初中浙教版（2024）解直角三角形当堂检测题

这是一份初中浙教版（2024）解直角三角形当堂检测题，文件包含谓语动词的时态专项训练教师版docx、谓语动词的时态专项训练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．sin30°=（ ）
A．22B．12C．32D．33
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则ACBC=（ ）
A．tanAB．tanBC．sinAD．csB
3．若cs60°=□2，则“□”表示的数是（ ）
A．1B．2C．3D．33
4．计算6tan45°−2cs60°的结果是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则tan∠AOB的值为（ ）．
A．12B．22C．32D．3
6．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯AB与水平面BC的夹角为40°，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙AC高为10丈，则云梯梯身长AB约为（ ）
A．10sin40°丈B．10cs40°丈C．10sin40°丈D．10cs40°丈
7．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1,BC=2，那么下列锐角三角比中，正确的是（ ）
A．sinA=55B．tanA=12C．csB=255D．tanB=2
8．如果α是锐角，且sinα=45，那么sin(90°−α)的值等于（ ）
A．925B．45C．35D．1625
9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C都在这些小正方形的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．1B．2C．12D．22
10．如图，在Rt△ABC中，延长斜边AB到点D，使BD=13AB，连接CD．若tanA=43，则tan∠BCD的值为（ ）
A．316B．316C．38D．38
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：1−2sin30°= ．
12．若∠A为锐角，csA=12，则∠A= ．
13．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i= ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinB=12，CD是高．若AD=2，则BD = ．
15．在△ABC中，若|tanA−3|+(csB−22)2=0，则∠C= ．
16．如图，将矩形ABCD对折使AB与DC重合，得到折痕EF，再次折叠，使点A落在折痕EF上，并使折痕经过点D，得到折痕DM和线段DN，记DM与EF的交点为H．若AD=43，则HN= ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：(12)−2−27+2cs30°−(π−2025)0；
18．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin46°＝cs44°≈0.72，3≈1.73）
19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=11，CD=6，tanA=2，求：
（1）BD的长；
（2）sinB的值．
20．汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点A，再在河的这边取两点B,C，在点B处测得AB与河岸的夹角α为20∘，在点C处测得AC与河岸的夹角β为45∘,B,C两点间的距离为300m．
（1）求该段汾河的宽度（即△ABC中BC边上的高）；（结果精确到0.1m；参考数据：sin20∘≈0.34,cs20∘≈0.94,tan20∘≈0.36）
（2）请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据）
21．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE=10cm，∠ABC=35°．(参考数据：tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，sin35°≈0.57，sin55°=0.82)
（1）图（2）中，∠BCD= °；
（2）靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图（3），杯托E处凹陷深度为0.7cm，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）．
①∠ACD=___________°；
②求乘客水杯的最大高度．
22．如图1、图2均为8×6的方格纸（每个小正方形的边长均为1），在方格纸中各有一条线段AB，其中点A、B均在小正方形的顶点上，请按要求画图；
（1）在图1中画一个直角△ABC，使得tan∠BAC=12，点C在小正方形的顶点上；
（2）如图2中画一个平行四边形ABEF，使得平行四边形ABEF的面积为图1中△ABC面积的4倍，点E、F在小正方形的顶点上；
（3）图2中连接AE，直接写出AE的长度．
23．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离PC=2米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为53°，且点P与建筑物的水平距离为20米．
（1）求建筑物MN的高度；
（2）驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是20°和76°，若每个人所占斑马线的宽度按0.5米计算．
①求出斑马线的宽度AB．
②求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．
（参考数据：tan53°取43，tan20°取0.36，tan76°取4）．
24．在△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12．
【知识学习】
三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．
（1）【探索发现】
如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，若点B恰好是线段MN的中点，求tan∠BAM的值；
（2）【类比迁移】
如图2，P是边BC延长线上一点，∠APB=∠BAC，请依据所学模型，求tan∠PAC的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin30°=12；
故选B．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可.
