2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点08指、对、幂的大小比较(11大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点08指、对、幂的大小比较(11大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共14页。试卷主要包含了利用特殊值作“中间量”，求同存异法比较大小，泰勒公式，常用导数放缩等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201671454" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201671454 \h 2
\l "_Tc201671455" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201671455 \h 3
\l "_Tc201671456" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201671456 \h 5
\l "_Tc201671457" 题型一：利用函数的性质直接比较大小 PAGEREF _Tc201671457 \h 5
\l "_Tc201671458" 题型二：找中间值 PAGEREF _Tc201671458 \h 5
\l "_Tc201671459" 题型三：特殊值法 PAGEREF _Tc201671459 \h 6
\l "_Tc201671460" 题型四：作差法、作商法、乘方法 PAGEREF _Tc201671460 \h 6
\l "_Tc201671461" 题型五：条件含有变量问题 PAGEREF _Tc201671461 \h 7
\l "_Tc201671462" 题型六：同构变形，构造函数法 PAGEREF _Tc201671462 \h 8
\l "_Tc201671463" 题型七：数形结合法、反函数 PAGEREF _Tc201671463 \h 9
\l "_Tc201671464" 题型八：放缩比大小 PAGEREF _Tc201671464 \h 9
\l "_Tc201671465" 题型九：对数分母化 PAGEREF _Tc201671465 \h 10
\l "_Tc201671466" 题型十：均值不等式 PAGEREF _Tc201671466 \h 10
\l "_Tc201671467" 题型十一：泰勒、帕德逼近法 PAGEREF _Tc201671467 \h 11
\l "_Tc201671468" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201671468 \h 12
函数“比大小”是经典题型，其难度不定、解法灵活，备受高考命题者青睐，几乎每年高考都会涉及，且难度呈逐年上升趋势。在高考命题里，此类题目多以选择题形式出现，常把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型函数混杂在一起，要求考生对它们进行大小排序。解决这类问题，可从代数和几何两个角度入手。代数方面，可充分利用各类函数的性质，如单调性、奇偶性等来比较大小；几何方面，借助函数的图象，通过观察函数图象的高低位置关系，直观地判断函数值的大小。掌握这两种方法，有助于考生在高考中更从容地应对此类函数比大小问题。
1、利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计
2、求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
3、泰勒公式
泰勒公式：．
泰勒公式在时的特殊形式：．
由带有皮亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）可得如下高考常用函数的展开式：
①
②(等比数列求和，首项为1，公比为)
③(等比数列求和，首项为1，公比为)
④
⑤
⑥
⑦
⑧
4、常用导数放缩
①(切点横坐标是，)
②
③(切点横坐标是，)
④
⑤
⑥
题型一：利用函数的性质直接比较大小
【例1】（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知，，，则、、的大小顺序正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：找中间值
【例2】（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】已知，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-4】有三个数：大小顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：特殊值法
【例3】（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】已知，，且，则
A．B．
C．D．
【变式3-2】（多选题）已知，下列选项中正确的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式3-3】（多选题）已知，，且，则
A．B．
C．D．
题型四：作差法、作商法、乘方法
【例4】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数，则下列比较大小正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·四川·一模）已知正实数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型五：条件含有变量问题
【例5】（2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷）），下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知函数的定义域为，对任意、，有，且当时，．当时，设，，则（ ）
A．、大小无法确定B．
C．D．
【变式5-2】已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-4】已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型六：同构变形，构造函数法
【例6】（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2025·辽宁·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】已知实数满足且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-4】若函数，且，设，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．的大小不能确定
题型七：数形结合法、反函数
【例7】（2025年高考全国一卷数学真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知、，且，则（ ）
A．B．
C．D．无法确定、的大小
【变式7-2】已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（ ）
A．B．C．D．
题型八：放缩比大小
【例8】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（ ）
A．B．
C．D．与无法比较大小
【变式8-1】已知，比较三个数的大小，则有（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-2】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】设实数a，b，c满足且，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．不能比较大小
题型九：对数分母化
【例9】（2025·高三·湖北武汉·期末）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】若实数a，b满足，，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式9-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知实数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知实数a，b满足，，则（ ）
A．B．C．D．
题型十：均值不等式
【例10】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（2025·广西南宁·一模）设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-2】已知，，，则a，b，c的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】若，，，则、、的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
题型十一：泰勒、帕德逼近法
【例11】（2025·福建福州·模拟预测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，.
