2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 027-课时作业25 利用导数研究函数的零点（教用）

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（1） 求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；
（2） 求f(x)的零点个数.
【解析】
（1） 由f(x)=x2+1x−2e1−x(x>0)，得f′(x)=2x−1x2+2e1−x，
则f(1)=0,f′(1)=3，故f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x−3.
（2） 解法一：令f(x)=0，得x2+1x=2e1−x，
令F(x)=x2+1x,x>0，G(x)=2e1−x，x>0，
则F′(x)=2x−1x2=2x3−1x2，
当x∈(0,312)时，F′(x)0，
即F(x)在(312,+∞)上单调递增，
显然G(x)=2e1−x在(0,+∞)上单调递减，
因为F(1)=G(1)=2，所以F(312)G(16)=2e56，所以∃m∈(16,312),使得F(m)=G(m)，
故f(x)的零点个数为2.
解法二：令f(x)=0，
得e1−x[(x2+1x)ex−1−2]=0，
令g(x)=(x2+1x)ex−1−2,x>0，则g′(x)=(x2+2x+1x−1x2)ex−1=ex−1x2(x4+2x3+x−1)，
令h(x)=x4+2x3+x−1,x>0，显然h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h(12)=−3160，
故∃x0∈(12,1),使得h(x0)=0，
当x∈(0,x0)时，h(x)0，则g(x)在(x0,+∞)上单调递增.
因为g(110)=1001100e−910−2>1001100e−2>0,g(x0)0恒成立，即f(x)在定义域内单调递增.
当a−2)，
则g(x)min=g(−1)=a+1,g(0)=g(−2)=1.
当a+1≥0，即a∈[−1,0)时，g(x)≥0,即f′(x)≥0（当且仅当a=−1,x=−1时取等号）,则f(x)在定义域内单调递增.
当a+1x1>−2.
当x∈(−2,x1)时，g(x)>0,即f′(x)>0,则f(x)单调递增;
当x∈(x1,x2)时，g(x)0,则f(x)单调递增.
综上所述，当a∈[−1,0]时,f(x)在(−2,+∞)上单调递增；
当a∈(−∞,−1)时,f(x)在(−2,−a+a2+aa)上单调递增，在(−a+a2+aa,−a−a2+aa)上单调递减，在(−a−a2+aa,+∞)上单调递增.
（2） 证明：由f(x)有两个极值点，结合（1）可得a