2．【答案】B
【知识点】正切的概念
【解析】【解答】解： 解： ∵在. Rt△ABC中， ∠C=90∘,
∴tanB=ACBC,
故选： B.
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案.
3．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cs60°=12，且cs60°=□2，
∴□2=12，
∴□=1．
故选：A．
【分析】根据特殊角的三角函数值， cs60∘的值为 12,直接与给定等式比较即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：6tan45°−2cs60°
=6×1−2×12
=6−1
=5．
故选：C．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接AB，
由作图方法可知OA=AB=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴tan∠AOB=tan60°=3，
故选：D．
【分析】先证明 △OAB是等边三角形，得 ∠AOB=60∘,即可得出 tan∠AOB的值.
6．【答案】A
【知识点】已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，AC高为10丈，
∴ACAB=sin∠ABC，
∴AB=10sin40°，
故选：A．
【分析】根据正弦的定义即可直接作答.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图：
∵∠C=90°,AC=1,BC=2，
∴AB=AC2+BC2=5，
A．sinA=BCAB=25=255，故此选项错误；
B．tanA=BCAC=2，故此选项错误；
C．csB=BCAB=25=255，故此选项正确；
D．tanB=ACBC=12，故此选项错误．
故选：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，然后求出sinA、tanA、csB、tanB的值， 进行判断.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠C=90°，∠B=α，则∠A=90°−α
∵sinα=45=ACAB
设AC=4k，则AB=5k
∴BC=3k
∴sin(90°−α)=BCAB=3k5k=35
故选：C．
【分析】如图， Rt△ABC中， ∠C =90°， ∠B=α， 设AC=4k， 则AB=5k， 根据勾股定理可得BC=3k，进而根据正弦的定义即可求解.
9．【答案】C
【知识点】在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：由图可知AC=22+22=22，BC=12+12=2，AB=12+32=10，
∴AC2+BC2=10=AB2，
∴AC⊥CB，
∴tan∠BAC=BCAC=222=12，
故选：C．
【分析】利用勾股定理求出三角形的三条边，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点B作BK∥AC交CD于点K．
设BD=m，则AB=3BD=3m，
∵∠ACB=90°,tanA=43，AB2=AC2+BC2，
∴AC=35AB=95m,BC=45AB=125m，
∵BK∥AC，
∴∠CBK=∠ACB=90°,△BKD∽△ACD，
∴BKAC=BDAD=14，
∴BK=920m，
∴tan∠BCD=BKCB=920m125m=316，
故选：B．
【分析】如图，过点B作 BK‖AC交CD于点K.设BD=m，则AB=3BD=3m，求出BC，BK可得结论.
11．【答案】0
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：1−2sin30°=1−2×12=0，
故答案为：0．
【分析】代入特殊角的三角函数值，然后计算即可.
12．【答案】60°
【知识点】已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【解答】解：∵csA=12，cs60°=12，
∴∠A=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据余弦值求出∠A的度数，再根据特殊角的三角函数值解答即可.
13．【答案】2:4
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为L米，根据勾股定理：
32=12+L2
9=1+L2
L2=8
L=8=22（米）
坡度i=ℎ:L=1:22=2:4，
故答案为：2:4．
【分析】根据坡度的定义，坡度i是铅垂高度h与水平距离L的比，即i=h：L.设沿一斜坡向上走3米，水平距离为L米，利用勾股定理可求水平距离L，再计算坡度.
14．【答案】6
【知识点】解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，sinB=12，CD是高，
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°，∠B=30°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴AC=2AD=4，
∴AB=2AC=8，
∴BD=AB−AD=8−2=6，
故答案为：6 ．
【分析】得到∠ACD=∠B=30°，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可.
15．【答案】75°
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵|tanA−3|+(csB−22)2=0，
∴tanA−3=0,csB−22=0
∴tanA=3,csB=22，
则∠A=60°,∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−60°−45°=75°，
故答案为：75°．
【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出 ∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和等于 180∘求出 ∠C的度数.
