初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形图片课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形图片课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了学习目标，情境引入，有一个角是直角，新知探究，平行四边形，证一证，菱形的特殊性质，平行四边形的性质，典型例题，第1题等内容，欢迎下载使用。
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看老师演示：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1) AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理，得∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连结AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于点O，且∠DAE=2∠BAE，求证：AO=BE.
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB.∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE， ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB. 又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE .
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20
2.如图，菱形ABCD的周长为48 cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连结OE，则线段OE的长为_______.
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能. 过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE.
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半.
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12. 求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵且菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积.（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）
解：∵花坛ABCD是菱形，
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.∵菱形ABCD的周长是8cm．∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm，∴BD=2OB= cm.（2）S菱形ABCD= AC•BD = ×2× = （cm2）．
归纳： 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
C.5cm
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD 的周长等于 （　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
3.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 ______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝ _______.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_______.
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为______.
(5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为 1∶2 , 那么菱形最短的那条对角线长为_______.
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:
(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积.
∵四边形ABCD是菱形,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E． 求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm. 过点C 作 CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△OCD中，由勾股定理,得OC＝4cm.(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．