初中数学直线和圆的位置关系随堂练习题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若半径为5m的圆，其圆心到直线的距离是4m，则直线和圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
2．如图，已知⊙O的半径为1，点O到某条直线的距离为1.4，则该直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
3．已知圆的半径为5，且该圆的圆心到一直线的距离为7，则该直线与圆的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
4．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E．若要使DE是⊙O的切线，则下列补充的条件不正确的是（ ）
A．AD=CDB．OD∥BCC．∠A=∠CD．OD=DE
5．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
6．如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为（ ）
A．6B．8C．12D．18
7．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B，D，连接OD，BD，AB，已知AB经过圆心O，CD与⊙O相切于点D，BC⊥BD．若∠BCD=25°，则∠ABD的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
8．已知PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠APB=70°，则∠ACB的度数为（ ）
A．55°B．110°C．125°D．55°或125°
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆的半径为2，三个切点分别为D, E, F，若AB=10，则△ABC的面积是（ ）
A．14B．24C．28D．10+102
10．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴，y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为3，点B的坐标是(5,0)，则点D的坐标是（ ）
A．(4,3−5)B．(5,3)C．(5,5)D．(5,3−5)
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知⊙O的半径是2，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
12．如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切线，C为切点，连结CO，CD，若∠D=25°，则∠A的度数为 ．
13．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AB=8,AC=5，则BD的长是 ．
14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点．若AD=1，BC=5，则△ABC的周长为 ．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D=α，则∠A的度数为 （用含α的式子表示）．
16．如图，四边形ABCD是矩形，经过点A的圆分别与边BC，CD相切于E，F两点．
⑴∠EAF= 度；
⑵若BE=22，DF=2，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．如图，△ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=75°，点O是△ABC的内心．求∠BOC的度数．
18．如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．
19．（1）如图，点B在⊙A上，过点B作⊙A的切线；
（2）如图，点D在⊙C外，过点D作⊙C的切线．
20．如图，在坐标系中，A(1,6)、B(5,6)、C(7,4)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径长为 ；
（3）直接判断点D(5,−3)与⊙M的位置关系，点D(5,−3)在⊙M ．（填内、外、上）
（4）E是图中某一格点，连接BE，若BE是⊙M的切线，则E点有 个．
21．如图，⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB，弦CD交AB于E．
（1）求证：△CAE∽△CDA；
（2）若CE=2,ED=5，求AC的长．
22．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm．
（1）求AF的长．
（2）已知S△ABC=66cm2，求OD的长．
23．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AO=5,CD=2AD，求CD的长．
24．目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”．
（1）【初步认识】已知⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心．
①请在图1中利用直尺和圆规作出内心I，若连接AI，并延长交⊙O于点D，连接BD，请猜想BD与ID的数量关系，并说明理由；
②若点A是优弧BAC上（不与B、C重合）的动点，⊙O的半径为5，BC=8，求AI最大值为 ▲ ；
（2）【深入探究】在题（1）条件下，如图2，如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求证：BC=2AM；
（3）【灵活运用】如图3，在BAC中，AB=AC，过点C作CP⊥AB，垂足为G，且CP=AB，点E和点F分别是△AGC的内心和外心，试判断EF与PB的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为5m，圆心到直线的距离为4m，
∴圆心到直线的距离1，
∴这条直线与⊙O相离，
由图可知只有直线l4与圆相离．
故选：D.
【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交，据此即可求解.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为5，且该圆的圆心到一条直线的距离为7，
7>5，
∴直线与圆相离，
∴直线与圆没有交点．
故选：A．
【分析】根据圆的半径与圆心到直线的距离满足d>r判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、∵AD=CD，AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意；
B、由A选项可知：DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意；
C、∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠A=∠C，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，故本选项不符合题意；
D、当OD=DE时，不能证明DE是⊙O的切线，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据三角形中位线定理、平行线的性质、切线的判定定理证明，判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①一个三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个，故正确；
②一个圆的外切三角形有无数个，故错误；
③一个圆的内接三角形有无数个，故错误；
④等边三角形的外心与内心重合，故正确．
∴ 正确的是①④．
故答案为：D．
【分析】根据外心、内心、外切三角形、内接三角形的定义解答即可.
