2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-同构函数问题（Word版解析版）

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1.若2 024x－2 024y＜2 025－x－2 025－y，x，y∈R，则( )
A.ln(y－x＋1)＞0
B.ln(y－x＋1)＜0
C.ln｜x－y｜＞0
D.ln｜x－y｜＜0
解析：选A.由2 024x－2 024y＜2 025－x－2 025－y，x，y∈R，
可得2 024x－2 025－x＜2 024y－2 025－y，
由于函数y＝2 024x，y＝－2 025－x均在R上单调递增，
则函数f(x)＝2 024x－2 025－x在R上单调递增.
则2 024x－2 025－x＜2 024y－2 025－y⇔ f(x)＜f(y)⇔ x＜y.
A，B选项，y＞x⇒y－x＋1＞1⇒ln(y－x＋1)＞ln 1＝0，故A正确，B错误.
C，D选项，由条件知｜x－y｜与1的大小关系无法判断，故C，D错误.
2.已知实数x，y，z满足ex－e2＝ex－2≠0，ey－e3＝ey－3≠0，ez－e5＝ez－5≠0，其中e为自然对数的底数.则x，y，z的大小关系是( )
A.x＜y＜zB.y＜x＜z
C.z＜x＜yD.z＜y＜x
解析：选D.设ft＝et－et，可知函数ft的定义域为R，且f't＝et－e，
因为f't在定义域上单调递增，且f'(1)＝0，
若t＞1，则f't＞0；若t＜1，则f't＜0；
可得ft在1，＋∞上单调递增，在－∞，1上单调递减，
又因为ex－e2＝ex－2≠0，ey－e3＝ey－3≠0，ez－e5＝ez－5≠0，
可得ex－ex＝e2－2e，ey－ey＝e3－3e，ez－ez＝e5－5e，
即f(x)＝f2，fy＝f3，fz＝f5，且x≠2，y≠3，z≠5，
可知f(x)＜fy＜fz，且x＜1，y＜1，z＜1，所以z＜y＜x.
3.已知m，n都是正整数，且em＋ln n＜m＋n，则( )
A.n＞emB.m＞em
C.n＜emD.m＞en
解析：选A.因为em＋ln n＜m＋n，所以em－m＜n－ln n＝eln n－ln n，令f(x)＝ex－x(x≥0)，
所以f'(x)＝ex－1≥0，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由已知得f(m)＜f(ln n)，
故m＜ln n，因为m，n都是正整数，即n＞em.
4.已知函数f(x)＝ex－ax2的定义域为12，2，且对∀x1，x2∈12，2，x1≠x2，fx1−fx2x1−x2＜x1＋x2恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.e24－1，＋∞B.e－1，＋∞
C.－∞，e2－1D.－∞，e2－1
解析：选A.设x1＞x2，因为对∀x1，x2∈12，2，当x1≠x2时都有fx1−fx2x1−x2＜x1＋x2恒成立，
等价于fx1－fx2＜x12－x22，即fx1－x12＜fx2－x22，
令F(x)＝f(x)－x2＝ex－ax2－x2，则Fx1＜Fx2，所以F(x)在12，2上为减函数，
所以F'(x)＝ex－2(a＋1)x≤0在12，2上恒成立，即exx≤2(a＋1)在12，2上恒成立，
令h(x)＝exx，x∈12，2，则h'(x)＝ex(x−1)x2，
所以函数h(x)在12，1上单调递减，在1，2单调递增，
又h12＝2e，h(2)＝e22，且2e＜e22，
所以ℎxmax＜h2＝e22，
所以e22≤2(a＋1)，解得a≥e24－1.
5.已知函数f(x)＝ax＋lnx，g(x)＝x2.当a＞0时，若对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有fx1－fx2＜｜g(x1)－g(x2)｜成立，则实数a的取值范围是 .
解析：不妨设1≤x1＜x2≤2.
因为a＞0，所以f'(x)＝a1+1x＞0，
所以f(x)在1，2上单调递增，即fx1＜fx2.
又因为g(x)＝x2在1，2上也单调递增，
所以gx1＜gx2.
所以不等式fx1 －fx2＜｜g(x1)－gx2｜即为fx2－fx1＜gx2－gx1，
即fx2－gx2＜fx1－gx1，
设F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝ax＋aln x－x2，
则Fx2＜Fx1，因此F(x)在1，2上单调递减.
于是F'x＝a＋ax－2x≤0在1，2上恒成立，即a≤2x2x+1在1，2上恒成立.
令ux＝2x2x+1，则u'x＝2x2+4xx+12＞0，
即ux在1，2上单调递增，因此ux在1，2上的最小值为u1＝1，所以a≤1，
故实数a的取值范围是0＜a≤1.
答案：0，1
6.已知实数a，b满足a＝e2 025－a，2 022＋ln b＝e3－ln b，则ab＝ .
