2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 070-课时作业63 离心率的范围问题（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 070-课时作业63 离心率的范围问题（教用），共13页。试卷主要包含了多选 已知点A在双曲线C，多选 已知椭圆C，记双曲线C，已知双曲线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题5分，多选题每小题8分，填空题每小题5分，共36分.
1．（2025·安徽黄山二模）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的斜率小于55，则离心率e的取值范围为（ ）
A. (0,255)B. (1,305)C. (1,355)D. (6,+∞)
【答案】B
【解析】依题意得0|OB|，所以c>b⇒c2>b2，即c2>a2−c2⇒c2a2>12，可得e>22.又e0,b>0)上，则（ ）
A. C的实轴长小于2
B. C的渐近线方程可能为y=±3x
C. C的离心率大于5
D. C的焦距不可能为4
【答案】AC
【解析】将A(1,2)代入C:x2a2−y2b2=1可得1a2−4b2=1.
对于A，1a2=4b2+1>1，故a20)的离心率为e，若直线3x−y=0与C有公共点，则离心率e的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(10,+∞)
【解析】双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，又直线3x−y=0与C有公共点，所以ba>3，则离心率e=ca=1+b2a2>10，即离心率e的取值范围为(10,+∞).
6．（2025·福建福州模拟）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1有公共点，则双曲线离心率e的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】[2,+∞)
【解析】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0，圆x2+(y−2)2=1的圆心为(0,2)，半径为1，因为双曲线的渐近线与圆有公共点，所以圆心到渐近线的距离d=|0±2a|a2+b2≤1，即b2≥3a2，所以c2−a2≥3a2⇒c2≥4a2，所以2a≤c，所以e=ca≥2，即离心率的取值范围为[2,+∞).
能力强化练
单选题每小题6分，填空题每小题6分，共24分.
7．（2025·湖南湘潭一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若圆M:(x+2)2+(y−6)2=4上存在一点P，使得线段PF2的中点Q在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（ ）
A. [2,+∞)B. [3,+∞)C. (1,2]D. (1,3]
【答案】B
【解析】因为双曲线C:x2a2−y2b2=1的右焦点为F2(2,0)，所以c=2，即a2+b2=4，且双曲线C的渐近线方程为y=±bax，
设P(x0,y0)，易得圆M:(x+2)2+(y−6)2=4的圆心为M(−2,6)，半径r=2，
因为线段PF2的中点Q(x0+22,y02)在C的渐近线上，所以y02=±ba⋅x0+22，即y0=±ba(x0+2)，所以点P在直线±bax−y±2ba=0上，则圆心M(−2,6)到该直线的距离d=|±ba×(−2)−6±2ba|(±ba)2+(−1)2=|−6|(ba)2+1.
因为圆M上存在点P满足条件，所以直线y=±ba(x+2)与圆M有公共点，所以d≤2，即|−6|(ba)2+1≤2，可得36(ba)2+1≤4，即(ba)2+1≥9，所以b2a2≥8，所以e2=c2a2=1+b2a2≥9，所以e≥3，所以C的离心率的取值范围为[3,+∞).
8．（2025·河南二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足PF1=3PM，MF2⋅OP=0，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(12,1)
【解析】设P(m,n)(|m|12，
又0c，则该椭圆的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(55,22)
【解析】由椭圆与抛物线的对称性知,点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，
易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，
设四边形ABF1F2的外接圆半径为R，
在△BF1F2中，由正弦定理得2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，
记椭圆的上顶点为M,连接MF1，MF2，设∠F1MF2=θ .
易知∠F1BF2c，则tanθ2=tan∠F1MO=cb