6．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N，PA=6，
∴AM=MC，BN=NC，BP=PA=6，
∴△PMN的周长为PM+MN+PN
=PM+MC+NC+PN
=PM+AM+BN+PN
=PA+BP
=12，
故选：C．
【分析】先根据切线长定理得到PA=PB，MA=MC，NC=NB，然后利用等线段代换得到△PMN的周长=2PA.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵BC⊥BD，∠BCD=25°，
∴∠BDC=90°−∠BCD=65°，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODB=90°−∠BDC=25°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠OBD=25°；
故选：D．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BDC的度数，切线的性质，结合的角的和差关系求出∠ODB的度数，等边对等角即可得到∠ABD的度数.
8．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA,OB ，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，
∴∠PAO=90°=∠PBO，
∵∠APB=70°，
∴∠AOB=360°−2×90°−70°=110°，
∴∠C=12∠AOB=55°,∠C'=180°−55°=125°，
∴∠ACB的度数为55°或125°，
故选：D．
【分析】先画图，连接OA，OB，求解∠AOB=360°-2×90°-70°=110°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，CD=CE，BE=BF，AF=AD
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO=DO，
∴矩形OECD是正方形，
∴CE=CD=OD=2，
设BE=BF=x，则AF=AD=10−x，BC=x+2，AC=2+10−x=12−x
在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2
∴(x+2)2+(12−x)2=102，
解得：x1=6，x2=4，
∴BC=6，AC=8，或BC=8，AC=6，
∴S△ABC=12×6×8=24．
故选：B．
【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PD，设⊙P与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接FP并延长，与BC交于点G，连接PE，
则PF⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PEB=∠PFO=90°，
∵∠EOF=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPG=90°，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠OBG=90°，
∴四边形BEPG和四边形OBGF是矩形，
∴PG=BE,BG=PE,FG=OB,∠PGB=90°，
∴PG⊥CD，
∵B(5,0)，
∴FG=OB=5，
∵⊙O半径为3，
∴PF=PE=PD=BG=3，
∴PG=FG−PF=5−3=2，
∴DG=PD2−PG2=32−22=5，
∵PG⊥CD，
∴CG=DG=5，
∴CD=25,BC=BG+CG=3+5，
∴BD=BC−CD=3+5−25=3−5，
∴D(5,3−5)，
故选：D．
【分析】连接PD，设⊙P与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接FP并延长，与BC交于点G，可得四边形OEPF、四边形BEPG和四边形OBGF都是矩形， 即得FG=OB=5，PF=PE=PD=BG=3， 进而得到PG=FG-PF=2，即得DG=PD2−PC2=5，即得到CD=25，BC=BG+CG=3+5，得到BD=BC−CD=3−5，即可求解.
11．【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d=2.5，
∴d>r，
∴直线l与⊙O相离，
故答案为：相离．
【分析】先明确圆的半径和圆心到直线的距离，再通过比较两者的大小来确定直线与圆的位置关系.
12．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OC⊥AC，
∴∠ACO=90°，
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD=25°，
∴∠AOC=∠D+∠OCD=25°+25°=50°，
∴∠A=40°，
故答案为：40°．
【分析】由切线的性质得∠OCA=90°，而∠AOC=2∠D=50°，则∠A=90°-∠AOC=40°，于是得到问题的答案.
13．【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP=5，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB−AP=8−5=3．
故答案为：3．
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长.
14．【答案】12
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴AD=AE,CE=CF,BD=BF，
∴△ABC的周长=AD+AE+BD+BF+CE+CF=2AD+2BF+2CF=2AD+2BC，
∵AD=1，BC=5，
∴△ABC的周长=2×1+2×5=12；
故答案为：12．
【分析】根据切线长定理，得到AD=AE，CE=CF，BD=BF，进而推出△ABC的周长等于2(AD+BC)，即可得出结果.
15．【答案】45°−α2
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∵∠D=α，
∴∠DOC=90°−∠D=90°−α．
∴∠A=12∠DOC=45°−α2．
故答案为：45°−α2．
【分析】连接OC，利用切线的性质得到∠OCD=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠DOC=90°-α，即可利用圆周角定理求出∠A的度数.