16．【答案】4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：AE=DE=12AD=23,AD=DN=43，∠EDH=12∠ADN，
∴DE=12DN，
∴sin∠DNE=DEDN=12，
∴∠DNE=30°，
∵∠DEN=90°，
∴∠ADN=60°，
∴∠EDH=30°，
∵AE=DE=12AD=23,AD=DN=43，
∴DE=23,DN=43，
∴EN=DN⋅sin∠EDN=43⋅sin60°=43×32=6，EH=DE⋅tan∠EDH=23⋅tan30°=23×33=2，
∴HN=EN−EH=6−2=4．
故答案为4．
【分析】由折叠的性质，利用特殊角的三角函数值求出∠DNE=30°，进而得求出∠EDH=30°，然后根据解直角三角形求出EN和EH的长，解答即可．
17．【答案】解：(12)−2−27+2cs30°−(π−2025)°
=4−33+2×32−1
=4−33+3−1
=3−23．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算负整数指数次幂，二次根式和零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】解： 如图， 过点A作AH⊥MN于点H， 过点B作BK⊥AH于点K， 延长DC交BK于点J.
∵∠CDH =∠KHD =∠JKH =90°，
∴四边形DHKJ是矩形，
∴DJ=KH， ∠DJK =∠BJC=90°，
∵∠BCD =150°，
∴∠BCJ = 30°， ∠CBJ = 60°，
∵∠ABC = 106°，
∴∠ABK =46°，
∴CJ=BC⋅cs30∘=20×32=103≈17.3(cm)，
AK = AB·sin46°= 25×0.72=18(cm)，
∴AH=AK+KH=AK+JC+CD=18+17.3+6≈41(cm)，
∴台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为41cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】如图， 过点A作AH⊥MN于点H， 过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J.解直角三角形求出AK， JC可得结论.
19．【答案】（1）解：∵CD⊥AB，tanA=2，CD=6，
∴tanA=CDAD=2，
∴AD=62=3，
∵AB=11，
∴BD=AB−AD=11−3=8；
（2）解：∵CD=6，BD=8，CD⊥AB，
∴BC=CD2+BD2=62+82=10，
∴sinB=CDBC=610=35．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)根据题意可知 tanA=CDAD,先求得AD，然后由BD=AB-AD，即可解答；
(2)先用勾股定理求得BC，然后由 sinB=CDBC直接计算即可.
20．【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC的延长线于点D，
设AD=xm，
由图可知，∠ABD=20°，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=20°，AD=xm
∴BD=xtan20°≈0.36x，
在Rt△ACD中，
∵∠β=45°，
∴AD=CD=xm，
∵BC+CD=BD，
∴300+x=0.36x，
∴x≈469m
∴AD=CD=x≈469m，
∴河的宽度约为469m；
（2）解：如图2，过河对岸点A作AB⊥BC，在河这边任选一点C，作CE⊥BC，
测量CE，CD，BD的长度，通过相似可得河宽AB的长度．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过点A作. AD⟂BC的延长线于点D，设AD=xm， 则 BD=xtan20∘≈0.36x,根据BC=300m，即可列出方程；
(2)过河对岸点A作. AB⟂BC,在河这边任选一点C，作 CE⟂BC,测量CE，C D，B D的长度， 通过相似可得河宽AB的长度.
21．【答案】（1）125
（2）解：①55
②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，
在Rt△CEF中， tan∠FCE=EFCE，
∴EF=CEtan∠FCE=10×tan55°≈10×1.43=14.3(cm)，
14.3+0.7=15(cm)．
答：乘客水杯的最大高度约为15cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）点B作BF∥CD，
∴∠BCD+∠CBF=180°，
∵∠ABC=35°，
∴∠CBF=90°−35°=55°，
∴∠BCD=180°−55°=125°
故答案为：125．
（2）①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，由（1）知∠BCD=125°，
∴∠ACD=180°−∠BCD=55°，
故答案为：55．
【分析】(1)过点B作BF‖CD,由平行线的性质得出 ∠BC D+∠CBF=180∘,由已知条件得出， ∠CBF= 55∘,进而可求出∠BCD.
