2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 026-课时作业24 利用导数证明不等式（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 026-课时作业24 利用导数证明不等式（教用），共13页。试卷主要包含了已知函数f=ex⋅csx.等内容，欢迎下载使用。
1．（2025·河南南阳模拟）（15分）已知函数f(x)=12e2x+(a−2)ex−2ax(a∈R).
（1） 当a=2时，求f(x)的单调区间；
（2） 当a=0时，求证：对任意的x∈(0,+∞),f(x)+4ex>2x2+52恒成立.
【解析】
（1） 当a=2时,f(x)=12e2x−4x，则f′(x)=e2x−4.
令f′(x)ln2,
所以函数f(x)的单调递减区间是(−∞,ln2)，单调递增区间是(ln2,+∞).
（2） 证明：当a=0时,f(x)=12e2x−2ex.
要证f(x)+4ex>2x2+52，即证12e2x+2ex−2x2−52>0.
令ℎ(x)=12e2x+2ex−2x2−52(x>0)，
则ℎ′(x)=e2x+2ex−4x.
令m(x)=e2x+2ex−4x(x>0)，则m′(x)=2e2x+2ex−4=2(ex−1)(ex+2)>0,
所以m(x)在(0,+∞)上单调递增，则m(x)>m(0)=3>0，即ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(x)>ℎ(0)=0，
即12e2x+2ex−2x2−52>0,即f(x)+4ex>2x2+52.
2．（15分）已知函数f(x)=ex−asinx,0为f(x)的一个极值点.
（1） 求a的值;
（2） 证明:f(x)>x.
【解析】
（1） 由题知f′(x)=ex−acsx,
由0为f(x)的一个极值点，可得f′(0)=1−a=0,解得a=1.
当a=1时，f(x)=ex−sinx,f′(x)=ex−csx,令g(x)=ex−csx,则g′(x)=ex+sinx,
由g′(0)=1>0知，存在x10，当x∈(x1,x2)时，g′(x)>0，所以f′(x)在(x1,x2)上单调递增，
又f′(0)=0，所以当x∈(x1,0)时，f′(x)0，所以f(x)在(x1,0)上单调递减，在(0,x2)上单调递增，所以x=0是f(x)的极小值点，符合题意，所以a=1.
（2） 证明:由f(x)>x得ex>sinx+x,
要证ex>sinx+x，可以先证ex≥x+1,
令ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，
当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增;
当xx.
3．（2026·山东青岛月考）（15分）已知函数f(x)=x−alnx−3ex−1,x∈[1,+∞).
（1） 若f(x)是减函数，求实数a的取值范围；
（2） 当a≥1时，证明：f(x)+x2+1≤0.
【解析】
（1） 因为f(x)是减函数，所以f′(x)=1−ax−3ex−1≤0,x∈[1,+∞)恒成立，即a≥x−3xex−1,x∈[1,+∞)恒成立，所以a≥(x−3xex−1)max,x∈[1,+∞).
令g(x)=x−3xex−1，x∈[1,+∞)，则g′(x)=1−3(x+1)ex−1