠AFB+∠AFD)=90∘ ，故C正确；
对于D，设直线BD:x=ty+1，联立x=ty+1,y2=4x,得y2−4ty−4=0，则y1y2=−4，
直线OB:y=y1x1x，设直线OB与准线l交于点H(xH,yH)，联立y=y1x1x,x=−1,解得yH=−y1x1=−y1y124=−4y1，又y2=−4y1，所以yH=y2，即H与G重合，所以B，O，G三点共线，故D正确.
14．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l.若C恰过(−2,1)，(1,14)，(−2,−2)三点中的两点，则C的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若过C焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则|AB|=_ _ _ _ _ _ .
【答案】x2=4y； 163
【解析】因为点(−2,1)和(−2,−2)不关于坐标轴对称，所以C不可能同时过(−2,1)和(−2,−2)两点，
因为(1,14)在第一象限内，(−2,−2)在第三象限内，所以C不可能同时过(1,14)和(−2,−2)两点，所以C经过(−2,1)与(1,14)两点，
故可设C的方程为x2=2py(p>0)，则(−2)2=2p,解得p=2，即C的方程为x2=4y.
设A(xA,yA),B(xB,yB),
因为过抛物线C焦点的直线与C交于A,B两点，且A到l的距离为4，
所以yA+p2=yA+1=4，
解得yA=3，
则xA2=4yA=12，可得xA=±23，
不妨设A(23,3)，
因为抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，所以直线AB的方程为y=33x+1，
联立y=33x+1,x2=4y,消去x，整理得3y2−10y+3=0，可得yA+yB=103，
则|AB|=yA+yB+p=103+2=163.
15．（2025·河北保定二模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点M(x0,2)到y轴的距离为1，动点P在C上，动点Q在圆N:x2+y2−4x−2y+4=0上，则当|PQ|+|PF|取得最小值时，△PFN的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】78
【解析】由题可知x0=1，所以点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，则4=2p，解得p=2，所以抛物线C:y2=4x，焦点为F(1,0),准线方程为x=−1，
由题得圆N:(x−2)2+(y−1)2=1，其圆心为N(2,1)，半径为1.
过点P作准线x=−1的垂线，垂足为A，则|PA|=|PF|，
又|PQ|≥|PN|−1，当P,Q,N三点共线且点Q在点P,N之间时等号成立，
所以|PQ|+|PF|≥|PN|+|PA|−1≥|AN|−1=2.
当A,P,Q,N四点共线且点Q在点P,N之间时等号成立，所以|PQ|+|PF|的最小值为2，
此时yP=1，则xP=14，
所以|PN|=2−14=74，
所以当|PQ|+|PF|取得最小值时，S△PFN=12×74×1=78.
思维创新练
16．（2025·福建漳州质检）（6分）多选 在2024年巴黎奥运会艺术体操集体全能决赛中，中国队以69.800分的总成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，这个图案可以看作是由抛物线C:y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90∘ ，180∘ ，270∘ 后得到的三条曲线与C围成的（如图中阴影区域所示），A,B为C与其中两条曲线的交点，若p=1，则（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为y=12x2
B. |AB|=4
C. 第一象限花瓣截直线x+y=t所得弦长的最大值为34
D. 阴影区域的面积大于4
【答案】ABD
【解析】对于A,由题意知，开口向右的抛物线的方程为y2=2x，顶点为原点，焦点为(12,0),将其逆时针旋转90∘ 后得到的抛物线开口向上，焦点为(0,12)，则其方程为x2=2y，即y=12x2，故A正确；
对于B，设A(xA,yA)，由y2=2x,x2=2y,解得x=0或x=2，则xA=2，代入可得yA=2，即A(2,2),由图象的对称性，可得B(2,−2),故|AB|=4，故B正确；
对于C，如图，设直线x+y=t与第一象限的两条曲线分别交于点M(xM,yM),N(xN,yN),yM,yN>0,
由y=−x+t,y2=2x,解得xM=t+1−2t+1,yM=2t+1−1,
由y=−x+t,x2=2y,解得xN=2t+1−1,yN=t+1−2t+1,
则M(t+1−2t+1,2t+1−1),
N(2t+1−1,t+1−2t+1),
则弦长|MN|=2(t+2−22t+1)2=2|t+2−22t+1|，由图知，当直线x+y=t经过点A时t取得最大值4，经过点O时t取得最小值0，即若直线x+y=t与第一象限的花瓣相交，则要满足0