(2)①根据题意可知， ∠ACD=180∘−∠BCD代入计算即可.
②过点E作CD的垂线交AB于点F，通过解 Rt△CEF求出EF， 再加上0.7cm即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图所示，tan∠BAC=12，
故Rt△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形ABEF的面积为图1中△ABC面积的4倍，
故平行四边形ABEF即为所求；
（3）213
【知识点】平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；尺规作图-直角三角形
【解析】【解答】（3）解：如上图，连接AE，
AE=62+42=213．
故答案为：213.
【分析】(1)根据Rt△ABC中， tan∠BAC=12,进行作图即可；
(2)根据图1中， △ABC面积为4，可得 ABEF的面积为16，据此作图即可.
23．【答案】（1）解：如图，过P作PD⊥MN于点D，
∴四边形PCND是矩形，
∴PC=DN=2米，PD=CN=20米，
在Rt△PDM中，∠MPD=53°，
∴MD=PDtan53°≈20×43≈803（米），
∴MN=MD+DN=803+2=863（米），
答：建筑物MN的高度为863米；
（2）解：①∵∠PBC=76°，
∴BC=PCtan76°≈24=12（米），
∵∠PAC=20°，
∴AC=PCtan20°≈20.36=509（米），
∴AB=AC−BC=509−12=9118（米）；
②∵AB=9118米，
∴9118÷0.5=1019，
答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10人．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过P作 PD⟂MN于D,则PC=QN=2米， PD=CN=20米，根据三角函数的定义得到DM =PD⋅tan53∘=20×43≈26.7(米)， 求得MN=MD+DN=28.7米；
(2)①连接PB，根据三角函数的定义得到.BC= PCtan76∘=24=12(米) ， AC=pctan20∘= 20.36=509(米)，于是得到结论；
②根据 AB=9118米，求得 9118÷0.5=1019,于是得到结论；
24．【答案】（1）解：如图1．
∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠M=∠N=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBC+∠ABM=90°，
∴∠MAB=∠NBC，
∴△AMB∽△BNC，
∴BNAM=BCAB，
∵tan∠BAC=BCAB=12，
∵点B是线段MN的中点，
∴BM=BN，
在Rt△AMB中，tan∠BAM=BMAM=BNAM=12；
（2）解：如图2，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥BP于点E．
∵tan∠BAC=12，
∴BCAB=12，
∴AB=2BC，
∵∠APB=∠BAC，
∴tan∠APB=12，
∴ABBP=12，
∴BP=2AB，
设BC=x，则AB=2x，BP=4x，
∴CP=BP−BC=4x−x=3x．
同理（1）中，可得∠BAC=∠ECD，
∴∠APB=∠ECD．
∵DE⊥BP，
∴CE=EP=12CP=32x，
同理（1）中，可得△ABC∽△CED，
∴CDAC=CEAB=32x2x=34，
在Rt△ACD中，tan∠PAC=CDAC=34．
【知识点】解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先证明∠M =∠N = 90°， ∠MAB=∠NBC，那么△AMB∽△BNC，根据相似三角形对应边成比例得出 BNAM=BCAB=tan∠BAC=12,由线段中点的定义可得BM =BN，然后在Rt△AMB中，利用正切函数的定义即可求出tan∠BAM的值；
(2)过点C作CD⊥AC交AP于点D， 过点D作DE⊥BP于点E.根据正切函数的定义得出tan∠BAC = BCAB=12,tan∠APB=ABBP=12, 而∠APB=∠BAC， 那么可设BC =x， 则AB=2x， 得出BP=4x， 则CP=3x.同理(1)中， 易证∠BAC=∠ECD，根据等腰三角形的判定与性质得出CE =EP=12CP=32x, 再证明△ABC-△CED，根据相似三角形对应边成比例得出 CDAC=CEAB=34,然后在Rt△ACD中，利用正切函数的定义即可求出tan∠PAC的值.