通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法判断二者大小
【变式11-2】英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【变式11-3】（多选题）帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在处的阶帕德近似为，则，，
B．函数在处的阶帕德近似
C．
D．函数在处的阶帕德近似为，当时，
1．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则实数的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法判断二者大小
7．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2025·天津南开·二模）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
10．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2025·江西·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2025·湖北·模拟预测）已知正数满足，则与的关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
19．（2025·天津·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2025·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
21．（2025·河北石家庄·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
22．已知函数，.若，，.则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
23．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
24．（2025·甘肃白银·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
25．（2025·河南·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2025·福建漳州·模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2025·江西赣州·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
29．（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（ ）．
A．B．C．D．
30．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
31．（2025·四川自贡·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
32．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
33．（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A．B．（精确到小数点后两位）
C．D．当时，
34．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
35．（多选题）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
36．（多选题）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
37．（多选题）设，则（ ）
A．B．C．D．
培优点08 指、对、幂的大小比较
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc201671454" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201671454 \h 2
\l "_Tc201671455" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201671455 \h 3
\l "_Tc201671456" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201671456 \h 5
\l "_Tc201671457" 题型一：利用函数的性质直接比较大小 PAGEREF _Tc201671457 \h 5
\l "_Tc201671458" 题型二：找中间值 PAGEREF _Tc201671458 \h 6
\l "_Tc201671459" 题型三：特殊值法 PAGEREF _Tc201671459 \h 7
\l "_Tc201671460" 题型四：作差法、作商法、乘方法 PAGEREF _Tc201671460 \h 10
\l "_Tc201671461" 题型五：条件含有变量问题 PAGEREF _Tc201671461 \h 12
\l "_Tc201671462" 题型六：同构变形，构造函数法 PAGEREF _Tc201671462 \h 16
\l "_Tc201671463" 题型七：数形结合法、反函数 PAGEREF _Tc201671463 \h 20
\l "_Tc201671464" 题型八：放缩比大小 PAGEREF _Tc201671464 \h 23
\l "_Tc201671465" 题型九：对数分母化 PAGEREF _Tc201671465 \h 25
\l "_Tc201671466" 题型十：均值不等式 PAGEREF _Tc201671466 \h 27
\l "_Tc201671467" 题型十一：泰勒、帕德逼近法 PAGEREF _Tc201671467 \h 29
\l "_Tc201671468" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201671468 \h 32
函数“比大小”是经典题型，其难度不定、解法灵活，备受高考命题者青睐，几乎每年高考都会涉及，且难度呈逐年上升趋势。在高考命题里，此类题目多以选择题形式出现，常把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型函数混杂在一起，要求考生对它们进行大小排序。解决这类问题，可从代数和几何两个角度入手。代数方面，可充分利用各类函数的性质，如单调性、奇偶性等来比较大小；几何方面，借助函数的图象，通过观察函数图象的高低位置关系，直观地判断函数值的大小。掌握这两种方法，有助于考生在高考中更从容地应对此类函数比大小问题。
1、利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计
2、求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
3、泰勒公式
泰勒公式：．
泰勒公式在时的特殊形式：．
由带有皮亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）可得如下高考常用函数的展开式：
①
②(等比数列求和，首项为1，公比为)
③(等比数列求和，首项为1，公比为)
④
⑤
⑥
⑦
⑧
4、常用导数放缩
①(切点横坐标是，)
②
③(切点横坐标是，)
④
⑤
⑥
题型一：利用函数的性质直接比较大小
【例1】（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
【变式1-1】（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，故.
故选：D.
【变式1-2】（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，可得，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，
故.
故选：D.
【变式1-3】已知，，，则、、的大小顺序正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在上是增函数，且，所以.
故选：D.
题型二：找中间值
【例2】（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
【变式2-1】（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
【变式2-2】（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，可得，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，故.
故选：B.
【变式2-3】已知，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，因为，所以，
因为，所以，
，
所以.
故选：A
【变式2-4】有三个数：大小顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，,
所以.
故选：D.
题型三：特殊值法
【例3】（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
【变式3-1】已知，，且，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
因为 ，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，故A错误；
令，，
则，，故B错误；
因为，当且仅当时取等号，
所以，，故C错误；
，
因为， 单调递减，
所以，故D正确．
故选
【变式3-2】（多选题）已知，下列选项中正确的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【解析】
A错，例如，满足，而
B正确，，，又，所以，而，所以
C正确，设，，，则，，
所以，即
D错误，，，，所以，不一定成立．
【变式3-3】（多选题）已知，，且，则
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
对于A，，则，当且仅当时取“=”号，A正确；
B．，故，由，即，B正确；
对于C，取，，则，故，C错误；
对于D，，则，故，D正确．
故选
题型四：作差法、作商法、乘方法
【例4】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
令，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此；
令，求导得，当时，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此，
所以.
故选：C
【变式4-1】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数，则下列比较大小正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由可得函数的定义域为，
由题意知，
令函数，且，
则，即在单调递增，所以，
故在区间上恒成立，则在上单调递减，
所以，由函数的单调性可知.
故选：B
【变式4-2】（2025·四川·一模）已知正实数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，故，即，
因为，所以；
又，结合，可得，
而，
即得，即，则必有，
则，即选项A中不等式成立，
故选：A
【变式4-3】设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
因为函数为增函数，，
所以，
故.
故选：A.
【变式4-4】已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知、均在和之间，
，于是，
当时，令，则，
所以在上为减函数，
故，故，
所以，
，于是.
所以.
故选：C
题型五：条件含有变量问题
【例5】（2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷）），下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令，则，
因为，所以，，且，所以，
又函数在上单调递增，则，故，
所以，当且仅当时等号成立，所以最小值取不到，则，故A正确；
因为，所以，则，故B不正确；
因为，所以，则，故C不正确；
因为，所以，则，所以，故D不正确.
故选：A．
【变式5-1】已知函数的定义域为，对任意、，有，且当时，．当时，设，，则（ ）
A．、大小无法确定B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，得，所以．
令得，所以．
令，得，则，所以，是偶函数，
所以．
令，则．
设，则，且，所以，
则，所以在上单调递增．
当时，，所以，即，
即，即，
故选：B．
【变式5-2】已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，所以
所以，故A错误，
同理可得，故C错误
令，则
所以
因为，，所以，，
所以，即，故B正确
同理可得，故D错误
故选：B
【变式5-3】已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
对于A，，所以A正确，
对于B，因为在上递增，且，
所以，即，
即，所以，所以B正确，
对于C，因为
，
所以，所以C错误，
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：C
【变式5-4】已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，可得；
则，即，
又，即，
易知指数函数单调递减，可得，
又幂函数单调递增，可知，
即可得；
因此可得.
故选：D
题型六：同构变形，构造函数法
【例6】（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0