【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：21　利用导数研究函数的零点（含答案）

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(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)零点的个数.
2.(15分)(2024·四川成都模拟)已知函数f(x)=xe-x+asin x,e是自然对数的底数,若x=0恰为f(x)的极值点.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在区间(-∞,π4)上零点的个数.
3.(15分)(2024·浙江金丽衢十二校一模)已知函数f(x)=ln x-2mx(m∈R)有两个不同的零点x1,x2(x10且函数u(x)有两个零点时,求实数k的取值范围;
(3)若u(x)=g(x)h(x),f(2)=1,k=ln g(e),证明:u(x)在区间(1e,+∞)内单调递增.
答案：
1.解 (1)由题意可得f'(x)=(x2-1)ex-a.
因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b,
所以f'(0)=-1-a=-2,f(0)=1=b,解得a=1,b=1.
(2)由(1)知f(x)=(x-1)2ex-x,所以f(x)=ex[ (x-1)2-xex],令g(x)=(x-1)2-xex,则f(x)零点的个数就是g(x)零点的个数.
由于g'(x)=(x-1)(2+1ex),所以当x0,g(x)单调递增.
又g(0)=1>0,g(1)=-1e0,所以g(0)g(1)0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增.
f'(x)=1-xex-cs x=1-x-excsxex,令g(x)=1-x-excs x,则g'(x)=-1-ex(cs x-sin x),当00,则00,所以g(m)在m∈(0,1e)内单调递增,故g(m)0,所以h(v)在(0,1)内单调递增,所以h(v)e.
故e3a·2b,即23a>23b,又函数y=23x是减函数,所以a12b,即u(-12)=12a-12b>0.
(2)解 由已知f(2)=2a=4,得a=2,即f(x)=x2,所以u(x)=f(x)-h(x)=x2-ln(kx).当k>0时,u(x)=x2-ln(kx)的定义域为(0,+∞),u'(x)=2x-1x=2x2-1x,令u'(x)=0,解得x=22或x=-22(舍去),所以当x∈(0,22)时,u'(x)2e>22,则u(k)=k2-ln k2,则u(k)>0,由零点存在定理可得存在x2∈(22,k),使u(x2)=0.即实数k的取值范围为(2e,+∞).
(3)证明 由k=ln g(e)=ln eb=b,又已知f(2)=2a=1,所以a=0,由(1)得a0,所以函数u(x)=g(x)h(x)=xbln(bx)的定义域为(0,+∞),所以u'(x)=bxb-1ln(bx)+xb·bbx=xb-1[bln(bx)+1],
又xb-1>0恒成立,且x∈(1e,+∞),所以ln x>-1,bln(bx)+1=bln b+bln x+1>bln b-b+1.
设F(b)=bln b-b+1,则F'(b)=ln b+1-1=ln b,令F'(b)=0,则b=1,所以当b∈(0,1)时,F'(b)0,所以函数u(x)在(1e,+∞)内单调递增.