2.1.3 切线的性质 浙教版九年级数学下册素养提升卷(含解析)

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2.1　直线与圆的位置关系第3课时　切线的性质基础过关全练知识点　切线的性质1.(2023浙江金华期末)如图,AB为☉O的直径,延长AB到点P,过点P作☉O的切线,切点为C,连结AC,∠P=40°,D为BAC(不与B、C重合)上一点,则∠D的度数为 (　　)A.20°　　　　B.25°　　　　C.30°　　　　D.40°　　2.(2020浙江温州中考)如图,菱形OABC的顶点A,B,C均在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为 (　　)A.1　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.33.如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则☉O的半径为( )(　　)A.23　　　　B.3　　　　C.4　　　 　D.4-34.(2022浙江衢州中考)如图,AB切☉O于点B,AO的延长线交☉O于点C,连结BC.若∠A=40°,则∠C的度数为　　　　. 　　5.(2021浙江温州中考)如图,☉O与△OAB的边AB相切,切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,使点O'落在☉O上,边A'B交线段AO于点C.若∠A'=25°,则∠OCB=　　　　度.( ) 6.(2023浙江宁波海曙期中)如图,以△ABC的一边AB为直径作☉O,☉O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作☉O的切线交AC于点E.(1)求证:DE⊥AC;(2)若AB=5CE,求tan∠ACB的值.能力提升全练7.(2022浙江宁波鄞州月考,7,★★☆)如图所示的是一个钟表表盘,若连结整点2时与整点10时的B、D两点并延长,交过整点8时的切线于点P,且PC=2,则表盘的半径为 (　　)A.3　　　　B.3　　　　C.23　　　　D.338.(2020江苏南京中考,6,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8),则点D的坐标是 (　　)A.(9,2)　　　　 B.(9,3)　　　　C.(10,2)　　　　D.(10,3)　　9.【教材变式·P42例5】(2022浙江金华中考,15,★★☆)如图,木工用角尺的短边紧靠☉O于点A,长边与☉O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm,CB=8 cm,则☉O的半径为　　　　cm. 10.【新独家原创】直线l与☉O相切于点P,A、B为☉O上两点,且AP=BP,如果AB=8 cm,☉O的半径为5 cm,那么点P到弦AB的距离为 　　　　　　. 11.(2022浙江宁波中考,15,★★☆)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A,D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,AD的长为　　　　　. 　　12.(2020浙江宁波中考,15,★★★)如图,☉O的半径OA=2,B是☉O上的动点(不与点A重合),过点B作☉O的切线BC,BC=OA,连结OC,AC.当△OAC是直角三角形时,其斜边长为　　　　　　.( ) 13.(2023浙江宁波外国语学校期中,19,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连结BE.(1)若BE是△DEC外接圆的切线,求∠C的度数;(2)当AB=4,BC=8时,求△DEC外接圆的半径.14.(2021浙江丽水中考,22,★★☆)如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的半圆O交AB于点D,过点D作半圆O的切线,交AC于点E.(1)求证:∠ACB=2∠ADE;(2)若DE=3,AE=3,求CD的长.素养探究全练15.【推理能力】(2021浙江衢州中考)如图,在△ABC中,CA=CB,BC与☉A相切于点D,过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E,交☉A于点F,连结BF.(1)求证:BF是☉A的切线;(2)若BE=5,AC=20,求EF的长.答案全解全析基础过关全练1.B　如图,连结OC.∵PC为☉O的切线,∴∠OCP=90°,∴∠COP+∠P=90°,∵∠P=40°,∴∠COP=50°,∴∠D=12∠COP=25°,故选B.2.D　如图,连结OB,∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB,∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴△AOB是正三角形,∴∠AOB=60°,∵BD是☉O的切线,∴∠DBO=90°,∵OB=1,∴BD=3OB=3,故选D.3.A　如图,设AC与☉O相切于点E,AB与☉O相切于点F,连结AO,OE,OF,∵等边三角形ABC的边长为8,∴BC=8,∠C=∠BAC=60°,∵☉O分别与边AB,AC相切,∴OE⊥AC,OF⊥AB,在Rt△AOE与Rt△AOF中,OA=OA,OE=OF,∴Rt△AOE≌Rt△AOF(HL),∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°,∴∠AOC=90°,∴OC=OB=4.∵OE⊥AC,∠C=60°,∴OE=32OC=23,∴☉O的半径为23,故选A.4.答案　25°解析　如图,连结OB.∵AB是☉O的切线,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∵∠A=40°,∴∠AOB=90°-∠A=50°,∴∠C=12∠AOB=12×50°=25°.5.答案　85解析　∵☉O与△OAB的边AB相切,∴OB⊥AB,∴∠OBA=90°,连结OO',如图,∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,∴∠A=∠A'=25°,∠ABA'=∠OBO',BO=BO',∴∠AOB=90°-25°=65°,∵OB=OO',∴OB=OO'=BO',∴△OO'B为等边三角形,∴∠OBO'=60°,∴∠ABA'=60°,∴∠OBC=90°-60°=30°,∴∠OCB=180°-65°-30°=85°.6.解析　(1)证明:如图,连结OD,∵D是BC的中点,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE,∴DE⊥AC.