解析：根据题意，显然a，b是正数.由a＝e2 025－a，两边取对数得，ln a＝ln e2 025－a＝2 025－a，即a－(3－ln a)＝2 022，又2 022＋ln b＝e3－ln b，即e3－ln b－ln b＝2 022，利用a＝eln a，于是e3−(3－lna)－(3－lna)=2 022，e3−lnb－lnb=2 022，记h(x)＝e3－x－x，h'(x)＝－e3－x－1＜0，故h(x)在R上递减，
由h(3－ln a)＝h(ln b)⇒3－ln a＝ln b，于是ln ab＝3，ab＝e3.
答案：e3
7.若关于x的不等式aeax+1≥2x＋1xln x在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为 .
解析：由题设axeax+1≥x2+1ln x2，即axeax＋ax≥x2ln x2＋ln x2＝ln x2·eln x2＋ln x2，
令f(x)＝xex＋x，则f'(x)＝(x＋1)ex＋1，令g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝(x＋2)ex，
当x＜－2时，g'(x)＜0，g(x)＝f'(x)在(－∞，－2)上单调递减，
当x＞－2时，g'(x)＞0，g(x)＝f'(x)在(－2，＋∞)上单调递增，
所以g(x)＝f'(x)≥f'(－2)＝1－1e2＞0，故f(x)在R上单调递增，
由f(ax)≥f(ln x2)恒成立，有ax≥ln x2⇒a≥2lnxx在(0，＋∞)上恒成立，
令h(x)＝2lnxx，则h'(x)＝2(1−lnx)x2，
当0＜x＜e时，h'(x)＞0，h(x)在(0，e)上单调递增，
当x＞e时，h'(x)＜0，h(x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以h(x)≤h(e)＝2e，
综上，a≥2e，故其最小值为2e.
答案：2e
8.已知a＞1，若对于∀x∈13，＋∞，不等式13x－x＋ln 3x≤1aex＋ln a恒成立，则a的取值范围为 .
解析：不等式13x－x＋ln 3x≤1aex＋ln a，可化为13x＋ln 3x≤1aex＋ln a＋x＝1aex＋ln(aex)，x≥13，
令f(x)＝1x＋ln xx≥1，则f'(x)＝x−1x2≥0，所以f(x)在1，＋∞上单调递增，
因为a＞1，x≥13，所以3x≥1，ex≥e13＞e0＝1，则aex＞1，
所以不等式13x＋ln 3x≤1aex＋lnaex，即为f3x≤faex，
∴3x≤aex，即a≥3xex对∀x∈13，＋∞恒成立，
令g(x)＝3xex，则g'x＝31−xex，
当x∈13，1时，g'x＞0，即g(x)单调递增，
当x∈1，＋∞时，g'x＜0，即g(x)单调递减，
∴g(x)≤g1＝3e，则a≥3e，
即a的取值范围为3e，＋∞.
答案：3e，＋∞
9.已知函数f(x)＝ex－1ln x，g(x)＝x2－x，证明：当x∈(0，2)时，f(x)≤g(x).
证明：原不等式为ex－1ln x≤x2－x＝x(x－1)，
即lnxx≤x−1ex−1，即证lnxelnx≤x−1ex－1在(0，2)上恒成立.
设l(x)＝xex，则l'(x)＝ex−xex(ex)2＝1−xex，
所以当x＜1时，l'(x)＞0，l(x)单调递增；当x＞1时，l'(x)＜0，l(x)单调递减，
所以l(x)≤l(1)＝1e.
令t(x)＝ln x－x＋1，则t'(x)＝1x－1＝1−xx，
当0＜x＜1时，t'(x)＞0，t(x)单调递增；当x＞1时，t'(x)＜0，t(x)单调递减，
所以t(x)max＝t(1)＝0，所以ln x≤x－1，
且当x∈(0，2)时，有lnx＜1，x－1＜1，
所以l(ln x)≤l(x－1)，即lnxelnx≤x−1ex−1，
所以当x∈(0，2)时，有f(x)≤g(x)成立.
10.已知f(x)＝xln x＋a2x2＋1，若关于x的方程xex－a＝f(x)－a2x2＋ax－1有两个不同的实数解，求a的取值范围.
解：由xex−a＝f(x)－a2x2＋ax－1(x＞0)，即xex−a＝xln x＋ax，即ex－a＝ln x＋a，
即ex−a＋x－a＝x＋ln x，所以ln(ex－a)＋ex－a＝ln x＋x，
令h(x)＝ln x＋x(x＞0)，
则h(ex－a)＝h(x)，h'(x)＝1x＋1＞0，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以ex－a＝x，则x－a＝ln x，a＝x－ln x(x＞0)，
因为关于x的方程xex－a＝f(x)－a2x2＋ax－1有两个不同的实数解，
则方程a＝x－ln x(x＞0)有两个不同的实数解.
令φ(x)＝x－ln x，则φ'(x)＝1－1x＝x－1x，
当0＜x＜1时，φ'(x)＜0，当x＞1时，φ'(x)＞0，
所以函数φ(x)＝x－ln x在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)min＝φ(1)＝1，当x→0时，φ(x)→＋∞，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
所以a＞1，
综上，a的取值范围为(1，＋∞).