16．【答案】45；12−3π
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：⑴设点O为圆心，连接OE、OF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵BC，CD与⊙O相切于E，F，
∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°，
∴∠EOF=90°，
∴∠EAF=45°，
故答案为：45；
⑵延长EO，交AD于点G，连接OA，如图所示：
∵BC与⊙O相切于E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠B=90°，
∴EG⊥AD，
∴∠EGA=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴AG=BE=22，
同理OG=DF=2，
在Rt△AOG中，由勾股定理可得OA=AG2+OG2=23，
∴阴影部分的面积是23×23−90π×(23)2360=12−3π，
故答案为：12−3π．
【分析】(1)求出∠EOF=90°，根据圆周角定理解答即可；
(2)根据切线的性质证明四边形ABEG是矩形，求出AG，同理求出OG，再根据勾股定理求出AO，利用扇形的面积公式计算即可.
17．【答案】解：∵点O是△ABC的内心，∠ABC=50°，∠ACB=75°，
∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×75°=37.5°，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−25°−37.5°=117.5°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】由点O是△ABC的内心，∠ABC=50°，∠ACB=75°，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，又由三角形内角和定理，即可求得∠BOC的度数.
18．【答案】解：∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB＝AC．
【知识点】切线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
19．【答案】（1）解：如图，射线BD即为所求；
（2）解：如图，连接CD，分别以点C、D为圆心，大于12CD的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接EF交CD于点G，再以点G为半径，CG的长度为半径作弧，交⊙C于点M，作直线DM，直线DM即为所求，理由如下：
∵EF垂直平分CD，
∴CG=DG=12CD，
∴点M在以CD为直径的圆上，
∴∠CMD=90°，
又∵CM是⊙C的半径，
∴DM是⊙C的切线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】(1)连接AB并延长，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交射线AB于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段12AC的长度为半径作弧，交于点D，再作直线BD即可；
(2)连接CD，分别以点C、D为圆心，大于12CD的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接EF交CD于点G，再以点G为半径，CG的长度为半径作弧，交⊙C于点M，作直线DM即可.
20．【答案】（1）(3,2)
（2）25
（3）外
（4）4
【知识点】点与圆的位置关系；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：⑴如图所示，
∴M(3,2)；
故答案为：(3,2).
⑵AM=(3−1)2+(2−6)2=25，
∴这个圆的半径长为25；
故答案为：25.
⑶DM=(5−3)2+(−3−2)2=29，
∵29>25，
∴点D(5,−3)在⊙M外，
故答案为：外.
⑷如图所示，连接BM，过点B作BM的垂线，
∴点E1,E2,E3,E4均为图中网格点，符合题意，
∴该图中有4个，
故答案为：4．
【分析】(1)根据圆心到弧上各点距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作线段AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心；
(2)运用勾股定理与网格，结合图形求解即可；
(3)运用勾股定理与网格得到DM=29，再与圆的半径比较即可；
(4)根据切线的定义，作图判定即可.
21．【答案】（1）证明：∵半径OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠ADC，
∵∠ACE=∠ACD，
∴△CAE∽△CDA；
（2）解：∵△CAE∽△CDA，
∴ACCD=CEAC，
∴AC2=CD⋅CE，
∵CE=2,ED=5，
∴CD=CE+ED=7，
∴AC2=2×7=14，
∴AC=2×7=14．
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)垂径定理得到AC^=BC^，得到∠CAB=∠ADC，再结合∠ACE=∠ACD，即可得证；
(2)根据△CAE~△CDA，列出比例式进行求解即可.
22．【答案】（1）解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，BF=BD，CD=CE，
设AF=AE=x，
则BF=BD=5−x，EC=DC=6−x，
根据题意得：5−x+6−x=7
解得：x=2cm
∴AF=2cm，BD=5−x=5−2=3(cm)，EC=6−x=6−2=4(cm)，
则AF的长为2cm；
（2）解：∵AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm，
∴半周长s=AB+BC+CA2=5+7+62=9(cm)，
又∵S△ABC=66cm2，
∴66=r⋅9，
∴r=263，
则OD的长为263cm．
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【分析】(1)由切线长定理可知：AF=AE，BF=BD，CD=CE，设AF=AE=x，则BF=BD=5-x，EC=DC=6-x，根据BD+DC=BC=7，列方程求解即可；
(2)先计算三角形的半周长s，再利用S△ABC=s·r，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出OD的长.
