2026年小升初数学考点专项训练--考点53：分解质因数问题

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2、分类讨论思想是重要的数学思想之一，通过合理的分类，可以使一些题目迎刃而解。
【例1】把自然数1~2022分组，每组内任意3个数的最大公因数为1，则至少需要分成多少组？
【例2】在一次射箭运动中，每箭得的环数是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射5箭，每人得的环数的积都是1764，但甲总环数比乙少4环。求甲、乙各得多少环?
【例3】若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有多少组？
1.【2023·黄埔广附入学测1】甲、乙、丙、丁是四个不同的自然数，并且它们的乘积是2790，那么这四个数的和最小是 。
2.【2017·广大附】一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，已知这个长方体的体积是9240， 则这个长方形的表面积是 。
3.【2015·广雅】已知等式，若和分别代表一个整数，则的值为（ ）。
4.【2017·广大附】小胡和小涂计算甲、 乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是多少？
5.【2024·太和广附入学测3】十多岁的小坤参加区六年级100分制的数学竞赛，考了不错的成绩，他的岁数、分数和名次的乘积是3492，小坤的成绩是多少分？
考点53：分解质因数问题参考答案
1、与乘积有关的许多题目都可以用分解质因数的方法来解。
2、分类讨论思想是重要的数学思想之一，通过合理的分类，可以使一些题目迎刃而解。
【例1】把自然数1~2022分组，每组内任意3个数的最大公因数为1，则至少需要分成 506 组。
——2023·广附大奥入学测1
【解析】相邻两个自然数或奇数互质，4个连续自然数：4k+1，4k+2，4k+3，4k+4(k=0，1，2，3，…，504)，任意3个数最大公因数为1.
2022÷4=505(组)……2(个)505+1=506(组)
【例2】在一次射箭运动中，每箭得的环数是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射5箭，每人得的环数的积都是1764，但甲总环数比乙少4环。求甲、乙各得多少环? ——2017·育才实验
【解析】每次射箭的环数是0-10内的自然数，而5箭环数的积是1764，故不可能有0、5、10环。而1764=1×2×2×3×3×7×7，可以推知两人都有两个7环，而其他3环环数是5个数：1，2，2，3，3。经过分组相乘而得到5种情形：(1)1，4，9;(2)1，6，6;(3)2，2，9;(4)2，3，6;(5)3，3，4，因此两人5箭的环数就有5种情形
7，7，1，4，9和是28
7，7，1，6，6和是27;
7，7，2，2，9和是27
7，7，2，3，6和是25
7，7，3，3，4和是24
而甲比乙少4环，所以只能是第一种和第五种情形，即甲24环，乙28环。
答：甲的总环数是24，乙的总环数是28。
【例3】若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有 11 组。
——2023·黄埔广附入学测3
【解析】三个质数肯定都小于50，范围是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个。(43+3+7)，(41+5+7)，(37+3+13)，(37+5+11)，(31+3+19)，(31+5+17)，(29+5+19)，(29+7+17)，(29+11+13)，(23+11+19)，(23+13+17)，共11组。
1.【2023·黄埔广附入学测1】甲、乙、丙、丁是四个不同的自然数，并且它们的乘积是2790，那么这四个数的和最小是 45 。
2.【2017·广大附】一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，已知这个长方体的体积是9240， 则这个长方形的表面积是 2644 。
3.【2015·广雅】已知等式，若和分别代表一个整数，则的值为（ 2 ）。
4.【2017·广大附】小胡和小涂计算甲、 乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是 93 。
【解析】由于小胡和小涂都没有看错乙数，则乙数是1274和819的公约数中的两位数。1274=2×7×7×13，819=3×3×7×13，乙数可为13或91。
当乙数为91时，错看的甲数可能是：1274÷91=14或819÷91=9。
由于甲数是两位数，显然这种情况不适合；
当乙数为13时，错看的甲数可能是：1274÷13=98或819÷13=63。
结合题意可知小何看错的两位数为98，所以甲数十位上是9；
小涂看错了甲数的十位数字后的结果是63，所以甲数的个位上是3，由此得出甲数是93。
5.【2024·太和广附入学测3】十多岁的小坤参加区六年级100分制的数学竞赛，考了不错的成绩，他的岁数、分数和名次的乘积是3492，小坤的成绩是 97 分。