2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练22　利用导数研究函数的零点（含答案）

这是一份2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练22　利用导数研究函数的零点（含答案），共14页。试卷主要包含了已知函数f=ex-a等内容，欢迎下载使用。
1.(15分)(2025·安徽马鞍山二模)已知函数f(x)=2ae2x+2(a-1)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
2.(17分)(2026·河北石家庄高三期中)已知函数f(x)=ln x+1,g(x)=axex,a∈R.
(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程,并证明除切点外,函数f(x)的图象在切线l的下方.
(2)若00,
所以f(x)在(-∞,-ln 2a)内单调递减,在(-ln 2a,+∞)内单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减;
当a>0时,f(x)在(-∞,-ln 2a)内单调递减,在(-ln 2a,+∞)内单调递增.
(2)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.若a>0,由(1)知,当x=-ln 2a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln 2a)=1-12a+ln 2a.
①当a=12时,由于f(-ln 2a)=0,
故f(x)只有一个零点;
②当a∈12,+∞时,因为y=1-12a单调递增,y=ln 2a单调递增,所以y=1-12a+ln 2a单调递增,
所以1-12a+ln 2a>1-12×12+ln2×12=0,f(-ln 2a)>0,故f(x)没有零点;
③当a∈0,12时,由于1-12a+ln 2a0,故f(x)在(-∞,-ln 2a)内只有一个零点.
设正整数n0满足n0>ln32a-1>-ln 2a,则f(n0)=en0(2aen0+2a-2)-n0>en0-n0>0,故f(x)在(-ln 2a,+∞)内只有一个零点.
综上,a的取值范围是0,12.
2.(1)解 f'(x)=1x,所以f'(1)=1,即曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,
又f(1)=1,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y=x.
令k(x)=ln x+1-x(x>0),k'(x)=1x-1,
当x∈(0,1)时,k'(x)>0,k(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,k'(x)0),
则h'(x)=1x-a(x+1)ex=1-ax(x+1)exx,设p(x)=1-ax(x+1)ex,x>0,
则p'(x)=-a(x2+x+2x+1)ex=-a[(x+1)2+x]ex,
因为00,此时h(x)单调递增,
当x>x0时,p(x)x0>0,ln x1+11.
要证1x1+1x2>1,即证x1+x2>x1x2,
即证x1x2-(x1+x2)0,
故h(x)在(0,+∞)内单调递增,
由h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0,
即f(x)>R(x).
(3)解 因为g(x)=xln x-k(x2-1)=x[ln x-k(x-1x)](x>0).
令φ(x)=ln x-k(x-1x),所以x1,x2,x3是φ(x)的三个不同的零点,
不妨设00,此时φ(x)在(0,+∞)内单调递增,此时φ(x)不存在三个不同的零点;
②当k>0时,令s(x)=-kx2+x-k,Δ=1-4k2,
若Δ=1-4k2≤0,即k≥12,s(x)≤0恒成立,即φ'(x)≤0,
此时φ(x)在(0,+∞)内单调递减,此时φ(x)不存在三个不同的零点;
若Δ=1-4k2>0,即0