23．【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ODC，
∴AB∥OD．
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵CD=2AD，
∴设AD=x，则CD=2x，
在Rt△ADC中，则AC=AD2+CD2=x2+(2x)2=5x，
又AO=5，
即5x=10，
∴x=25，
∴CD=45．
【知识点】勾股定理；切线的判定；同位角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据等边对等角可得∠ODC=∠OCD，∠B=∠ACB，由此可得∠B=∠ODC，即可得平行，再由平行线的性质即可证明；
(2)根据直径所对的圆周角为90°，可得∠ADC=90°，再设AD=x，由勾股定理即可求解.
24．【答案】（1）解：①如图所示；
BD=DI，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI，
∴∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI．
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI．
∵∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBD+∠CBI，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=DI；
②10−25
（2）证明：连接OD，交BC于点E，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC,BE=CE.
∵OI⊥AD,IM⊥AB，
∴∠BED=∠AMI=90°,IA=DI．
∵BD=DI，
∴BD=IA．
∵∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC，
∴∠DBE=∠IAM，
∴△DBE≌△IAM(AAS)，
∴BE=AM，
∴2BE=2AM．
∵BC=2BE，
∴BC=2AM；
（3）解：PB=2EF，理由如下：
如图，连接AE并延长交BC于点D，连接BE,CE,PE，
由题意可知AE平分∠CAG，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC．
由（1）得，DE=DC，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴∠AEC=∠AEB=135°，
∴∠AEP=90°，
由对称可知AE=PE，
∴△APE是等腰直角三角形，
延长EF到点H，使得EF=FH，连接CH，
∵点F为Rt△AGC的外心，
∴AF=CF．
∵∠AFE=∠CFH，
∴△AFE≌△CFH(SAS)，
∴AE=CH,EH=2EF,∠EAF=∠FCH，
∴PE=AE=CH．
∵∠AEP=∠BEC=90°，
∴∠PEC+∠AEC=180°．
∵∠EAF=∠FCH，
∴AE∥CH
∴∠AEC+∠ECH=180°，
∴∠PEB=∠ECH．
∵BE=CE，
∴△PEB≌△ECH(SAS)，
∴PB=EH=2EF．
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；垂径定理；三角形的内切圆与内心；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：⑴②如图，连接OA,OB,OM,ON，交BC于点L，
∵⊙O的半径是5，BC=8，且点M是BC的中点，
∴OA=OB=OM=5,OM⊥BC,BL=CL=12BC=4，
∴∠OLB=∠MLB=90°，
∴OL=OB2−BL2=52−42=3，
∴ML=OM−OL=5−3=2，
∴MI=MB=BL2+ML2=42+22=25．
∵AM≤OA+OB，
∴AI+25≤5+5，
即AI≤10−25，
所以AI的最大值是10−25；
【分析】(1)①分别作∠ABC，∠ACB平分线，交于点I，则点I即为所求作；根据三角形的内心的性质得
∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI，再根据同弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBD，然后根据三角形外角的性质得∠BID=∠IBD，最后根据等角对等边得出答案；
②连接OA，OB，OM，ON，交BC于点L，根据垂径定理得BL=CL=12BC=4，再根据勾股定理求出OL，可得ML，然后根据勾股定理求出MI，最后根据AM≤OA+OB求出答案；
(2)连接OD，交BC于点E，先根据垂径定理得BE=CE，IA=DI，再根据"角角边"证明△DBE≌△IAM，可得BE=AM，则答案可证；
(3)连接AE并延长交BC于点D，连接BE，CE，PE，先说明△DEC为等腰直角三角形，及△APE是等腰直角三角形，再延长EF到点H，使得EF=FH，连接CH，然后根据"边角边"证明△AFE≌△CFH，可得AE=CH，EH=2EF，∠EAF=∠FCH，进而说明PE=AE=CH，接下来说明△PEB≌△ECH，则答案可证.