(2)如图,连结AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵BD=DC,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC,∵DE⊥AC,∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°,∴∠ADE=∠DCE=90°-∠CDE,∴△CDE∽△DAE,∴DEAE=CEDE,设CE=a,a>0,则AC=AB=5a,∴AE=5a-a=4a,∴DE4a=aDE,∴DE=2a,∴tan∠ACB=DEEC=2aa=2.能力提升全练7.B　如图,设表盘的中心为点O,连结BC,OD,易得点O在BC上,∠DOC=2×30°=60°,∴∠DBC=12∠DOC=30°,∵PC与☉O相切于点C,∴∠BCP=90°,∴BC=CPtan30°=233=23,∴表盘的半径为3,故选B.8.A　设☉P与x轴、y轴的切点分别是F、E,连结PE、PF、PD,延长EP与CD交于点G,则PE⊥y轴,PF⊥x轴,∵∠EOF=90°,∴四边形PEOF是矩形,∵PE=PF,∴四边形PEOF为正方形,∴OE=PF=PE=OF=5,∵A(0,8),∴OA=8,∴AE=8-5=3,∵四边形OACB为矩形,∴BC=OA=8,BC∥OA,AC∥OB,又易知EP∥OF,∴EG∥AC,∴四边形AEGC为平行四边形,四边形OEGB为平行四边形,∴CG=AE=3,EG=OB,∵PE⊥AO,AO∥CB,∴PG⊥CD,∴CD=2CG=6,∴DB=BC-CD=8-6=2,∵PD=5,DG=CG=3,∠PGD=90°,∴PG=4,∴OB=EG=5+4=9,∴D(9,2).故选A.9.答案　253解析　连结OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,如图,∵长边与☉O相切于点B,∴OB⊥BC,∵AC⊥BC,AD⊥OB,∴四边形ACBD为矩形,∴BD=AC=6 cm,AD=BC=8 cm.设☉O的半径为r cm,则OA=OB=r cm,∴OD=OB-BD=(r-6)cm,在Rt△OAD中,∵AD2+OD2=OA2,∴82+(r-6)2=r2,解得r=253,∴☉O的半径为253 cm.10.答案　2 cm或8 cm解析　当直线l与弦AB在圆心O的同侧时,如图1,连结OP,交AB于点C,连结OA,∵直线l与☉O相切于点P,∴OP⊥l,∵AP=BP,∴OP⊥AB,AC=12AB,则CP的长为点P到弦AB的距离,∵AB=8 cm,∴AC=4 cm,在Rt△AOC中,OC=OA2-AC2=52-42=3 cm,∴CP=OP-OC=5-3=2 cm;当直线l与弦AB在圆心O的异侧时,连结PO并延长交AB于点C,连结AO,如图2,同理可得OC=3 cm,∴CP=OP+OC=5+3=8 cm.∴点P到弦AB的距离为2 cm或8 cm.　　11.答案　32或65解析　分为两种情况:①当∠CAD为90°时,D点与O点重合,如图1,连结OA,设圆的半径为r,则OA=OB=r,OC=4-r,∵圆O与AC相切于点A,∴OA⊥AC.在Rt△AOC中,根据勾股定理可得r2+4=(4-r)2,解得r=32,此时AD=AO=32;②当∠ADC=90°时,如图2,连结OA,作AD⊥OC于点D,易知AD=AO·ACOC,∵AO=32,AC=2,OC=4-r=52,∴AD=65.综上所述,AD的长为32或65.　　12.答案　23或22解析　连结OB,∵BC是☉O的切线,∴∠OBC=90°,∵BC=OA=2,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形,∴∠BCO=45°,OC=2OB=22.如图1,当∠AOC=90°时,Rt△OAC的斜边为AC,且AC=OA2+OC2=22+(22)2=23;图1如图2,当∠OAC=90°时,Rt△OAC的斜边为OC,且OC=22.图2综上,所求斜边长为23或22.13.解析　(1)如图,设DC的中点为O,连结OE,∵DE垂直平分AC,∴∠DEC=90°,∴DC是△DEC外接圆的直径,∵BE是☉O的切线,∴∠OEB=90°,∴∠EBO+∠BOE=90°,在Rt△ABC中,E为斜边AC的中点,∴BE=EC=AE=12AC,∴∠EBO=∠C,由圆周角定理得∠BOE=2∠C,∵∠EBO+∠BOE=90°,∠EBO=∠C,∴∠C+2∠C=90°,∴∠C=30°.(2)在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=42+82=45,则BE=CE=12AC=25,∵∠CED=∠CBA=90°,∠ECD=∠BCA,∴△CED∽△CBA,∴CECB=CDCA,即258=CD45,解得CD=5,则△DEC外接圆的半径为52.14.解析　(1)证明:如图,连结OD,CD,∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ODC+∠EDC=90°,∵BC为☉O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,∴∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠ODC,∵AC=BC,CD⊥AB,∴∠ACB=2∠DCE=2∠OCD,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∴∠ACB=2∠ADE.(2)由(1)知,∠ADE+∠EDC=90°,∠ADE=∠DCE,∴∠EDC+∠DCE=90°,∴∠DEC=∠AED=90°,∵DE=3,AE=3,∴AD=32+(3)2=23,tan A=3,∴∠A=60°,∵AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,BC=AB=2AD=43,∴∠COD=2∠B=120°,OC=23,∴CD 的长为120·π×23180=43π3.素养探究全练15.解析　(1)证明:连结AD,如图,∵CA=CB,∴∠CAB=∠ABC.∵AE⊥AC,∴∠CAB+∠EAB=90°,∴∠ABC+∠EAB=90°.∵BC与☉A相切于点D,∴∠ADB=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°.∴∠BAE=∠BAD.在△ABF和△ABD中,AB=AB,∠BAF=∠BAD,AF=AD,∴△ABF≌△ABD(SAS).∴∠AFB=∠ADB=90°.∵AF是☉A的半径,∴BF是☉A的切线.(2)由(1)得BF⊥AE,∵AC⊥AE,∴BF∥AC.∴△EFB∽△EAC.∴BECE=BFCA,∵BE=5,CB=AC=20,∴CE=EB+CB=20+5=25,∴525=BF20.∴BF=4.在Rt△BEF中,EF=BE2-BF2=52-42=3.